列观点解构矩阵： A X = b AX=b AX=b
[ 2 1 1 1 2 1 2 3 1 ] [ x 1 x 2 x 3 ] = [ α 1 , α 2 , α 3 ] ⋅ [ x 1 x 2 x 3 ] = α 1 ⋅ x 1 + α 2 ⋅ x 2 + α 3 ⋅ x 3 = b \displaystyle{ \left[\begin{array}{lll} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{lll} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{lll} \alpha_1 \ ,\ \alpha_2 \ ,\ \alpha_3 \end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{lll} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right]= \alpha_1\cdot x_1+ \alpha_2\cdot x_2+ \alpha_3\cdot x_3=b } 212123111 x1x2x3 =[α1 , α2 , α3]⋅ x1x2x3 =α1⋅x1+α2⋅x2+α3⋅x3=b .
if
r
(
A
)
≠
r
(
A
‾
)
\rm{r(A)\neq r(\overline{A})}
r(A)=r(A) ，then 方程一定无解if
r
(
A
)
=
r
(
A
‾
)
\rm{r(A)= r(\overline{A})}
r(A)=r(A) ，then 方程一定有解
if
r
=
n
\rm{r=n}
r=n ，then 方程有唯一解if
r
<
n
\rm{r<n}
r<n ，then 方程有无穷解先求解系数矩阵 A A A 和增广矩阵 A ‾ \overline{A} A 的秩，判断 r ( A ) \rm{r(A)} r(A) 与 r ( A ‾ ) \rm{r(\overline{A})} r(A) 的关系
如果增广秩不等于系数秩，只可能是增广秩大于等于系数秩
如果增广秩等于系数秩，说明列空间其实没有被向量 b \rm{b} b 拓宽，
当 增广秩与系数秩 均等于 n \rm{n} n 时，
当 增广秩与系数秩 均小于 n \rm{n} n 时，
说明列空间不能将向量空间充满，列空间是一个真子空间。
处于向量空间中的解向量映射到列空间确定唯一的向量 b \rm{b} b ，这样的解向量 X X X 可以找到无数个，
因为能够映射到低维度空间某一确定向量的高维度向量存在无数个。
为什么？ ⇒ \Rightarrow ⇒ 矩阵函数观点解释
A X = b AX=b AX=b 可以看作一个函数，向量 X X X 通过特定的法则（在这里表现为线性变换 A A A ）变换为向量 b b b .
假如向量 X X X 的维度 n 1 n_1 n1 大于向量 b b b 的维度 n 2 n_2 n2，且高维空间的向量比低维空间的向量多无穷个。
那么函数式 A X = b AX=b AX=b 可以看作：高维空间向量通过线性变换到低维向量的映射过程。
那么高维空间的向量几何构成了函数的定义域，低维向量构成了值域。
集合论的观点上，这种映射关系一定不会是单射，而且是无穷对 1 1 1 的非单射关系。
所以，当增广秩与系数秩均小于 n \rm{n} n 时，方程组有无穷解。
非齐次线性方程组 A X = b AX=b AX=b 有特解 η \eta η ，
对应的齐次线性方程组 A X = 0 AX=0 AX=0 有基础解系 ξ 1 , ξ 2 , ⋯ , ξ n \xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n ξ1,ξ2,⋯,ξn，
则 A x = b A x=b Ax=b 的通解为 k 1 ξ 1 + k 2 ξ 2 + ⋯ + k n − r ξ n − r + η k_1 \xi_1+k_2 \xi_2+\cdots+k_{n-r} \xi_{n-r}+\eta k1ξ1+k2ξ2+⋯+kn−rξn−r+η .
推论形式
η , η + ξ 1 , η + ξ 2 , ⋯ , η + ξ n − r \eta\ ,\ \eta+\xi_1\ ,\ \eta+\xi_2\ ,\ \cdots\ ,\ \eta+\xi_{n-r} η , η+ξ1 , η+ξ2 , ⋯ , η+ξn−r 是 A X = b AX=b AX=b 的 n − r + 1 n-r+1 n−r+1 个线性无关的解.
方程组 A X = b AX=b AX=b 的任一解均可由 η , η + ξ 1 , η + ξ 2 , ⋯ , η + ξ n − r \eta\ ,\ \eta+\xi_1\ ,\ \eta+\xi_2\ ,\ \cdots\ , \ \eta+\xi_{n-r} η , η+ξ1 , η+ξ2 , ⋯ , η+ξn−r 线性表示.
推导过程
几何解释
原向量 + η +\eta +η ，原向量在向量空间中进行了平移变换操作
对向量组进行相同的平移变换不影响原向量组向量间的线性相关关系
核心就是“坐电梯”
① 零空间的解释
② 零空间正交于行空间
显然有， R − S p a c e ( A ) \rm{R-Space(A)} R−Space(A) 正交于 N − S p a c e ( X ) \rm{N-Space(X)} N−Space(X) ，两个向量空间的任意向量均正交
N − S p a c e ( X ) \rm{N-Space(X)} N−Space(X) 也称作零空间，即将行空间映射到零向量的向量空间
在线性方程组中我们把它叫做齐次解空间。
空间的几何关系给出了以下的结论
行向量的列数表明了所研究向量所在全集空间的维度。
r ( R ( A ) ) + r ( N ( X ) ) = n \mathrm{r(R(A))+r(N(X))=n} r(R(A))+r(N(X))=n
r ( A ) < n \mathrm{r(A)<n} r(A)<n，方程组无穷解
r ( A ) = n \mathrm{r(A)=n} r(A)=n，方程组唯一零解
空间关系的解释
行空间与零空间必须占据向量空间的不同维度，才会正交
或者说，如果两个向量完全处在不同的维度，那么它们一定正交。
就像在三维空间中，平行于x轴的向量 和 平行于y 轴的向量，分别占据了不同的坐标维度，才会正交。
解的判定的解释
r ( A ) = n \mathrm{r(A)=n} r(A)=n，等价于行空间占满了整个向量空间，留给零空间的维度坍缩到零向量，所以有唯一零解。
r ( A ) < n \mathrm{r(A)<n} r(A)<n，等价于行空间有部分维度没有占据，没有占据的部分留给零空间，这些维度上向量可以自由取值，也就是无穷解。
我们对系数矩阵 A 进行高斯消元/初等行变换/为保持行等价，得到形如下列的行阶梯形矩阵：
/ / e x p // exp //exp：黄色向量表示主元 p i v o t s pivots pivots 所在行向量，它作为空间的基构建起整个行空间
然后我们把观点切换到列（Column），这种观点的构建思想仿照非齐次线性方程组
[ 1 0 − 1 0 4 0 1 − 1 0 3 0 0 0 1 − 3 0 0 0 0 0 ] [ x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 ] = [ α 1 , α 2 , α 3 , α 4 , α 5 ] ⋅ [ x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 ] = α 1 ⋅ x 1 + α 2 ⋅ x 2 + α 3 ⋅ x 3 + α 4 ⋅ x 4 + α 5 ⋅ x 5 = b = 0 \displaystyle{ \left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & -1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \left[\begin{array}{lll} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{lll} \alpha_1 \ ,\ \alpha_2 \ ,\ \alpha_3 \ ,\ \alpha_4 \ ,\ \alpha_5 \end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{lll} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{array}\right]= \alpha_1\cdot x_1+\alpha_2\cdot x_2+ \alpha_3\cdot x_3+\alpha_4\cdot x_4+ \alpha_5\cdot x_5=b=0 } 10000100−1−100001043−30 x1x2x3x4x5 =[α1 , α2 , α3 , α4 , α5]⋅ x1x2x3x4x5 =α1⋅x1+α2⋅x2+α3⋅x3+α4⋅x4+α5⋅x5=b=0
自由列是主列的线性组合，如果想求得主列，可以通过自由列进行线性表出，自由列有 n − r n - r n−r 个。
我们希望能够得到一组关于 x x x 的解，而且保证这组解的向量线性无关。
存在自由列和主列，说明存在一部分 x x x 对另一部分的 x x x 产生了。这是找到通用表达式的基础。
所有的自由列最多可以构成一个同构于主列为基的向量空间，前提是自由列的取值需要最大张开。
换句话说，当自由列取正交的一组值时，它决定/确定了主列，同时也将这个列空间最大张开。
也可以说，当 x 3 x_3 x3、 x 5 x_5 x5 取定时， x 1 x_1 x1、 x 2 x_2 x2、 x 4 x_4 x4 也会被取定，方程的一组解就会被确定。
所以自由变量其实相当于解空间的主元。基础解系的个数也由此而来。
以下是知乎上关于自由列的解释，供参考
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