(必考题)高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》检测卷(有答案解析)

一、选择题

2f(x)logx2x3单调减区间为（ ） 11．函数

2A．(,1] B．(3,1]

C．1,1 ， D．12．定义：若函数yfx的图像上有不同的两点A,B，且A,B两点关于原点对称，则称点对A,B是函数yfx的一对“镜像”，点对A,B与B,A看作同一对“镜像点

x3,x0对”，已知函数fx2，则该函数的“镜像点对”有（ ）对.

x2x,x0A．1

A． abc

B．2 B．acb

C．3 C．bac

D．4 D．bca

3．设a0.60.6，b0.61.2，c1.20.6中，则a，b，c的大小关系是（ ）

4．已知函数f(x)log2x，在[A．[1,2] A．3x>4y>6z C．4y>6z>3x 6．已知函数f(x)B．[0,2]

1，m]上的值域为[0，4]，16C．[1,3] B．3x>6z>4y D．6z>4y>3x

mf的取值范围是（ ） 2D．[0,3]

5．若x，y，z是正实数，满足2x=3y=5z，试比较3x，4y，6z大小（ ）

3，则x223f25f3C．7

1f4A．

1f31ff(1)2B．

21 47f（ ） 4D．

21 215 27．如图是指数函数①y=ax；②y=bx；③y=cx；④y=dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是（ ）

A．ax22x,x0f(loga)f(loga)2f(1)218．已知函数f(x)2，，则实数a的取值范围

2x2x,x0是（ ）

A．,2

21B．0，

12C．1,2 D．0,2 2fxlogxaxa对任意两个不相等的实数x、x,1，都19．已知函数2123fx2fx10，则实数a的取值范围是（ ） 满足不等式

x2x1A．1,

B．,1

C．1,

21D．1,1 210．若ab1，Plgalgb，QA．RPQ

B．PQR

1ab(lgalgb)，Rlg()，则（ ） 22C．QPR D．PRQ

122 ab121 ab211．实数a,b满足2a5b10，则下列关系正确的是（ ） A．

212 abB．

111 abC．D．

12．物理学规定音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，其音量的大小可由如下公式计算：10lgI(其中I0是人耳能听到声音的最低声波强度).我们人类I0生活在一个充满声音的世界中，人们通过声音交换信息、交流情感，人正常谈话的音量介于40dB与60dB之间，则60dB声音的声波强度I1是40dB声音的声波强度I2的（ ） A．

3倍 2B．

10倍

32C．100倍 D．lg3倍 2二、填空题

13．已知正实数a满足aa(9a)8a，则loga3____________. 14．函数f（x）=lg（x2-3x-10）的单调递增区间是______． 15．若2lgx2ylgxlgy，则16．83log322xy______．

272lg5lg47log72______.

17．已知4m3nk，且2mnmn0，则k______. 18．方程log244xlog22xx13的解为____；

x2x,x019．已知函数f(x)，若|f(x)|ax恒成立，则a的取值范围是

ln(x1),x0________．

20．设实数x满足0x1，且logx4log2x1，则x______.

三、解答题

21．已知函数fxlgx2lg2x.

（1）求fx的定义域； （2）判断fx的奇偶性并予以证明； （3）求不等式fx1的解集. 22．（1）已知函数gxa1x21a0的图像恒过定点A，且点A又在函数

fxlog3xa的图像上，求不等式gx3的解集；

x111log1x1，求函数

（2）已知y2423．化简下列各式：

1（1）0.052.523142的最大值和最小值. 2x3330；

82lg2lg311（2） 1lg0.36lg162424．已知函数f(x)log35x． 5x（1）求函数f(x)的定义域；

（2）判断函数f(x)奇偶性，并证明你的结论.

25．已知函数f(x)loga[(1x)(1x)]（其中a0且a1） (1)求函数f(x)的定义域，并判断它的奇偶性；

31,时，求函数f(x)的值域. (2)若a2，当x222f(x)log(2mx3x8m). 126．已知函数

4（Ⅰ）当m1时，求函数f(x)在[,2]上的值域；

（Ⅱ）若函数f(x)在(4,)上单调递减，求实数m的取值范围.

12

【参】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．B

解析：B 【分析】

2fxlogx2x3的单调减区间为1根据复合函数的单调性可知，

2tx22x3在定义域上的单调增区间.再根据一元二次函数的单调性求单调增区间即

可. 【详解】

2fxlogx2x3的定义域为3,1 1解：函数

2令tx22x3，则gtlog1t为单调递减函数，由复合函数的单调性可知：fx2的单调递减区间为tx22x3在3,1上的单调增区间.

tx22x3x14，对称轴为x1，开口向下，所以tx22x3的

单调增区间为3,1. 故选：B. 【点睛】

本题考查复合函数的单调性，属于中档题. 方法点睛：（1）先求出函数的定义域； （2）判断外层函数的单调性；

（3）根据复合函数同增异减的原则，判断要求的内层函数的单调性； （4）求出单调区间.

22．C

解析：C 【分析】

由新定义可知探究y轴左侧部分图像关于原点中心对称的图像与y轴右侧部分图像的交点个数即得结果. 【详解】

由题意可知，函数yfx的图像上有不同的两点A,B，且A,B两点关于原点对称，则

x3,x0称点对A,B是函数yfx的一对“镜像”，因为fx2，由y轴左侧

x2x,x0xx部分y3,x0图像关于原点中心对称的图像y3，即y3，x0，作

xx函数y3，x0和yx2x,x0的图象如下：

2

由图像可知两图象有三个公共点，即该函数有3对“镜像点对”. 故选：C. 【点睛】

本题解题关键是理解新定义，寻找对称点对，探究y轴左侧部分图像关于原点中心对称的图像与y轴右侧部分图像的交点个数，通过数形结合，即突破难点.

3．C

解析：C 【分析】

根据指数函数，幂函数的单调性即可判断． 【详解】

因为指数函数y0.6是单调减函数，0.61.2，所以0.60.60.61.2，即ab； 因为幂函数yx0.6x在0,上是增函数，0.61.2，所以1.20.60.60.6，即ca．

综上，bac． 故选：C． 【点睛】

熟练掌握指数函数，幂函数的单调性是解题关键．

4．D

解析：D 【分析】

由对数函数的单调性可得m1,16，再结合对数函数的性质即可得解. 【详解】

由题意，函数f(x)log2x在0,1上单调递减，在1,上单调递增， 且f1f164，f10， 161,m上的值域为[0,4]可得m1,16， 16结合该函数在所以

m1,8，22mmflog20,3.

22故选：D. 【点睛】

关键点点睛：解决本题的关键是由对数函数的图象变换及单调性确定m1,16，即可得解.

5．B

解析：B 【分析】

令2x3y5zt，则t1，x【详解】

∵x、y、z均为正数，且2x3y5z， 令2x3y5zt，则t1， 故xlog2tlgtlgtlgt，y，z，利用作差法能求出结果. lg2lg5lg3lgtlgtlgtylogtzlogt，，， 35lg2lg3lg5∴3x6z3lgt2lgt3lgtlg5lg40，即3x6z； lg2lg5lg2lg53lgt2lgt2lgtlg27lg256z4y20，即6z4y， lg3lg5lg5lg3即3x6z4y成立，

故选：B. 【点睛】 关键点点睛：

（1）将指数式转化为对数式； （2）利用作差法比较大小.

6．B

解析：B 【分析】

先利用解析式计算f(x)f(2x)【详解】 因为f(x)3，再计算和式即可得到结果. 23， 2x23332x332xf(x)f(2x). 所以f(2x)2x，xxx22222222224故f11135fff(1)ff4322332173f3. 42224故选：B. 【点睛】

本题解题关键是通过指数式运算计算f(x)f(2x)3，再配对求和即解决问题. 27．B

解析：B 【分析】

根据指数函数的图象与性质可求解. 【详解】

根据函数图象可知函数①y=ax；②y=bx为减函数，且x1时，②y=b1①y=a1， 所以ba1，

根据函数图象可知函数③y=cx；④y=dx为增函数，且x1时，③y=c1④y=d1， 所以cd1 故选：B 【点睛】

本题主要考查了指数函数的单调性，指数函数的图象，数形结合的思想，属于中档题.

8．A

解析：A 【分析】

f(log2a)f(log1a)2f(1)根据条件判断f(x)的奇偶性和单调性，把不等式转化为

2log2a1进行求解即可.

【详解】

当x0时，x0，则f(x)x22xf(x)， 当x0时，x0，则f(x)x2xf(x)， ∴函数f(x)为偶函数，

∴f(log2a)f(log1a)f(log2a)f(log2a)2f(log2a).

22又当x0时，函数f(x)单调递增，

∴2f(log2a)2f(1)可转化为f(log2a)f(1)，则log2a1， ∴1log2a1，解得故选：A. 【点睛】

本题考查了分段函数的性质，考查函数的单调性与奇偶性，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.

1a2. 29．C

解析：C 【分析】

1由题意可知，函数fxlog1xaxa在区间,上单调递增，利用复合函

232数的单调性可知，内层函数ux2axa在区间,1上单调递减，且u0对任21x,意的恒成立，进而可得出关于实数a的不等式组，由此可解得实数a的取值

2范围. 【详解】 因为

2fx2fx110，所以fxlog1xaxa在,上是增函数，

23x2x1令ux2axa，而减，

ylog1u是减函数，所以

31ux2axa在,上单调递

21a2212且uxaxa0在,上恒成立，所以，解得2211aa0221a故选：C. 【点睛】

本题考查利用对数型复合函数在区间上的单调性求参数，解题时还应注意真数要恒为正数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

1. 210．B

解析：B 【分析】

利用对数函数ylgx，结合基本不等式即可确定P、Q、R的大小关系 【详解】

由于函数ylgx在(0,)上是增函数

ab1，则lgalgb0

由基本不等式可得

11abPlgalgb(lgalgb)lg(ab)lgablgR

222因此，PQR

故选：B 【点睛】

本题考查了利用对数函数的单调性比较大小，应用函数思想构造对数函数，并利用其单调性和基本不等式比较大小

11．B

解析：B 【分析】

根据指数式与对数的互化公式，求得解. 【详解】

因为2a5b10，可得alog210,blog510，所以

11lg2,lg5，再结合对数的运算公式，即可求ab11lg2,lg5， ab11lg2lg5lg101. ab故选：B. 【点睛】

则

本题主要考查指数式与对数的互化，以及对数的运算公式的化简、求值，其中解答中熟记指数式与对数的互化公式，以及对数的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.

12．C

解析：C 【分析】 先根据10lg【详解】

解：因为音量大小与强度为I的声波的关系为10lg所以II10，

010I1I10，再将60dB和40dB代入得计算得即可得答案.

I0II010I2I， I0所以II10106010I0106，

I2I0104010I0104，

I1I0106100， 所以4I2I010故选：C. 【点睛】

本题以物理知识为背景，考查指对数的互化，运算等，是中档题.

二、填空题

13．【分析】利用已知式两边同时取以e为底的对数化简计算再利用换底公式代入计算即可【详解】正实数a满足两边取对数得即故解得故故答案为：【点睛】本题解题关键是对已知指数式左右两边同时取以e为底的对数化简计算 解析：【分析】

利用已知式两边同时取以e为底的对数，化简计算lna，再利用换底公式loga3入计算即可. 【详解】

正实数a满足a(9a)，两边取对数得lnaln(9a)，即alna8aln(9a)，

a8aa8a7 16ln3代lnaln3ln3716loga3故lna8ln9lna，解得lnaln3，故lna16ln316.

77故答案为：【点睛】

本题解题关键是对已知指数式左右两边同时取以e为底的对数，化简计算得到lna的值，再结合换底公式即突破难点.

7. 1614．（5+∞）【分析】确定函数的定义域考虑复合函数的单调性即可得出结论【详解】由x2-3x-10＞0可得x＜-2或x＞5∵u=x2-3x-10在（5+∞）单调递增而y=lgu是增函数由复合函数的同增异减

解析：（5，+∞） 【分析】

确定函数的定义域，考虑复合函数的单调性，即可得出结论． 【详解】

由x2-3x-10＞0可得x＜-2或x＞5，

∵u=x2-3x-10在（5，+∞）单调递增，而y=lgu是增函数

由复合函数的同增异减的法则可得，函数f（x）=lg（x2-3x-10）的单调递增区间是（5，+∞）

故答案为（5，+∞）． 【点睛】

本题考查对数函数的单调性和应用，考查学生的计算能力，属于中档题

15．16【分析】由通过对数运算得出由此再求的值要注意定义域【详解】∵∴解得∴故答案为：16【点睛】本题主要考查对数的运算还考查了运算求解能力属于基础题

解析：16 【分析】

由2lgx2ylgxlgy，通过对数运算得出x4y，由此再求域. 【详解】

∵2lgx2ylgxlgy，

2xy的值．要注意定义

(x2y)2xyx2y0∴， x0y0解得x4y，

∴

22416．

xy故答案为：16 【点睛】

本题主要考查对数的运算，还考查了运算求解能力，属于基础题．

16．【分析】根据指数幂运算法则和对数运算法则化简可得【详解】故答案为：【点睛】此题考查指数对数的综合运算关键在于熟练掌握运算法则和相关公式准确化简求值

3解析：

2【分析】

根据指数幂运算法则和对数运算法则化简可得. 【详解】

238log3272lg5lg47log72

2233log332lg52lg27log72

323422

23 23 2故答案为：【点睛】

此题考查指数对数的综合运算，关键在于熟练掌握运算法则和相关公式，准确化简求值.

17．【分析】根据对数和指数的关系将指数式化成对数式再根据对数的运算计算可得【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查对数和指数的关系对数的运算属于基础题

解析：36

【分析】

根据对数和指数的关系，将指数式化成对数式，再根据对数的运算计算可得. 【详解】 解：

4m3nk

mlog4k，nlog3k

2mnmn0

21111，logk4，logk3 nmmn2logk3logk41 logk32logk41

logk941 k36

故答案为：36 【点睛】

本题考查对数和指数的关系，对数的运算，属于基础题.

18．【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可【详解】解：可得即：解得（舍去）可得经检验是方程的解故答案为：【点睛】本题考查方程的解的求法对数的运算法则的应用考查计算能力 解析：2

【分析】

直接利用对数的运算法则化简求解即可． 【详解】 解：

log24x4xlog22x13

log24x4log22xlog22x13

xx1x， 232可得log244log2xx1x即：44232，

2x232x40，解得2x1（舍去）2x4，

可得x2．经检验x2是方程的解． 故答案为：2． 【点睛】

本题考查方程的解的求法，对数的运算法则的应用，考查计算能力．

19．【分析】分两种情况讨论当时结合图象可知；当时再分两种情况讨论分离参数后化为函数的最值可解得结果【详解】当时则恒成立等价于恒成立函数的

图象如图：由图可知；当时所以恒成立等价于恒成立若则若则恒成立所以综 解析：1a0

【分析】

分x0，x0两种情况讨论，当x0时，结合图象可知a0；当x0时，再分

x0，x0两种情况讨论，分离参数后化为函数的最值可解得结果. 【详解】

当x0时，f(x)ln(x1)0，则|f(x)|ax恒成立等价于ln(x1)ax恒成立， 函数yln(x1)的图象如图：

由图可知a0；

2当x0时，f(x)xx0，所以|f(x)|ax恒成立等价于x2xax恒成立，

若x0，则aR，若x0，则ax1恒成立，所以a1， 综上所述：1a0. 故答案为：1a0 【点睛】

结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： ①若kf(x)在[a,b]上恒成立，则kf(x)max； ②若kf(x)在[a,b]上恒成立，则kf(x)min； ③若kf(x)在[a,b]上有解，则kf(x)min； ④若kf(x)在[a,b]上有解，则kf(x)max；

20．【分析】利用换底公式和对数运算法则可将方程转化为解方程求得或进而结合的范围求得结果【详解】即解得：或或故答案为：【点睛】本题考查对数方程的求解问题涉及到对数运算法则和换底公式的应用；考查基础公式的应

1解析：

4【分析】

2log2x1，解方程求得利用换底公式和对数运算法则可将方程转化为

log2xlog2x2或log2x1，进而结合x的范围求得结果.

【详解】

logx42logx2222log2x1 logx4log2xlog2xlog2x即log2xlog2x20，解得：log2x2或log2x1 x1或x2 410x1 x

41故答案为：

4【点睛】

本题考查对数方程的求解问题，涉及到对数运算法则和换底公式的应用；考查基础公式的应用能力.

三、解答题

21．（1）2,2．（2）见解析;(3)【详解】

试题分析：(1)根据对数函数的定义,列出关于自变量x的不等式组,求出fx的定义域; (2)由函数奇偶性的定义,判定fx在定义域上的奇偶性;

(3)化简fx,根据对数函数的单调性以及定义域,求出不等式fx>1的解集. 试题（1）要使函数fx有意义．则{18,2． 11x20，

2x0解得2x2.故所求函数fx的定义域为2,2．

（2）由（1）知fx的定义域为2,2，设x2,2，则x2,2． 且fxlgx2lg2xfx， 故fx为奇函数． （3）因为fx在定义域2,2内是增函数， 因为fx1，所以

x210，解得2xx18． 1118,2． 11所以不等式fx1的解集是22．（1）3,；（2）ymin1，ymax【分析】

5. 4（1）结合指数函数性质首先求a的值，再解指数不等式；

1（2）通过换元，设t，并且求变量的取值范围，转化为二次函数在定义域内的最2x大值和最小值. 【详解】

（1）由题意知定点A的坐标为2,2， ∴2log32a解得a1.

x2∴gx21.

∴由gx3得，2x213. ∴2x22. ∴x21. ∴x3.

∴不等式gx3的解集为3,.

21log1x1得1x2令1，则1（2）由， tt22422x1y4t4t24t1.

222x111∴当t，即，x1时，ymin1， 2225111当t，即，x2时，ymax. 4442【点睛】

本题考查指数函数与对数函数的图象与性质，考查求对数型函数的值域，求值域的方法是用换元法把函数转化为二次函数，然后求解． 23．（1）0；（2）1. 【分析】

（1）根据指数幂的运算性质，准确运算，即可求解； （2）根据对数的运算性质，准确运算，即可求解. 【详解】

15（1）根据指数幂的运算性质，可得原式10002.51273 1823x41031525233235312210. 132lg2lg32lg2lg31123（2）由对数的运算性质，可得原式 1lg0.62lg241lglg224102lg2lg32lg2lg31.

1lg2lg3lg10lg22lg2lg3【点睛】

本题主要考查了指数幂和对数的运算性质的化简、求值，其中解答中熟记指数幂与对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 24．（1）(5,5) （2）奇函数，见解析 【分析】

（1）若fx有意义,则需满足

5x0,进而求解即可； 5x（2）由（1）,先判断定义域是否关于原点对称,再判断fx与fx的关系即可. 【详解】 （1）由题,则

5x0,解得5x5,故定义域为5,5 5x（2）奇函数,

证明:由（1）,fx的定义域关于原点对称, 因为fxfxlog3所以fx是奇函数 【点睛】

本题考查具体函数的定义域,考查函数的奇偶性的证明. 25．(1)(1,1)，f(x)在(1,1)内为偶函数；(2)[2,0]. 【分析】

（1）由对数真数大于0可得定义域，由奇偶性定义判断奇偶性；

5x5xlog3log310,即fxfx, 5x5x31,的单调性可得最大值和最小值，从而得值域． （2）确定函数在22【详解】

(1)由题意知：(1x)(1x)0，解得1x1， 所以函数f(x)的定义域为(1,1)

由f(x)loga[(1x)(1x)]f(x)，所以函数f(x)在(1,1)内为偶函数. (2)由a2，有f(x)log2[(1x)(1x)]log21x2

3131f(x)x,,0上为增函数，在0,上为减函数， 又因为在，所以

2222所以f(x)minf31log2，f(x)maxf(0)log210， 224所以函数f(x)在31,内值域为[2,0]. 22【点睛】

本题考查对数型复合函数的定义域，奇偶性，单调性，值域．掌握对数函数的性质是解题关键．本题还需掌握复合函数的单调性的判断：同增异减． 26．（Ⅰ）log110,log144553,Ⅱ（） 810【分析】

2f(x)log2x3x8，令y2x23x8，求出其在1（Ⅰ）把m1代入，可得

21[,2]上的值域，利用对数函数的单调性即可求解. 22（Ⅱ）根据对数函数的单调性可得g(x)2mx3x8m在(4,)上单调递增，再利用

m0,34,解不等式组即可求解. 二次函数的图像与性质可得4mg(4)0,【详解】

2f(x)log2x3x8， 1（Ⅰ）当m1时，

2此时函数f(x)的定义域为,2.

2

1

4283255. 因为函数y2x3x8的最小值为882最大值为2232810，故函数f(x)在,2上的值域为log110,log1；

82442155（Ⅱ）因为函数

ylog1x在(0,)上单调递减，

4m0,324, 故g(x)2mx3x8m在(4,)上单调递增，则4mg(4)0,解得m33，综上所述，实数m的取值范围,. 1010【点睛】

本题主要考查了利用对数函数的单调性求值域、利用对数型函数的单调区间求参数的取值范围以及二次函数的图像与性质，属于中档题.