漫谈λ1 λ2为定值的圆锥曲线焦点弦问题

2007年第8期中学数学研究漫谈入1+肠为定值的圆锥曲线焦点弦问题浙江省杭州师范大学附属中学(310030)焦点弦在圆锥曲线中占有非常重要的地位，其性质丰富多彩，人们对其性质的探讨可以苏立标󰀀3一护半0，否则1与双曲线的渐近线平’.48一3k2②说是“前赴后继、经久不衰”，而焦点弦中的久1+久:为定值问题更是其中的“奇葩”，这些性质集向量与定比于一体，倍受命题者所推崇.本文从一道2006年的高考数学试题出发，对圆锥曲线焦点弦中的几1+又2为定值问题作些剖析与思考.(本文中所涉及的字母e为圆锥曲线的离心率).一、高考试题的链接(2006年山东省高考数学理科试题):双曲线c与椭圆髻+丈4一一O1有相同的焦点，直线y=招x为C的一条渐近线.(1)求双曲线C的方程;(2)过点尸(0，4)的直线2，交双曲线C于A、B两点，交x轴于Q点(Q点与C的顶点不重合)，当尸Q二几1QA二赴QB，且久1+赶=一号时，求Q点的坐标.解:(1)易求双曲线C的方程为xZ一才一j;.(2)由题意知直线1的斜率k存在且不为零，设1的方程:y二xk+4，A(xl，脚)，B(xZ，对，则Q(一告，。)，󰀀:反一*;成一久2酶，，:(一音，一4卜*、(X、+音，，1)一‘2‘XZ+音，yZ)，.一4=几lyl=而yZ，二人1=一一4y1，又2=一灸，又、即3(夕1+夕1+‘2)=22一号，，夕1夕2①..23丈将y=杠十4代入xZ3一一1得(3一走2)少2一24夕+453k2==0，。22󰀀行，.‘，yl+yZ二不子，lyyZ二-不不把②代入①得:…3x3一kZ=ZX48一3k23一kZ，，:k=士2，，’，Q(士2，0).二、试题的延伸问题:至此问题已经解决，但我们似乎又有意犹未尽的感觉，由上述结论可知:满足条件的Q恰好为双曲线的左焦点或右焦点.现在的问题是，如果我们把这个问题反过来考虑，入1十久2是不是为定值呢丈?定值又是多少?即:已知双曲线xZ一3--1，过双曲线的左焦点F(一2，0)的直线1交双曲线于A、B两点，交y轴于尸点八、、，叭“.设尸、，二立F=久、石片二久。“‘二考1““.，““’乃研“二之，FB.则汽，，…1+1’“‘几。二一苦83.‘证明:由题意知直线1的斜率k存在且不等于零，设直线1的方程为y二k(x+2)，代入双曲线方程得:(3一矿)x“一4矿x一4矿一3=0，所以xl+xZ二j丁乎，4k2x‘Zx=一4k2一33一kZ…入1+汽:二一2一2xl十2xZ+24+2(xl+xZ)+x:xZ一2(xl+x:+4)同样地，我们可以把这个问题再推广到一般的情形，得到下面的性质:三、性质的探讨性质1:已知双曲线书-丈护-一1(a>0，b>)0，过双曲线的左焦点F(一。，)0的直线交双曲线于A、B两点，交y轴于尸点，且满足PF二几，从二从BF，则入1十入2二2e21一eZ中学数学研究证明:易知八刀的斜率必存在，设为k，则八召的方程为y二k(x十。)，代入双曲线方程得:(石2一aZ是2)xZ一2a2沃2二一aZ龙2。2一aZ占2=0，设A(xl，夕;)，B(xZ，Zy)，则xl+xZ=ZaZkZcbZ一aZkZ，XIXZ一aZkZcZ一aZbZbZ一aZkZ󰀀从+肠一C一C。一一(x，+xZ+Zc)。+x:二二。一2+。(x，+xZ)+xlxZ二二二c+xl+2c22e2bZ一1一eZ‘性质2:已知双曲线莽1(a>0，b>)0，过双曲线的右焦点F(。，)0的直线交双曲线于A、B两点，交y轴于尸点，设几气=入IAF，BP=又:BF，则双曲线的离心率e满足:几;十入2=一2e万二‘一~万1.证明:易知乃B的斜率必存在，设为k，则八刀的方程为y=k(x一。)，代入双曲线方程得:(占2一aZ无2)xZ+2a2庆Zx一aZ走2。2一aZ占2=0，设A(x，，yl)，B(xZ，yZ)，则x，+x:=于飞厄ZaZkZc二落厄，lxxZ一一乎乎万乎一，‘’aZ无2c2+aZbZ人‘宁八2一-兰三.+一三卫一二。(xl+xZ)一2xlx2C一星XIC一工2cZ一‘(xl+xZ)+xlxZ护，所以久，+从性质3:设尸为双曲线奋护丈-护一一1(a>0，b>0)上一动点，直线只A、BP分别过双曲线的焦点Fl、几，若FPI==久，FIA，尸F乏=久:凡B，则从+入2=2(1+eZ1一eZ证明:不妨设点尸(xo，oy)在双曲线的左支上，当只A的斜率存在，则尸A的方程为:y=0yxo+c(x+。)，代入双曲线方程得:(犷十‘2十Zcx。)少2一〔2卿。(x。+。)ly+乙Zy吕=0.设A(xl，yl)，则得到:入少_.0yl_._2二2一一一一竺卫世一—_2因此肠上’L_2一，“t__.沈02007年第8期yl=aZ+cZ+Zc占2少。xo所以久;二一yoaZ+cZ+Zcxoylb2同理入2=aZ+cZ一Zcxob2故入，+赶二一2(aZ+cZ)_2(1bZ一1一十。eZ2;当尸八的斜率不存在时，同样也有相同的结论.性质4:已知双曲线不-丈护一一1(a>0，b>)0，过双曲线的左焦点F(一。，0)的直线交双曲线于A、B两点，交左准线于尸点，设月尸二几IFB，八尸=两PB，则几1十久2二0.证明:由题意F、尸分AB的比为几1认2，过A、B分别作左准线的垂线，垂足分别为Al、B，，由定比分点的意义及双曲线的定义得:几1=布下不二育}AF!卜八八1!}!尹月}}月刀、}。入，“=一污，不浮万亡}八尸!士仗jf={儡升，当我们把以上的结论用在椭圆中时同样成…‘1󰀀‘2一0，证毕，立.四、性质的拓展如果把焦点变成一个定点M(m，)0，则得到:22性质5，已知双曲线奋一奋一‘(“0>，“>的，过双曲线对称轴上的定点M(m，)0的直线交双曲线于A、B两点，交y轴于尸点，设尸F=凡1.FA==几2万B，则几1+又2=2m21一mZ’五、简单应用例题:(2007年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查(二))已知点A、。、c都在椭圆共、a茶一，(󰀀>。>。)上，A。、A。分别过两个“点23.0207年第8期中学数学研究一道高考题另一种形式的推广黑龙省大庆实验中学(163316)苏立志杜山问题(2005年江西高考第22题)设抛物证明不妨设圆锥曲线C为椭圆，其右焦线C:y二xZ的焦点为F，动点尸在直线1:x-点F(。，0)，c上两点p(acosa，bsina)，Qy一2二0上运动，过尸作抛物线C的两条切线(acso月，bsin月)，尸八、尸B，且与抛物线C分别相切于A、B两点作椭圆C过点尸，Q处的切线并相交于点(1)求△八尸扫的重心G的轨迹方程;R，据由文(1)的推广可知，匕尸FR=艺QFR.过(2)证明/于毕乙八=/只兄3.F作直线FM，土石次且与准线交于点M‘，易知对于(2)的结论，文「]1有如下:艺Q厂丫‘二艺5日切‘.故欲证定理成立，只需证推广设椭圆c:纂+1(a>b>0)点M与M‘重合即可.下文将采用同一法证明的右焦点为F，尸为椭圆C外一点，过尸作椭点M与M‘重合.圆C的两条切线只A，尸召，且与椭圆C分别相椭圆C过尸、Q的切线方程分别为切于A，B两点，则匕尸FA=匕尸凡3.胆牲丈十a=1(1)本文将运用文〔1」所推广的这一结论，给出问题的另一种推广形式，结论如下:些明2二+=1(2)定理如图1，一条直(1)与(2)联立解得点尺的坐标分别为线经过圆锥曲线C的焦点F，且与圆锥曲线C相交于Rx二，a(sina(ni。一一sin’)#『，Ry=b(cC6a一c陇sin(召一a)点尸，5，点Q在圆锥曲线C.’.k双=上，尸Q与圆锥曲线焦点Fsin(月一a){{‘‘旦工si亘卫n(a旦一二一月里1业)2__、对应的准线交于点M，则匕QEM二匕5月订.b(C‘粥8一cOsa一a(sina一sin月)一。sin(a一召)’、‘、‘Fl、凡，当AC󰀀FIFZ=0时，有A万，1󰀀AFZ=}AFZ}一号󰀀在tR△FAI凡中食，AF12成立.(1)求此椭圆的离心率;(2)设、‘、‘’}AFI}2一!朋:12=IFIF:12，n_2_2_后AFI=mFIB，nFZc，当点A在椭圆上…件一牛什兮=4‘2，一。二三二肾a乙.运动时，求证:m+n始终是定值.(2)由上面的性质3可知:m+n二解:(1)当AC󰀀FIF:二0时，八FI󰀀AFZ‘2(1+eZ1一eZ=6，所以定值是6.co凡匕FIAFZ二}八F:1“=由椭圆定义参考文献得:}AFZ}=1!月户川二乙二六，，【1」肖秉林过椭圆焦点的内接三角形的几个结论中a。二.}。戈了1户.1=，-3a乙丈-，学学教学参考，2005，01󰀀24