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有关方向导数性质的讨论

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第32卷 第2期 2012焦 高师理科学刊 Journal of Seienee of Teaehers College and University V01.32 No.2 Mar.2012 3月 文章编号:1007—983 1(2.012)02—0017—03 有关方向导数性质的讨论 刘彦慧,杨春玲 (黑龙江科技学院理学院,黑龙江哈尔滨150027) 摘要:文献【1—2]对方向导数有2种不同的定义,将不同的定义进行了对比,讨论了方向导数与偏 导数的关系,得到了一些重要}生质. 关键词:方向导数;偏导数;定义 中图分类号:0171 文献标识码:A doi:10.3969 ̄.issn.1007-9831.2012.02.006 Discussion on the nature of the directional derivative LIU Yan-hui,YANG Chun-ling (School ofScience,Heilongjiang Institute ofScience and Technology,Harbin 150027,China) Abstract:References[1-2】give two different definitions of directional derivative.Compared the diferent definitions, discussed the relation between directional derivative and the partil aderivative,obtained some important properties. Key words:directional derivative;partil aderivative;definition 定义1IlJ设函数z=f(x,Y)在点P( ,Yo)的某个邻域内有定义,l是一非零向量,et=(口,易)是与z 同方向的单位向量,如果极限lim 二 存在,则称此极限为函数z:,( ,),)在点 P处沿方向j‘的方向导数, _F乳 即乱 =El m 性质1若沿任何方向的方向导数(按定义1)均存在,则偏导数一定存在. ・ 证明设函数Z=f(x,y)在点P( ,Yo)的某个邻域内有定义, =(1,0)( 轴正向),由于函数沿任 何方向的方向导数均存在,则沿 =(1,O)(Y轴正向)方向的方向导数也存在,再根据偏导数的定义可知, 81 lliar (Xo,y。)t-+0 :t :笪I. I( ,y。) 同理沿 =(。'1)方向的方向导数为等 是偏导数的推广. 丛 )二 = 证毕・ : 性质1说明按定义1,偏导数只是2个特殊方向的方向导数,即偏导数是方向导数的特例,方向导数 定义2【 设函数Z=厂( ,y)在点P( 。,Yo)的某邻域u(Po)c R 内有定义, 为从点尸。出发的射线, 尸( ,),)为7I上且含于 (尸0)内的任一点,以 表示P与eo两点间的距离.若极限liar !)二 收稿日期:2011—07—1O 基金项目:黑龙江省科技厅科学技术项目(12523o48) 作者简介:刘彦慧(1978一),女,黑龙江双城人,讲师,硕士,从事运筹学与控制论研究.E—mail:hanliuO03@163.corn 18 高师理科学刊 第32卷 存在,其中:户= 沿方向 的方向导数,记作 即 。 ’贝IJ称此极限为函数z_,( )在点P0 = li ar = li m 垒 . 性质1 沿任何方向的方向导数(按定义2)均存在时,偏导数不一定存在. 例设,( ,),): 爵lml0 __ ,在点(o,o)处沿任意方向的方向导数为 △ 。 I(o,o)p---vJ+ :tim—f(Ax,Ay)—-f(O,0) n、 +a l也不存 p-1'但偏导数 _HAxme0 等 = …lim Ax 概 I Axl不存在,同 I,(0,o).+0△ …o。 在嘲. 证毕. 性质1说明按定义2,偏导数不是方向导数的特例,方向导数也不能简单地看成是偏导数的推广. 性质2若Z=f(x,),)在点(五),)处的偏导数 ,, 存在,则f(x,y)在( ,y)处沿 轴正向和负向 及沿Y轴正向和负向的方向导数存在,且分别为 和~ 及 和一 . 证明 由定义1,利用性质(1)可得沿 轴正向即 =(1,0)的方向导数为 I : I ,沿 轴 负向即 ,=(一1,。)的方向导数为 :1im丛 二!: 二 f。÷0 t :一lim 二!: 二 : 2 一 f ( ) t-- ̄O —t 同理可得:若 存在沿),轴正向和负向的方向导数分别为 和一 . 由定义2沿 轴正鲫 (1'0)的方向导数为乱川= lim+ 些 hm Ax--, ̄0 ± : 二 : : Ax 出 y ,其中: >0; :o. f( +Ax,Y+Ay)一f( ,Y) 由定义2沿 轴负向即 r:(一1,。)的方向导数为蒡 = lim 。+ lim ! ± : 二 : 2 :一 ,其中: <0; :0. 证毕. 0一 一 乇j y I司埋口J得:右,y仔征,则猫Y轴止I司和负I司明力I司导数分别为 和一 . 利用性质2可以得到推论1 ̄4. 推论1 z ,(五),)在点( ),)处存在关于 的偏导数 的充要条件是蔷L,,=一 I 五,,,其中: =(1,0)为 轴正向; ,=(-1,0)为 轴负向. 推论2 z ,( y)在点( y)处存在关于y的偏导数 的充要条件是 )=一雾 其中: =(O,1)为Y轴正向; r:(0,一1)为Y轴负向. 推论3若已知f(x,),)在点( ,Yo)沿 轴正向 =(1,0)和负向 ,=(-1,0)的方向导数存在且相等, 那么 (1)若乱y0) 乳y0)≠0'则偏导 y0)不存在. (2)若乳 :乱 IJ偏导 y0)存在’且等 . 推论4若已知f(x,y)在点( ,Yo)沿Y轴正向 =(0,1)和负向 ,=(0,一1)的方向导数存在且相 等,那么 第2期 刘彦慧,等:有关方向导数性质的讨论 19 ≠0,则偏导数 ( o,Yo)不存在阁; (2) 若 若 =训习 圳 0,则偏导数, ( ,Yo)存在,且等于零. 参考文献: 【1】同济大学应用数学系.微积分【M].北京:高等教育出版社,2005 【2】华东师范大学数学系.数学分析【 .北京:高等教育出版社,1995 【3】陈朝晖.利用方向导数探讨多元函数的单调性与极值【J】.宜宾学院学报,2010(6):121—122 [4】孟凡文,高岩.极大值函数的二 阶方向导数[J].大连理工大学学报,1998(1 1):621—622 【5】郭建新.谈方向导数与梯度的几何意义【J】.甘肃高师学报,2009(5):36_37 二次型中的介值性定理 王明军 介值性定理“ 闭区间上连续函数的一个重要性质,它在证明不等式、判断方程根等方面具有广泛的应用. 本文给出介 值注定理应用于二次型中的典型例题,同时在二次型中证明了与介值.性定理类似的结论. 1 介值性定理在二次型问题中的应用 例设A为nXn正定实对称矩阵,|s为 ×rt实反对称矩阵,试证行列式IA+sl>0. 证明 先证 +SI≠0,否则,若IA+Sf=0,则存在n维向量X≠0,使得(A+s)x=0, 由此可得 0=X (A+s)x=X AX+X SX=X—AX,由A正定可知,x A >0,矛盾.故IA+sl≠0. 作闭区间【0,1】上连续函数f(x)=lA+xSI.由于对于任意 ∈R,xS仍为反对称的,故由以上证明可知,f(x)≠0.因 为f(O)=lAI>0,所以若f(1)=lA+S J<0,由介值性定理可知,必存在 (0</z<1),使f(g)=0,此为矛盾,故必有 IA+Sl>0. 2二次型中类似于介值性定理的结论 二次型是高等代数中的一个重要研究对象 ,是近代运筹学处理非线性问题的基础,同时在力学研究中也有重要应用. 定理设,( ,X:,…, )=X ̄rAX是一个实二次型,若有实,l维向量 , :,使得 A 。>0,XfAX:<0,则必 存在实n维向量X。≠0,使得 。TA 。=0. 证明设,( , ,…, )=X A 经非退化线性替换X=CY化为规范形Yl2+…+Y:一)' 2 …・一Y 因存在 。,使得 XfAX。>0,故正惯性指数P>0,又因存在x:,使得x A :<0,故负惯性指数大于零,即r>P。令Y =1,Y =1,Y,=0 (1 fs,l,f≠1,P+1),代人X=CY,得一个实向量X。≠0,满足 A 。…1 1 0. 参考文献: 【1】华东师范大学数学系.数学分析(上册'】[M].3版.北京:高等教育出版社,2001 [2]北京大学数学系几何与代数教研室.高等代数[嗍.3版.北京:高等教育出版社,2003 (作者单位:渭南师范学院数学与信息科学学院,陕西渭南714000) 基金项目:陕西省教育厅科研基金项目(11JK0478) 证毕. 

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