第３２卷 第２期 ２０１２焦 高师理科学刊 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｅｉｅｎｅｅ ｏｆ Ｔｅａｅｈｅｒｓ Ｃｏｌｌｅｇｅ ａｎｄ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｖ０１．３２ Ｎｏ．２ Ｍａｒ．２０１２ ３月 文章编号：１００７—９８３ １（２．０１２）０２—００１７—０３ 有关方向导数性质的讨论 刘彦慧，杨春玲 （黑龙江科技学院理学院，黑龙江哈尔滨１５００２７） 摘要：文献【１—２］对方向导数有２种不同的定义，将不同的定义进行了对比，讨论了方向导数与偏 导数的关系，得到了一些重要｝生质． 关键词：方向导数；偏导数；定义 中图分类号：０１７１ 文献标识码：Ａ ｄｏｉ：１０．３９６９￣．ｉｓｓｎ．１００７－９８３１．２０１２．０２．００６ Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ｏｎ ｔｈｅ ｎａｔｕｒｅ ｏｆ ｔｈｅ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎａｌ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ ＬＩＵ Ｙａｎ－ｈｕｉ，ＹＡＮＧ Ｃｈｕｎ－ｌｉｎｇ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，Ｈｅｉｌｏｎｇｊｉａｎｇ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆＳｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｈａｒｂｉｎ １５００２７，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ［１－２】ｇｉｖｅ ｔｗｏ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ ｏｆ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎａｌ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ．Ｃｏｍｐａｒｅｄ ｔｈｅ ｄｉｆｅｒｅｎｔ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ， ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎａｌ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ ａｎｄ ｔｈｅ ｐａｒｔｉｌ ａｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ，ｏｂｔａｉｎｅｄ ｓｏｍｅ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｄｉｒｅｃｔｉｏｎａｌ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ；ｐａｒｔｉｌ ａｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ；ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ 定义１ＩｌＪ设函数ｚ＝ｆ（ｘ，Ｙ）在点Ｐ（ ，Ｙｏ）的某个邻域内有定义，ｌ是一非零向量，ｅｔ＝（口，易）是与ｚ 同方向的单位向量，如果极限ｌｉｍ 二 存在，则称此极限为函数ｚ：，（ ，），）在点 Ｐ处沿方向ｊ‘的方向导数， ＿Ｆ乳 即乱 ＝Ｅｌ ｍ 性质１若沿任何方向的方向导数（按定义１）均存在，则偏导数一定存在． ・ 证明设函数Ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）在点Ｐ（ ，Ｙｏ）的某个邻域内有定义， ＝（１，０）（ 轴正向），由于函数沿任 何方向的方向导数均存在，则沿 ＝（１，Ｏ）（Ｙ轴正向）方向的方向导数也存在，再根据偏导数的定义可知， ８１ ｌｌｉａｒ （Ｘｏ，ｙ。）ｔ－＋０ ：ｔ ：笪Ｉ． Ｉ（ ，ｙ。） 同理沿 ＝（。＇１）方向的方向导数为等 是偏导数的推广． 丛 ）二 ＝ 证毕・ ： 性质１说明按定义１，偏导数只是２个特殊方向的方向导数，即偏导数是方向导数的特例，方向导数 定义２【 设函数Ｚ＝厂（ ，ｙ）在点Ｐ（ 。，Ｙｏ）的某邻域ｕ（Ｐｏ）ｃ Ｒ 内有定义， 为从点尸。出发的射线， 尸（ ，），）为７Ｉ上且含于 （尸０）内的任一点，以 表示Ｐ与ｅｏ两点间的距离．若极限ｌｉａｒ ！）二 收稿日期：２０１１—０７—１Ｏ 基金项目：黑龙江省科技厅科学技术项目（１２５２３ｏ４８） 作者简介：刘彦慧（１９７８一），女，黑龙江双城人，讲师，硕士，从事运筹学与控制论研究．Ｅ—ｍａｉｌ：ｈａｎｌｉｕＯ０３＠１６３．ｃｏｒｎ １８ 高师理科学刊 第３２卷 存在，其中：户＝ 沿方向 的方向导数，记作 即 。 ’贝ＩＪ称此极限为函数ｚ＿，（ ）在点Ｐ０ ＝ ｌｉ ａｒ ＝ ｌｉ ｍ 垒 ． 性质１ 沿任何方向的方向导数（按定义２）均存在时，偏导数不一定存在． 例设，（ ，），）： 爵ｌｍｌ０ ＿＿ ，在点（ｏ，ｏ）处沿任意方向的方向导数为 △ 。 Ｉ（ｏ，ｏ）ｐ－－－ｖＪ＋ ：ｔｉｍ—ｆ（Ａｘ，Ａｙ）—－ｆ（Ｏ，０） ｎ、 ＋ａ ｌ也不存 ｐ－１＇但偏导数 ＿ＨＡｘｍｅ０ 等 ＝ …ｌｉｍ Ａｘ 概 Ｉ Ａｘｌ不存在，同 Ｉ，（０，ｏ）．＋０△ …ｏ。 在嘲． 证毕． 性质１说明按定义２，偏导数不是方向导数的特例，方向导数也不能简单地看成是偏导数的推广． 性质２若Ｚ＝ｆ（ｘ，），）在点（五），）处的偏导数 ，， 存在，则ｆ（ｘ，ｙ）在（ ，ｙ）处沿 轴正向和负向 及沿Ｙ轴正向和负向的方向导数存在，且分别为 和～ 及 和一 ． 证明 由定义１，利用性质（１）可得沿 轴正向即 ＝（１，０）的方向导数为 Ｉ ： Ｉ ，沿 轴 负向即 ，＝（一１，。）的方向导数为 ：１ｉｍ丛 二！： 二 ｆ。÷０ ｔ ：一ｌｉｍ 二！： 二 ： ２ 一 ｆ （ ） ｔ－－￣Ｏ —ｔ 同理可得：若 存在沿），轴正向和负向的方向导数分别为 和一 ． 由定义２沿 轴正鲫 （１＇０）的方向导数为乱川＝ ｌｉｍ＋ 些 ｈｍ Ａｘ－－，￣０ ± ： 二 ： ： Ａｘ 出 ｙ ，其中： ＞０； ：ｏ． ｆ（ ＋Ａｘ，Ｙ＋Ａｙ）一ｆ（ ，Ｙ） 由定义２沿 轴负向即 ｒ：（一１，。）的方向导数为蒡 ＝ ｌｉｍ 。＋ ｌｉｍ ！ ± ： 二 ： ２ ：一 ，其中： ＜０； ：０． 证毕． ０一 一 乇ｊ ｙ Ｉ司埋口Ｊ得：右，ｙ仔征，则猫Ｙ轴止Ｉ司和负Ｉ司明力Ｉ司导数分别为 和一 ． 利用性质２可以得到推论１￣４． 推论１ ｚ ，（五），）在点（ ），）处存在关于 的偏导数 的充要条件是蔷Ｌ，，＝一 Ｉ 五，，，其中： ＝（１，０）为 轴正向； ，＝（－１，０）为 轴负向． 推论２ ｚ ，（ ｙ）在点（ ｙ）处存在关于ｙ的偏导数 的充要条件是 ）＝一雾 其中： ＝（Ｏ，１）为Ｙ轴正向； ｒ：（０，一１）为Ｙ轴负向． 推论３若已知ｆ（ｘ，），）在点（ ，Ｙｏ）沿 轴正向 ＝（１，０）和负向 ，＝（－１，０）的方向导数存在且相等， 那么 （１）若乱ｙ０） 乳ｙ０）≠０＇则偏导 ｙ０）不存在． （２）若乳 ：乱 ＩＪ偏导 ｙ０）存在’且等 ． 推论４若已知ｆ（ｘ，ｙ）在点（ ，Ｙｏ）沿Ｙ轴正向 ＝（０，１）和负向 ，＝（０，一１）的方向导数存在且相 等，那么 第２期 刘彦慧，等：有关方向导数性质的讨论 １９ ≠０，则偏导数 （ ｏ，Ｙｏ）不存在阁； （２） 若 若 ＝训习 圳 ０，则偏导数， （ ，Ｙｏ）存在，且等于零． 参考文献： 【１】同济大学应用数学系．微积分【Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００５ 【２】华东师范大学数学系．数学分析【 ．北京：高等教育出版社，１９９５ 【３】陈朝晖．利用方向导数探讨多元函数的单调性与极值【Ｊ】．宜宾学院学报，２０１０（６）：１２１—１２２ ［４】孟凡文，高岩．极大值函数的二 阶方向导数［Ｊ］．大连理工大学学报，１９９８（１ １）：６２１—６２２ 【５】郭建新．谈方向导数与梯度的几何意义【Ｊ】．甘肃高师学报，２００９（５）：３６＿３７ 二次型中的介值性定理 王明军 介值性定理“ 闭区间上连续函数的一个重要性质，它在证明不等式、判断方程根等方面具有广泛的应用． 本文给出介 值注定理应用于二次型中的典型例题，同时在二次型中证明了与介值．性定理类似的结论． １ 介值性定理在二次型问题中的应用 例设Ａ为ｎＸｎ正定实对称矩阵，｜ｓ为 ×ｒｔ实反对称矩阵，试证行列式ＩＡ＋ｓｌ＞０． 证明 先证 ＋ＳＩ≠０，否则，若ＩＡ＋Ｓｆ＝０，则存在ｎ维向量Ｘ≠０，使得（Ａ＋ｓ）ｘ＝０， 由此可得 ０＝Ｘ （Ａ＋ｓ）ｘ＝Ｘ ＡＸ＋Ｘ ＳＸ＝Ｘ—ＡＸ，由Ａ正定可知，ｘ Ａ ＞０，矛盾．故ＩＡ＋ｓｌ≠０． 作闭区间【０，１】上连续函数ｆ（ｘ）＝ｌＡ＋ｘＳＩ．由于对于任意 ∈Ｒ，ｘＳ仍为反对称的，故由以上证明可知，ｆ（ｘ）≠０．因 为ｆ（Ｏ）＝ｌＡＩ＞０，所以若ｆ（１）＝ｌＡ＋Ｓ Ｊ＜０，由介值性定理可知，必存在 （０＜／ｚ＜１），使ｆ（ｇ）＝０，此为矛盾，故必有 ＩＡ＋Ｓｌ＞０． ２二次型中类似于介值性定理的结论 二次型是高等代数中的一个重要研究对象 ，是近代运筹学处理非线性问题的基础，同时在力学研究中也有重要应用． 定理设，（ ，Ｘ：，…， ）＝Ｘ￣ｒＡＸ是一个实二次型，若有实，ｌ维向量 ， ：，使得 Ａ 。＞０，ＸｆＡＸ：＜０，则必 存在实ｎ维向量Ｘ。≠０，使得 。ＴＡ 。＝０． 证明设，（ ， ，…， ）＝Ｘ Ａ 经非退化线性替换Ｘ＝ＣＹ化为规范形Ｙｌ２＋…＋Ｙ：一）＇ ２ …・一Ｙ 因存在 。，使得 ＸｆＡＸ。＞０，故正惯性指数Ｐ＞０，又因存在ｘ：，使得ｘ Ａ ：＜０，故负惯性指数大于零，即ｒ＞Ｐ。令Ｙ ＝１，Ｙ ＝１，Ｙ，＝０ （１ ｆｓ，ｌ，ｆ≠１，Ｐ＋１），代人Ｘ＝ＣＹ，得一个实向量Ｘ。≠０，满足 Ａ 。…１ １ ０． 参考文献： 【１】华东师范大学数学系．数学分析（上册＇】［Ｍ］．３版．北京：高等教育出版社，２００１ ［２］北京大学数学系几何与代数教研室．高等代数［嗍．３版．北京：高等教育出版社，２００３ （作者单位：渭南师范学院数学与信息科学学院，陕西渭南７１４０００） 基金项目：陕西省教育厅科研基金项目（１１ＪＫ０４７８） 证毕．
