二次函数应用题分类解析

二次函数是初中学段的难点，学生学起来觉的比较的吃力，可以把应用问题进行分类： 第一类、利用待定系数法

对于题目明确给出两个变量间是二次函数关系，并且给出几对变量值，要求求出函数关系式，并进行简单的应用。解答的关键是熟练运用待定系数法，准确求出函数关系式。 例1． 某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告。根据经验，每年投入的广告费是x（十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：

x（十万元） 0 y （1）求y与x的函数关系式；

（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元）的函数关系式；

（3）如果投入的年广告费为10—30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？

析解：（1）因为题中给出了y是x的二次函数关系，所以用待定系数法即可求出y

1 1 1.5 2 1.8 … … 与x的函数关系式为

y123xx1105

2（2）由题意得S=10y(3-2)-xx5x10

565Sx25x10(x)224及二次函数性质知，（3）由（2）当1≤x≤2.5，

即广告费在10—25万元之间时，S随广告费的增大而增大。

二、分析数量关系型

题设结合实际情景给出了一定数与量的关系，要求在分析的基础上直接写出函

数关系式，并进行应用。解答的关键是认真分析题意，正确写出数量关系式。 例2． 某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元。物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元。市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克。在销售过程中，每天还要支出其它费用500元（天数不足一天时，按整天计算）。设销售单价为x元，日均获利为y元。

（1）求y关于x的二次函数关系式，并注明x的取值范围；

（2）将（1）中所求出的二次函数配方成

b24acb2ya(x)2a4a的形式，写出顶点坐标；

在图2所示的坐标系中画出草图；观察图象，指出单价定为多少元时日均获得最多，

是多少？

（3）若将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价最高这两种销售方式，哪一种获总利较多，多多少？

析解：（1）若销售单价为x元，则每千克降低（70-x）元，日均多售出2（70-x）千克，日均销售量为[60+2(70-x)]千克，每千克获利为(x-30)元。根据题意得

y(x30)[602(70x)]5002x2260x6500（30≤x≤70）。

22y2(x130x)65002(x65)1950。（2）顶点坐标为（65，1950），

草图略，当单价定为65元时，日均获利最多，是1950元。

（3）列式计算得，当日均获利最多时，可获总利195000元；当销售单价最

高时，可获总利221500元。故当销售单价最高时获总利较多，且多获利221500-195000=26500元。

三、建模型

即要求自主构造二次函数，利用二次函数的图象、性质等解决实际问题。这类问题建模要求高，有一定难度。

例3．如图4，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN=4dm，抛物线顶点处到边MN的距离是4dm，要在铁皮上截下一矩形ABCD，使矩形顶点B、C落在边MN上，A、D落在抛物线上，问这样截下去的矩形铁皮的周长能否等于8dm？

析解：由“抛物线”联想到二次函数。如图4，以MN所在的直线为x轴，点M为原点建立直角坐标系。设抛物

线的顶点为P，则M（0，0），N（4，0），P（2，4）。用待定系数法求得抛

2yx4x。 物线的解析式为

设A点坐标为（x，y），则AD=BC=2x-4，AB=CD=y。于是

l2AB2AD2y2(2x4) 2(x24x)2(2x4)2x212xl2AB2AD2y2(2x4)2(x24x)2(2x4)2x212x8。且x的取值范围是0≠2）。

22若l=8，则2x12x88，即x6x80。解得x12，x24。

而0注：本题还可在其它位置建立直角坐标系。

例4..某环保器材公司销售一种市场需求较大的新型产品,已知每件产品的进价为40元,经销过程中测出销售量y(万件)与销售单价x(元)存在如图所示的一次函数关系,每年销售该种产品的总开支z(万元)(不含进价)与年销量y(万件)存在函数关系z=10y+42.5. (1)求y关于x的函数关系式;

(2)度写出该公司销售该种产品年获利w(万元)关于销售单价x(元)的函数关系式;(年获利=年销售总金额-年销售产品的总进价-年总开支金额)当销售单价x为何值时,年获利最大?最大值是多少? (3)若公司希望该产品一年的销售获利不低于57.5万元,请你利用(2)小题中的函数图象帮助该公司确定这种产品的销售单价的范围 在此条件下要使产品的销售量最大,你认为销售单价应定为多少元? .解:(1)由题意,设y=kx+b,图象过点(70,5),(90,3), ∴570kb,解得k390kb.b1∴y=1x+12.…………………………………………3分 ,101012.(2)由题意,得w=y(x-40)-z=y(x-40)-(10y+42.5)=(1x+12)(x-10)-10(1x+12)-42.5

1010=-0.1x2+17x-642.5=1(x-85)2+80.

10当85元时,年获利的最大值为80万元. ……………………………………………………6分 (3)令w=57.5,得-0.1x2+17x-642.5=57.2. 整理,得x2-170x+7000=0. 解得x1=70,x2=100.

由图象可知,要使年获利不低于57.5万元,销售单价应在70元到100元之间.又因为销售单价越低,销售量越大,所以要使销售量

最大,又使年获利不低于57.5万元,销售单价应定为70元.………………………………10分

二次函数应用练习题

1．如图，已知抛物线l1：y=x-4的图象与x轴相交于A、C两点，B是抛物线l1上的动点(B不与A、C重合)，抛物线l2与l1关于x轴对称，以AC为对角线的平行四边形ABCD的第四个顶点为D.

(1) 求l2的解析式； (2) 求证：点D一定在l2上；

(3) □ABCD能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积(若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积)；如果不能为矩形，请说明理由.

注：计算结果不取近似值 .

2．已知，二次函数ymx22

1（A在B的左边），与y轴+3(m)x+4(m＜0)与x轴交于A、B两点，

4交于点C，且∠ACB=90°. (1)求这个二次函数的解析式.

(2)矩形DEFG的一条边DG在AB上，E、F分别在BC、AC上，设OD=x，矩形DEFG的面积为S，求S关于x的函数解析式.

(3)将(1)中所得抛物线向左平移2个单位后，与x轴交于A’、B’点(A’在B’的左边)，矩形D'E’F’G’的一条边D’G’在A，B’上(G，在D’的左边)，E’、F’分别在抛物线上，矩形D'E’F’G’的周长是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由． 3．阅读材料，解答下列问题：

2x3(x>-1)中的y的取值范围．

x12x32(x1)11 解．∵y= 2x1x1x11 ∵ 0

x1 求函数y= ∴y>2

在高中我们将学习这样一个重要的不等式：y的积为定值时，其和有最小值． 例如：求证：x+

xyxy(x、y为正数)；此不等式说明：当正数x、21≥2(x>O) xx证明：∵

1xx11 2x∴x+

1≥2 x利用以上信息，解决以下问题：

x1中(x>1)，y的取值范围． x14(2)．若x>O，求代数式2x+的最小值．

x(1)求函数：y=

4．如图，已知二次函数y=- (1)求c的值； (2)求A点的坐标；

(3)若一条平行于y轴的直线与线段OA交于点F，与这个二次函数的图像交于点E，求线段EF的最大长度．

5．利用图象解一元二次方程x-2x-1=0时，我们采用的一种方法是：在直角坐标系中画出抛物线y=x和直线y=2x+1，两图象交点的横坐标就是该方程的解． (1)请再给出一种利用图象求方程x-2x-1=0的解的方法

(2)已知函数y=x的图象(如图)：求方程x-x-2=0的解．(结果保留2个有效数字)

6．我们学过二次函数的图象的平移，如：将二次函数y=3x的图象向左平移2个单位，再向下平移4个单位，所图象的函数表达式是

2

3

3

2

2

2

11 x+4x+c的图像经过坐标原点，并且与函数y= x 的图像交于O、A两点． 222

y3(x2)24.

类比二次函数的图象的平移，我们对反比例函数的图象作类似的变换： （1）将

y1的图象向右平移1个单位，所得图象的函数表达式为 x ，

再向上平移1个单位，所得图象的函数表达式为 ； （2）函数

yx11的图象可由y的图象向

xxyxbxa（ab0，且a 平移 个单位得到；yx1的图象x2可由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到？ （3）一般地，函数变换得到？

b）的图象可由哪个反比例函数的图象经过和怎样的

7．已知抛物线y＝ax＋b x＋c经过A，B，C三点，当x≥0时，其图象如图所示． (1)求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标； (2)画出抛物线y＝ax＋b x＋c当x＜0时的图象； (3)利用抛物线y＝ax＋b x＋c，写出为何值时，y＞0．

8．下表给出了代数式xx

222

2

bxc与x的一些对应值：

… …

0 3

1

2 －1

3

4 3

… …

xbxc

（2）设

2

（1）请在表内的空格中填入适当的数；

yx2bxc，则当x取何值时，y＞0？

22（3）请说明经过怎样平移函数yxbxc的图象得到函数yx的图象.

9．已知抛物线

yax2bxc经过P(53及原点O(0，0)． 3，，3)E，02（1）求抛物线的解析式．

（2）过P点作平行于x轴的直线PC交任取一点Q，过点Q作直线QA平行于

y轴于C点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC下方的抛物线上，

y轴交x轴于A点，交直线PC于B点，直线QA与直线PC及两坐标

轴围成矩形OABC（如图13）．是否存在点Q，使得△OPC与△PQB相似？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）如果符合（2）中的Q点在x轴的上方，连结OQ，矩形OABC内的四个三角形△OPC，△PQB，OQP，△OQA之间存在怎样的关系？为什么？

10．一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8 m，宽为2 m，隧道最高点P位于A B的中央且距地面6 m，建立如图所示的坐标系． (1)求抛物线的解析式；

(2)一辆货车高4 m，宽2 m，能否从该隧道内通过，为什么? (3)如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么?

11．如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时，宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10m。

(1)在如图所示的坐标系中求抛物线的解析式；

(2)若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到达拱桥顶？

12．某企业信息部进行市场调研发现：

信息一：如果单独投资A种产品，则所获利润yA（万元）与投资金额x万元）之间存在正比例函数关系：yA=kx，并且当投资5万元时，可获利润2万元．

信息二：如果单独投资B种产品，则所获利润yB（万元）与投资金额x（万元）之间存在二次函数关系：yB=ax2+bx，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元时，可获利润3.2万元． （1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；

（2）如果企业同时对A，B两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？

13．小明为了通过描点法作出函数y=x-x+1的图象，先取自变量x的7个值满足：x2-x1=x3-x2=…=x7-x6=d，再分别算出对应的y值，列出表1： 表l

x y xl l x2 3 x3 7 x4 13 x5 21 x6 31 x7 43 2

记ml=y2-y1，m2=y3-y2，m3=y4-y3，m4=y5-y4，…；s1=m2-m1，S2=m3-m2，S3=m4-m3，… (1)判断S1、S2、S3之间关系，并说明理由；

(2)若将函数“y=x2-x+1”改为“y=ax2+bx+c(a≠0)”，列出表2： 表2

x y x1 y1 x2 y2 x3 y3 2

x4 y4 x5 y5 x6 y6 x7 y7 其他条件不变，判断s1、s2、S3之间关系，并说明理由；

(3)小明为了通过描点法作出函数y=ax+bx+c(a≠0)的图象，列出表3： 表3

x y xl 10 x2 50 x3 110 x4 190 x5 290 x6 412 x7 550 由于小明的粗心，表3中有一个y值算错了，请指出算错的y值(直接写答案)