2016年广东深圳龙岗区八年级下学期北师版数学期末考试试卷

一、选择题（共12小题；共36分）

1. 不等式 2𝑥−4≤0 的解集在数轴上表示为 (  )

A.

B.

C. D.

2. 下列图案中，不是中心对称图形的是 (  )

A. B.

C. D.

3. 下列命题正确的有 (  )

①如果等腰三角形的底角为 15∘，那么腰上的高是腰长的一半； ②三角形至少有一个内角不大于 60∘；

③顺次连接任意四边形各边中点形成的新四边形是平行四边形； ④十边形内角和为 1800∘．

A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

𝑎

𝑏

4. 如果 𝑎>𝑏，下列各式中正确的是 (  )

A. 𝑎−3>𝑏−3

B. 𝑎𝑐>𝑏𝑐

C. −2𝑎>−2𝑏

D. < 22

5. 如图 △𝐴𝐵𝐶 是等腰直角三角形，𝐵𝐶 是斜边，将 △𝐴𝐵𝑃 绕点 𝐴 逆时针旋转后，能与 △𝐴𝐶𝑃ʹ 重合，已知 𝐴𝑃=3，则 𝑃𝑃ʹ 的长度是 (  ) A. 3

B. 3√2

C. 5√2

D. 4

6. 如图，在等腰直角 △𝐴𝐵𝐶 中，∠𝐶=90∘，𝐴𝐷 是 ∠𝐶𝐴𝐵 的平分线，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，且 𝐷𝐸=2 cm，则 𝐴𝐸 的长是 (  ) cm． A. 2√2+2 A. 𝑎>2

A. 12𝑎2𝑏=3𝑎⋅4𝑎𝑏

C. 4𝑥2+8𝑥−1=4𝑥(𝑥+2)−1 A. 15

B. 15 或 −15 B. 2√3 B. −1<𝑎<2

C. 4

D. 不确定

7. 已知点 𝐴(2−𝑎,𝑎+1) 在第一象限，则 𝑎 的取值范围是 (  )

C. 𝑎<−1

D. 𝑎<1

8. 下列从左边到右边的变形，是因式分解的是 (  )

B. (𝑥+3)(𝑥−3)=𝑥2−9 D. 𝑥2+3𝑥−4=(𝑥−1)(𝑥+4) C. 39 或 −33

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9. 若 9𝑥2+2(𝑘−3)𝑥+16 是完全平方式，则 𝑘 的值为 (  )

D. 15 或 −9

10. 如图，在平面直角坐标系中，点 𝐵 的坐标是 (−2,0)，点 𝐴 是 𝑦 轴正方向上的一点，

且 ∠𝐵𝐴𝑂=30∘，现将 △𝐵𝐴𝑂 顺时针绕点 𝑂 旋转 90∘ 至 △𝐷𝐶𝑂，直线 𝑙 是线段 𝐵𝐶 的垂直平分线，点 𝑃 是 𝑙 上一动点，则 𝑃𝐴+𝑃𝐵 的最小值为 (  )

A. 2√6 C. 2√3+1

B. 4 D. 2√3+2

11. 若 𝑎2+2𝑎+𝑏2−6𝑏+10=0，则 𝑏𝑎 的值是 (  )

A. −1

B. 3

C. −3

D. 3 1

12. 如图，把矩形 𝐴𝐵𝐶𝐷 沿 𝐸𝐹 翻折，点 𝐵 恰好落在 𝐴𝐷 边的点 𝐵ʹ 处，若矩形的面积

为 16√3，𝐴𝐸=𝐵ʹ𝐷，∠𝐸𝐹𝐵=60∘，则线段 𝐷𝐸 的长是 (  )

A. 4√3 B. 5

C. 6

D. 6√3

二、填空题（共4小题；共12分）

13. 要使分式

𝑥2−1𝑥−1

的值等于零，则 𝑥 的取值是 ．

14. 不等式 3(𝑥+1)≥5𝑥−3 的正整数解之和是 ．

15. 如图的螺旋形由一系列含 30∘ 的直角三角形组成，其序号依次为①、②、③、④、⑤

⋯，则第 6 个直角三角形的斜边长为 ．

16. 如图，过边长为 2 的等边 △𝐴𝐵𝐶 的边 𝐴𝐵 上点 𝑃 作 𝑃𝐸⊥𝐴𝐶 于 𝐸，𝑄 为 𝐵𝐶 延长

线上一点，当 𝑃𝐴=𝐶𝑄 时，连 𝑃𝑄 交 𝐴𝐶 边于 𝐷，则 𝐷𝐸 的长为 ．

三、解答题（共7小题；17题6分，18题6分，19题6分，20题8分，21题8分，22题9分，23题9分，共52分） 17. 分解因式：

（1）2𝑥2−2；

（2）(𝑚−𝑛)2−6(𝑛−𝑚)+9．

18. 解不等式组：{𝑥

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1

9

4(𝑥−1)≥𝑥+4 ⋯⋯①<2

2𝑥+13

⋯⋯②.

19. 先化简 (

−𝑥+1)÷2𝑥2−2，然后从 √2，1，−1 中选取一个你认为合适的数作为 𝑥 的值代入求值． 𝑥−1

11𝑥

20. 如图 Rt△𝐴𝐶𝐵 中，已知 ∠𝐵𝐴𝐶=30∘，𝐵𝐶=2，分别以 Rt△𝐴𝐵𝐶 的直角边 𝐴𝐶 及斜边 𝐴𝐵 向外作等边 △𝐴𝐶𝐷，

等边 △𝐴𝐵𝐸．𝐸𝐹⊥𝐴𝐵，垂足为 𝐹，连接 𝐷𝐹． （1）求证：四边形 𝐴𝐷𝐹𝐸 是平行四边形； （2）求四边形 𝐴𝐷𝐹𝐸 的周长．

21. 某市从今年1月1日起调整居民家用水价格，每立方米水费上涨 ，小刚家去年12月份的水费是 15 元，而今

3

年7月份的水费是 30 元，已知小刚家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多 5 m3，求该市今年居民用水价格．

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1

22. 如图，在四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中，𝐴𝐷∥𝐵𝐶，∠𝐴=90∘，𝐴𝐵=12，𝐵𝐶=21，𝐴𝐷=16．动点 𝑃 从点 𝐵 出发，沿射线

𝐵𝐶 的方向以每秒 2 个单位长的速度运动，动点 𝑄 同时从点 𝐴 出发，在线段 𝐴𝐷 上以每秒 1 个单位长的速度向点 𝐷 运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为 𝑡（秒）． （1）设 △𝐷𝑃𝑄 的面积为 𝑆，求 𝑆 与 𝑡 之间的函数关系式； （2）当 𝑡 为何值时，四边形 𝑃𝐶𝐷𝑄 是平行四边形? （3）分别求出当 𝑡 为何值时，① 𝑃𝐷=𝑃𝑄，② 𝐷𝑄=𝑃𝑄．

23. 已知两个等腰 Rt△𝐴𝐵𝐶，Rt△𝐶𝐸𝐹 有公共顶点 𝐶，∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐶𝐸𝐹=90∘，连接 𝐴𝐹，𝑀 是 𝐴𝐹 的中点，连接

𝑀𝐵，𝑀𝐸．

（1）如图 1，当 𝐶𝐵 与 𝐶𝐸 在同一直线上时，求证：𝑀𝐵∥𝐶𝐹；

（2）如图 1，在第（1）问的基础上，若 𝐶𝐵=𝑎，𝐶𝐸=2𝑎，求 𝐵𝑀，𝑀𝐸 的长； （3）如图 2，当 ∠𝐵𝐶𝐸=45∘ 时，求证：𝐵𝑀=𝑀𝐸．

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答案

第一部分 1. B

【解析】2𝑥−4≤0

2𝑥≤4 𝑥≤2． 2. D

3. C

【解析】①如果等腰三角形的底角为 15∘，那么腰上的高是腰长的一半，正确；

证明如下：如图：

∵∠𝐵=∠𝐴𝐶𝐵=15∘， ∴∠𝐶𝐴𝐵=150∘，

∴∠𝐶𝐴𝐷=30∘，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，

∴ 在直角三角形 𝐴𝐶𝐷 中，𝐶𝐷=𝐴𝐶．

2

②因为三角形的内角和等于 180∘，所以一个三角形中至少有一个内角不大于 60∘，所以三角形至少有一个内角不大于 60∘，正确；

③顺次连接任意四边形各边中点形成的新四边形是平行四边形，正确； 证明如下：如图，连接 𝐴𝐶，

1

∵𝐸，𝐹，𝐺，𝐻 分别是四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 边的中点， ∴𝐻𝐺∥𝐴𝐶，𝐻𝐺=2𝐴𝐶，𝐸𝐹∥𝐴𝐶，𝐸𝐹=2𝐴𝐶， ∴𝐸𝐹=𝐻𝐺 且 𝐸𝐹∥𝐻𝐺， ∴ 四边形 𝐸𝐹𝐺𝐻 是平行四边形．

④十边形内角和为 (10−2)×180∘=1440∘，故错误． 正确有 3 个． 4. A

【解析】A、 𝑎>𝑏 不等式的两边都减去 3 可得 𝑎−3>𝑏−3，故本选项正确；

B 、 𝑎>𝑏 不等式两边都乘以 𝑐，𝑐 的正负情况不确定，所以 𝑎𝑐>𝑏𝑐 不一定成立，故本选项错误； C、 𝑎>𝑏 不等式的两边都乘以 −2 可得 −2𝑎<−2𝑏，故本选项错误； D、 𝑎>𝑏 不等式两边都除以 2 可得 >，故本选项错误．

225. B

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𝑎

𝑏

1

1

【解析】∵ △𝐴𝐶𝑃ʹ 是由 △𝐴𝐵𝑃 绕点 𝐴 逆时针旋转后得到的， ∴ △𝐴𝐶𝑃ʹ≌△𝐴𝐵𝑃，

∴ 𝐴𝑃=𝐴𝑃ʹ，∠𝐵𝐴𝑃=∠𝐶𝐴𝑃ʹ． ∵ ∠𝐵𝐴𝐶=90∘， ∴ ∠𝑃𝐴𝑃ʹ=90∘，

故可得出 △𝐴𝑃𝑃ʹ 是等腰直角三角形， 又 ∵ 𝐴𝑃=3， ∴ 𝑃𝑃ʹ=3√2． 6. A

【解析】∵ 在等腰直角 △𝐴𝐵𝐶 中，∠𝐶=90∘，𝐴𝐷 是 ∠𝐶𝐴𝐵 的平分线，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，

∴ 𝐷𝐸=𝐶𝐷=2 cm， ∴ 𝐵𝐸=𝐷𝐸=2 cm， ∴ 𝐷𝐵=2√2 cm，

∴ 𝐵𝐶=𝐴𝐶=𝐴𝐸=(2√2+2) cm．

【解析】∵ 点 𝐴(2−𝑎,𝑎+1) 在第一象限． 2−𝑎>0, ∴{

𝑎+1>0.

解得：−1<𝑎<2． 7. B 8. D

9. D

【解析】∵9𝑥2+2(𝑘−3)𝑥+16 是完全平方式，

∴𝑘−3=±12，

解得：𝑘=15 或 𝑘=−9． 10. A

【解析】因为点 𝐵 的坐标是 (−2,0)， 所以 𝑂𝐵=2， 因为 ∠𝐵𝐴𝑂=30∘， 所以 𝑂𝐴=2√3，

因为现将 △𝐵𝐴𝑂 绕点 𝑂 顺时针旋转 90∘ 至 △𝐷𝐶𝑂， 所以 𝑂𝐶=𝑂𝐴=2√3，

因为直线 𝑙 是线段 𝐵𝐶 的垂直平分线， 所以点 𝐵，𝐶 关于直线 𝑙 对称， 连接 𝐴𝐶 交直线 𝑙 于 𝑃，

则此时 𝐴𝐶 的长度 =𝑃𝐴+𝑃𝐵 的最小值， 因为 𝐴𝐶=√𝑂𝐴2+𝑂𝐶2=2√6， 所以 𝑃𝐴+𝑃𝐵 的最小值为 2√6．

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11. D 【解析】∵ 𝑎2+2𝑎+𝑏2−6𝑏+10=0， ∴ (𝑎+1)2+(𝑏−3)2=0， ∴ 𝑎=−1，𝑏=3， ∴ 𝑏𝑎=3−1=3．

12. C 【解析】在矩形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中， ∵ 𝐴𝐷∥𝐵𝐶，

∴ ∠𝐷𝐸𝐹=∠𝐸𝐹𝐵=60∘，

∵ 把矩形 𝐴𝐵𝐶𝐷 沿 𝐸𝐹 翻折点 𝐵 恰好落在 𝐴𝐷 边的 𝐵ʹ 处，

∴ ∠𝐸𝐹𝐵=∠𝐸𝐹𝐵ʹ=60∘，∠𝐵=∠𝐴ʹ𝐵ʹ𝐹=90∘，∠𝐴=∠𝐴ʹ=90∘，𝐴𝐸=𝐴ʹ𝐸，𝐴𝐵=𝐴ʹ𝐵ʹ， 在 △𝐸𝐹𝐵ʹ 中，

∵ ∠𝐷𝐸𝐹=∠𝐸𝐹𝐵=∠𝐸𝐵ʹ𝐹=60∘ ∴ △𝐸𝐹𝐵ʹ 是等边三角形， Rt△𝐴ʹ𝐸𝐵ʹ 中，

∵ ∠𝐴ʹ𝐵ʹ𝐸=90∘−60∘=30∘， ∴ 𝐵ʹ𝐸=2𝐴ʹ𝐸，

∵ 矩形的面积为 16√3，𝐴𝐸=𝐵ʹ𝐷，

设 𝐴𝐸=𝑥，则 𝐴ʹ𝐵ʹ=√3𝐴ʹ𝐸=√3𝐴𝐸=√3𝑥． 𝐸𝐵ʹ=2𝑥，

𝐴𝐸ʹ=𝐴𝐸=𝐵ʹ𝐷=𝑥， 𝐴𝐵=𝐴ʹ𝐵ʹ=√3𝑥，

∴ √3𝑥⋅(𝑥+2𝑥+𝑥)=16√3， 得 𝑥=2，即 𝐴𝐸=2． ∴ 𝐴𝐵=2√3，

∵ 𝐴𝐷=𝐴𝐸+𝐷𝐸=8，𝐴𝐸=2， ∴ 𝐷𝐸=6． 第二部分 13. −1

【解析】由题意得：𝑥2−1=0，且 𝑥−1≠0， 解得：𝑥=−1． 14. 6

【解析】去括号，得：3𝑥+3≥5𝑥−3， 移项，得：3𝑥−5𝑥≥−3−3， 合并同类项，得：−2𝑥≥−6， 系数化为 1，得：𝑥≤3，

∴ 该不等式的正整数解之和为 1+2+3=6． 15. 9√3 16

1

【解析】第①个直角三角形中，30∘ 角所对的直角边为 1， 则斜边长为 2，另一直角边为 √3， 第②个直角三角形中，斜边为 √3，

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则 30∘ 对应直角边为 √32

，

另一直角边为 √(√3)2−(√3)2=32

，

2

第③个直角三角形中，斜边为 3

2， 则 30∘ 对应直角边为 3

4， 另一直角边为

3√34

， 第④个直角三角形的斜边为

3√34， 第⑤个直角三角形的斜边长为 98， 第⑥个直角三角形的斜边长为 9√316

．

16. 1

【解析】过点 𝑃 作 𝐵𝐶 的平行线交 𝐴𝐶 于点 𝐹，

∴ ∠𝑄=∠𝐹𝑃𝐷， ∵ 等边 △𝐴𝐵𝐶，

∴ ∠𝐴𝑃𝐹=∠𝐵=60∘，∠𝐴𝐹𝑃=∠𝐴𝐶𝐵=60∘， ∴ △𝐴𝑃𝐹 是等边三角形， ∴ 𝐴𝑃=𝑃𝐹， ∵ 𝐴𝑃=𝐶𝑄， ∴ 𝑃𝐹=𝐶𝑄，

∵ 在 △𝑃𝐹𝐷 和 △𝑄𝐶𝐷 中， ∠𝐹𝑃𝐷=∠𝑄, {∠𝑃𝐷𝐹=∠𝑄𝐷𝐶,𝑃𝐹=𝐶𝑄,

∴ △𝑃𝐹𝐷≌△𝑄𝐶𝐷(AAS)， ∴ 𝐹𝐷=𝐶𝐷，

∵ 𝑃𝐸⊥𝐴𝐶 于 𝐸，△𝐴𝑃𝐹 是等边三角形， ∴ 𝐴𝐸=𝐸𝐹，

∴ 𝐴𝐸+𝐷𝐶=𝐸𝐹+𝐹𝐷， ∴ 𝐸𝐷=1

2𝐴𝐶，

∵ 𝐴𝐶=2， ∴ 𝐷𝐸=1． 第三部分

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原式=(𝑥2−9)

2

17. （1） 1

=(𝑥+3)(𝑥−3).

2

1

原式=(𝑚−𝑛)2+6(𝑚−𝑛)+9

（2）

2

=(𝑚−𝑛+3).18. 由 ① 得，

8𝑥≥,

3由②得，

𝑥>−2,

故不等式组的解集为：

8

−2<𝑥≤.

3

19. 原式 =(𝑥−1)(𝑥+1)⋅

1

2(𝑥−1)(𝑥+1)

𝑥4=． 𝑥

4

当 𝑥=√2 时，原式 =√2=2√2． 20. （1） ∵ Rt△𝐴𝐵𝐶 中，∠𝐵𝐴𝐶=30∘， ∴ 𝐴𝐵=2𝐵𝐶，

又 ∵ △𝐴𝐵𝐸 是等边三角形，𝐸𝐹⊥𝐴𝐵， ∴ 𝐴𝐵=2𝐴𝐹． ∴ 𝐴𝐹=𝐵𝐶．

在 Rt△𝐴𝐹𝐸 和 Rt△𝐵𝐶𝐴 中， 𝐴𝐹=𝐵𝐶, { 𝐴𝐸=𝐴𝐵.

∴ △𝐴𝐹𝐸≌△𝐵𝐶𝐴(HL)， ∴ 𝐴𝐶=𝐸𝐹；

∵ △𝐴𝐶𝐷 是等边三角形， ∴ ∠𝐷𝐴𝐶=60∘，𝐴𝐶=𝐴𝐷， ∴ ∠𝐷𝐴𝐵=∠𝐷𝐴𝐶+∠𝐵𝐴𝐶=90∘， 又 ∵ 𝐸𝐹⊥𝐴𝐵， ∴ 𝐸𝐹∥𝐴𝐷，

∵ 𝐴𝐶=𝐸𝐹，𝐴𝐶=𝐴𝐷， ∴ 𝐸𝐹=𝐴𝐷，

∴ 四边形 𝐴𝐷𝐹𝐸 是平行四边形；

（2） ∵ ∠𝐵𝐴𝐶=30∘，𝐵𝐶=2，∠𝐴𝐶𝐵=90∘， ∴ 𝐴𝐵=𝐴𝐸=4． ∵ 𝐴𝐹=𝐵𝐹=2𝐴𝐵=2． 则 𝐸𝐹=𝐴𝐷=2√3．

故四边形 𝐴𝐷𝐹𝐸 的周长为：(4+2√3)×2=4√3+8．

21. 设去年居民用水价格为 𝑥 元/立方米，则今年水费为 (1+)𝑥 元/立方米，

3根据题意可列方程为：

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1

1

301𝑥(1+)

3所以

−

15

=5 𝑥3015−=5, 4𝑥𝑥3所以

4515−=5, 2𝑥𝑥方程两边同时乘以 2𝑥，得：

45−30=10𝑥,

解得：

𝑥=1.5

经检验 𝑥=1.5 是原方程的解． 则 (1+3)𝑥=2．

答：该市今年居民用水价格为 2 元 /立方米．

22. （1） 直角梯形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中，𝐴𝐷∥𝐵𝐶，∠𝐴=90∘，𝐵𝐶=21，𝐴𝐵=12，𝐴𝐷=16， 依题意 𝐴𝑄=𝑡，𝐵𝑃=2𝑡，则 𝐷𝑄=16−𝑡，𝑃𝐶=21−2𝑡， 过点 𝑃 作 𝑃𝐸⊥𝐴𝐷 于点 𝐸，

则四边形 𝐴𝐵𝑃𝐸 是矩形，𝑃𝐸=𝐴𝐵=12，

∴ 𝑆△𝐷𝑃𝑄=2𝐷𝑄⋅𝐴𝐵=2(16−𝑡)×12=−6𝑡+96． （2） 当四边形 𝑃𝐶𝐷𝑄 是平行四边形时，𝑃𝐶=𝐷𝑄， ∴ 21−2𝑡=16−𝑡 解得：𝑡=5，

∴ 当 𝑡=5 时，四边形 𝑃𝐶𝐷𝑄 时平行四边形． （3） ∵ 𝐴𝐸=𝐵𝑃=2𝑡，𝑃𝐸=𝐴𝐵=12， ①当 𝑃𝐷=𝑃𝑄 时，𝑄𝐸=𝐸𝐷=2𝑄𝐷， ∵ 𝐷𝐸=16−2𝑡，

∴ 𝐴𝐸=𝐵𝑃=𝐴𝑄+𝑄𝐸，即 2𝑡=𝑡+16−2𝑡 解得：𝑡= ∴ 当 𝑡=

3163

1

1

1

1

，

16

时，𝑃𝐷=𝑃𝑄

7

②当 𝐷𝑄=𝑃𝑄 时，𝐷𝑄2=𝑃𝑄2 ∴ 𝑡2+122=(16−𝑡)2 解得：𝑡=2 ∴ 当 𝑡=2 时，𝐷𝑄=𝑃𝑄．

7

23. （1） 证法一：如答图 1a，延长 𝐴𝐵 交 𝐶𝐹 于点 𝐷，

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则易知 △𝐴𝐵𝐶 与 △𝐵𝐶𝐷 均为等腰直角三角形， ∴ 𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐵𝐷， ∴ 点 𝐵 为线段 𝐴𝐷 的中点， 又 ∵ 点 𝑀 为线段 𝐴𝐹 的中点， ∴ 𝐵𝑀 为 △𝐴𝐷𝐹 的中位线， ∴ 𝐵𝑀∥𝐶𝐹．

【解析】证法二：如答图 1b，延长 𝐵𝑀 交 𝐸𝐹 于点 𝐷，

∵ ∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐶𝐸𝐹=90∘， ∴ 𝐴𝐵⊥𝐶𝐸，𝐸𝐹⊥𝐶𝐸， ∴ 𝐴𝐵∥𝐸𝐹， ∴ ∠𝐵𝐴𝑀=∠𝐷𝐹𝑀， ∵ 𝑀 是 𝐴𝐹 的中点， ∴ 𝐴𝑀=𝑀𝐹，

在 △𝐴𝐵𝑀 和 △𝐹𝐷𝑀 中， ∠𝐵𝐴𝑀=∠𝐷𝐹𝑀, {𝐴𝑀=𝐹𝑀, ∠𝐴𝑀𝐵=∠𝐹𝑀𝐷,

∴ △𝐴𝐵𝑀≌△𝐹𝐷𝑀(ASA)， ∴ 𝐴𝐵=𝐷𝐹，𝐵𝑀=𝐷𝑀，

∵ 𝐵𝐸=𝐶𝐸−𝐵𝐶，𝐷𝐸=𝐸𝐹−𝐷𝐹， ∴ 𝐵𝐸=𝐷𝐸，

∴ △𝐵𝐷𝐸 是等腰直角三角形， ∴ ∠𝐸𝐵𝑀=45∘，

∵ 在等腰直角三角形 △𝐶𝐸𝐹 中，∠𝐸𝐶𝐹=45∘， ∴ ∠𝐸𝐵𝑀=∠𝐸𝐶𝐹， ∴ 𝑀𝐵∥𝐶𝐹．

（2） 解法一：如答图 2a 所示，延长 𝐴𝐵 交 𝐶𝐹 于点 𝐷，

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则易知 △𝐵𝐶𝐷 与 △𝐴𝐵𝐶 为等腰直角三角形， ∴ 𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐵𝐷=𝑎，𝐴𝐶=𝐶𝐷=√2𝑎， ∴ 点 𝐵 为 𝐴𝐷 中点，又点 𝑀 为 𝐴𝐹 中点， ∴ 𝐵𝑀=2𝐷𝐹．

分别延长 𝐹𝐸 与 𝐶𝐴 交于点 𝐺，

则易知 △𝐶𝐸𝐹 和 △𝐶𝐸𝐺 均为等腰直角三角形， ∴ 𝐶𝐸=𝐸𝐹=𝐺𝐸=2𝑎，𝐶𝐺=𝐶𝐹=2√2𝑎， ∴ 点 𝐸 为 𝐹𝐺 中点，又点 𝑀 为 𝐴𝐹 中点， ∴ 𝑀𝐸=𝐴𝐺，

211

∵ 𝐶𝐺=𝐶𝐹=2√2𝑎，𝐶𝐴=𝐶𝐷=√2𝑎， ∴ 𝐴𝐺=𝐷𝐹=√2𝑎，

∴ 𝐵𝑀=𝑀𝐸=1×√2𝑎=√2𝑎．

22【解析】解法二：如答图 2b 所示，

∵ 𝐶𝐵=𝑎，𝐶𝐸=2𝑎，

∴ 𝐵𝐸=𝐶𝐸−𝐶𝐵=2𝑎−𝑎=𝑎， ∵ △𝐴𝐵𝑀≌△𝐹𝐷𝑀， ∴ 𝐵𝑀=𝐷𝑀， ∴ 𝐸𝑀⊥𝐵𝐷，

又 ∵ △𝐵𝐸𝐷 是等腰直角三角形， ∴ △𝐵𝐸𝑀 是等腰直角三角形， ∴ 𝐵𝑀=𝑀𝐸=√2𝐵𝐸=√2𝑎． 22

（3） 证法一：如答图 3a，延长 𝐴𝐵 交 𝐶𝐸 于点 𝐷，连接 𝐷𝐹，

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则易知 △𝐴𝐵𝐶 与 △𝐵𝐶𝐷 均为等腰直角三角形， ∴ 𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐵𝐷，𝐴𝐶=𝐶𝐷， ∴ 点 𝐵 为 𝐴𝐷 中点， 又点 𝑀 为 𝐴𝐹 中点， ∴ 𝐵𝑀=2𝐷𝐹．

延长 𝐹𝐸 与 𝐶𝐵 交于点 𝐺，连接 𝐴𝐺，

则易知 △𝐶𝐸𝐹 与 △𝐶𝐸𝐺 均为等腰直角三角形， ∴ 𝐶𝐸=𝐸𝐹=𝐸𝐺，𝐶𝐹=𝐶𝐺， ∴ 点 𝐸 为 𝐹𝐺 中点， 又点 𝑀 为 𝐴𝐹 中点， ∴ 𝑀𝐸=𝐴𝐺．

211

在 △𝐴𝐶𝐺 与 △𝐷𝐶𝐹 中， 𝐴𝐶=𝐶𝐷,

{∠𝐴𝐶𝐺=∠𝐷𝐶𝐹=45∘, 𝐶𝐺=𝐶𝐹,

∴ △𝐴𝐶𝐺≌△𝐷𝐶𝐹(SAS)， ∴ 𝐷𝐹=𝐴𝐺， ∴ 𝐵𝑀=𝑀𝐸．

【解析】证法二：如答图 3b，延长 𝐵𝑀 交 𝐶𝐹 于点 𝐷，连接 𝐵𝐸，𝐷𝐸，

∵ ∠𝐵𝐶𝐸=45∘，

∴ ∠𝐴𝐶𝐷=45∘×2+45∘=135∘， ∴ ∠𝐵𝐴𝐶+∠𝐴𝐶𝐹=45∘+135∘=180∘， ∴ 𝐴𝐵∥𝐶𝐹， ∴ ∠𝐵𝐴𝑀=∠𝐷𝐹𝑀， ∵ 𝑀 是 𝐴𝐹 的中点， ∴ 𝐴𝑀=𝐹𝑀，

在 △𝐴𝐵𝑀 和 △𝐹𝐷𝑀 中，

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∠𝐵𝐴𝑀=∠𝐷𝐹𝑀, {𝐴𝑀=𝐹𝑀, ∠𝐴𝑀𝐵=∠𝐹𝑀𝐷,

∴ △𝐴𝐵𝑀≌△𝐹𝐷𝑀(ASA)， ∴ 𝐴𝐵=𝐷𝐹，𝐵𝑀=𝐷𝑀， ∴ 𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐷𝐹， 在 △𝐵𝐶𝐸 和 △𝐷𝐹𝐸 中， 𝐵𝐶=𝐷𝐹,

{∠𝐵𝐶𝐸=∠𝐷𝐹𝐸=45∘, 𝐶𝐸=𝐹𝐸,

∴ △𝐵𝐶𝐸≌△𝐷𝐹𝐸(SAS)， ∴ 𝐵𝐸=𝐷𝐸，∠𝐵𝐸𝐶=∠𝐷𝐸𝐹，

∴ ∠𝐵𝐸𝐷=∠𝐵𝐸𝐶+∠𝐶𝐸𝐷=∠𝐷𝐸𝐹+∠𝐶𝐸𝐷=∠𝐶𝐸𝐹=90∘， ∴ △𝐵𝐷𝐸 是等腰直角三角形， 又 ∵ 𝐵𝑀=𝐷𝑀， ∴ 𝐵𝑀=𝑀𝐸=𝐵𝐷，

21

故 𝐵𝑀=𝑀𝐸．

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