关于几种特殊矩阵的逆矩阵求法探讨之欧阳理创编

关于几种特殊矩阵的逆矩阵求法

探讨

时间：2021.03.05 创作：欧阳理 数学学院 数学（师范）专业 2008级 范佳利

指导教师 刘学文

摘要：矩阵是高等代数中非常重要的内容之一，而在矩阵理论中较为基础的就是求矩阵的逆矩阵。本文在

n阶方阵求逆的方法基础上，归纳了几类特殊矩阵逆的

求法，并从中找出一些初步的、具有应用价值的规律，简化了类似矩阵求逆问题的计算。

关键词：n阶矩阵；逆矩阵；伴随矩阵；线性变换 Abstract:Matrix in linear algebra is a very important part of content, And the matrix inverse matrix is of more important piece, In this paper the inverse square n order based on method, The three kinds of special inverse matrix is also given, And find out some preliminary has application value of the law, Simplify the inverse problem of similar matrix calculation.

欧阳阳理创编 2021.03.04

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Key word:norder matrix;inversematrix; adjoint matrix;linear conversion

矩阵是高等代数的一个最基本的概念，其内容贯穿于高等代数的始终，而矩阵问题中的求逆是矩阵内容中不可或缺的重要的一部分。本文在矩阵的逆的概念和相关性质、及其求逆矩阵的基本方法的基础上，归纳总结出几类特殊矩阵的逆矩阵的求法。 1 逆矩阵的基本概念与判定、性质

1.1

逆矩阵的定义

定义1[1]对于n级方阵A，如果存在n级方阵B，使

得ABBAE，则称A是可逆矩阵（可逆的），称B为A-1-1A，即A=B. 的逆矩阵并记为

注1可逆矩阵A必为方阵，其逆必唯一，且A-1与A为同阶方阵，即AA1A1AE. 1.2 可逆矩阵的判定

定理1[1] 设矩阵A为n阶可逆矩阵，矩阵A可逆的充要条件是存在n阶矩阵B使得ABBAE.

定理2[1] 设矩阵A为可逆矩阵，则以下几个命题是等价的：

(1)矩阵A可逆； (2)矩阵A的行列式

A0*

；

A*0(3)矩阵的A伴随矩阵A(4)矩阵的A伴随矩阵A

可逆； 的行列式

；

*

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定理3[1]矩阵A可逆的充要条件是存在n阶矩阵B使得ABE(BAE).

定理4[1] 矩阵A可逆的充要条件是矩阵A为满秩矩阵(即rank(A)n).

定理5[1] 矩阵A可逆的充要条件是矩阵A与单位矩阵E等价(对矩阵A施行初等变换可以使矩阵A转化为单位矩阵E)

定理6[1] 矩阵A可逆的充要条件是以矩阵A为系数矩阵的齐次线性方程组AXB的解唯一.

定理7[1] 矩阵A可逆的充要条件是矩阵A可表示为一些初等矩阵的乘积.

定理8[1] 矩阵A可逆的充要条件是矩阵A的特征值均不为0.

1.3可逆矩阵的性质

(1)若A可逆，则A(2)若A可逆，则A1A也可逆且11A；

TT也可逆且

ATA11;

1(3)若A可逆，数0，则A也可逆且

A11A-1；

AB(4)若A，B都可逆，则AB也可逆且

A1AOAOOB可逆，OBO若1B1A1.

OB1；

OOAOA可逆，1BOBOA 若1B1O；

An可推广为：若A1,A2,且A1A2An=An1An11-1,An均可逆，则A1A2；

可逆

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A1若A1A2A2An可逆，

1若AnAnA2A111A2AnA1A2可逆，A1A211A11A1AAkA1kAn1

1Ak1

(5)若A可逆，则(6)若A可逆，则

； ；

注2若A,B为同阶可逆矩阵，则AB不一定可逆.

111021A,B均可逆，但A+B214221不可逆. 如

注3(4)的逆命题成立，即若AB可逆，则A,B也可逆.这是因为：由于AB可逆，ABAB0,有A0且B0,所以A,B也可逆.

2逆矩阵的求法 2.1 定义法

利用定义，当条件中有矩阵方程时，通过矩阵运算规律从矩阵方程中凑出ABE(或BAE)的形式，从而可得

A1B.这一方法适用于抽象矩阵求逆.

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2.2 公式法

当n级方阵A可逆时，有是A的伴随矩阵.

其中：Ai j 是 A 中元素 ai j 的代数余子式.

2.3初等变换法

设n阶矩阵A，作n2n矩阵 A,In，然后对此矩阵施以初等行变换,若把子块A变为In,则子块In将变为A1.

1I,AA,Inn 即

初等行变换A11*A,(dA0)d.其中A*

AIn2n同样也可以作矩阵n，然后对此矩阵只施以

初等列变换，

AI初等列变换即nInA1

2.4 高斯-约当法

由定义A1AI，设YAX（Y,X均为n维向量），则XA1Y，若将YAX改写成XBY，则A1B。具体方法如下：写出YAX的矩阵形式

y1y2...ynx1x2...xna11a21...=an1a12a22...an2...a1n...a2n.........ann

由矩阵乘法写成方程形式

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经消元后将上式转化为如下形式 即XBY 所以A1B

2.5 分块矩阵法

定理1[3]矩阵A是一个满秩矩阵，若A中存在r(1rn)阶非零主子式，则一定可以分解成一个下三角分块矩阵与一个上三角分块矩阵的乘积ALU，并且A1L1U1

对于零元素特别多的矩阵，可以考虑用分块矩阵求逆，A 、B为可逆矩阵，则

A1AOOBO11OOOA1B1BOA,

11B1O，

OB1A1A1CB1AOA1AC，OBCB111BOBCA.

2.6解线性方程组法

设

Aai jn是非奇异矩阵，且令

A1Xxi jn.因为

AA1AXE，从而由分块矩阵性质可知，计算A1的问题

等价于求解下列n个线性方程组.

x111x120x0x1A12,A22,xn10xn20x1n0x0,A2nxnn1，

求解上述方程组即可求得A1的n个列向量，也就求得

A1.由于这

n个方程组的系数矩阵相同，故可采用三角分

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解法进行计算以节省工作量.

三角分解法：设有方程组AX=b，并设ALU，于是

AXLUXb，其中

于是求解AX=b的问题等价于求解两方程组UXY和

LYb

3 特殊矩阵逆的求法 3.1 类型一

观察此题有比较明显的特点，现将矩阵A分块，可根据分块矩阵逆矩阵性质求矩阵的逆.分块如下：

可利用这个结论，在解决一些类似问题上可更加简便，如：

则可直接利用以上结论，可清楚的得知： 3.2 类型2 3.2.1 已知：

观察矩阵A可发现此矩阵有一定的规律，如用公式法或者定义法，则计算肯定相对比较复杂。不妨从线性的角度来解答。

先设线性方程组 AX. 其中=（b1,b2bn)，

将这n个方程相加，可得：

由第一个方程减去第二个方程得：

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由些得出 ynx1b1b2 从而

n112x1(yb1b2)bjb1b2nnn(n1)j1

3，，n1) 类似的，从第i个方程减去第i1个方程 (i2，n12xibjbibi1 nn(n1)j1i2,3,可求出：

,n1.

从第n个方程减去第一个方程，可求出：

n12xnbbbjn1nn(n1)j1 此线性方程组的解即为矩阵A的逆. 记

S=2n(n1)分别令为1，2，3，，n 得

由以上的解答，我们可知，这种类型的求矩阵逆利用线性方程组法比利用初等变换法简单得多. 3.2.1 已知： 先设线性方程组

AX=.其中=(b1,b2,,bn)令yx1x2xn

ya1x1b1yaxb222则原方程组可写成：yanxnbn

xibiy i=1，2，，nai由此得出

n

从而

yj1bjaj(1)yj1ajn

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记

1S=1+j1ajn，从上述一次方程解得

,n

1nbjySj1aj

于是

bi1nbjxi i1,2,aiaiSj1aj分别令为1，2，3，，n 得： 3.3 类型3

01A1 已知矩阵111011011111，求A-1.0nn

此矩阵为对角线全为0，上三角和下三角全为1的特殊矩阵.当然此题可用一般的初等变换法来求逆矩阵。但仔细观察，我们可利用此矩阵的特殊特点来解答此题. 可分析如下：

xaaaxaBaax令aaazcBCccczcccczcaybbbybaa,Cbbyxnnbbbcccznn，其中

bbbynn，则易算出：

zxy(n1)abcbxay(n2)ab

让BCE 即可求B、C的逆矩阵.

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在此令y0,b1 便可求出矩阵B，B即为C的逆矩阵.而此时矩阵C即是矩阵A,所以A1B 现依照以上的分析开始进行计算：

(n1)ax(n2)a=x(n2)ax(n2)a(n1)ax(n2)ax(n2)a(n1)annE=

令(n1)a1 x(n2)a0 可解得：

x(2n)1 a(n1)(n1)

代入可得所求逆矩阵为：

本题利用逆矩阵的定义，简便了计算，使题目变得更加容易解答. 3.4 类型4 其中：a1,a2,,an和b1,b2,,bn分别为两组互不相同的n个

,n.数，且aibj0,i1,2,,n j1,2,

观察此矩阵，可发现，若矩阵去任一行和任一列所得到的n1阶矩阵都与原矩阵同型，所以此题可以考虑用求伴随矩阵的方法来求它的逆.

1ab111ab,bn)211anb11a1b21a2b21anb21a1bn1a2bn1anbn

A=D(a1,,an;b1,令

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用第一行乘以（-1）加到其余的每一行得： 将每行及每列的公因子提出来，等于

(将上述行列式的第1行乘以

(i2,3,,n)，得

1)aib1加到第i行

将此行列式按第1列展开降为n1阶行列式，再将该

n1阶行列式的所有行和列的公共因子提出即得：

所以由数学归纳法得

由此可得出行列式A中第i行第j列元素的代数余子式Aij为 其中：“”表示去掉该字母，于是

从本题可以看出，此类题型的计算量是比较大的，利用伴随矩阵公式法，找寻规律解答此题. 3.5 类型5

观察此矩阵，是一个有一定规律的矩阵，下三角全为0，上三角每一行的数以等比b递增.

00H=0H，0100001000010

bn1Hn1

则现在可设一个矩阵

2233A=E+bHbHbHAH由表示可得：

又因为矩阵H的对角线全为0 所以 Hn=0

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于是

A(EbH)(EbHb2H2bn1Hn1)(EbH)EbnHn)E

从而

10-1AEbH001b001b0000000010010000b1

00000010b00b000000b0=

利用这个结论，可以比较方便快速的解决填空选择题，如：

就可知上述的b1,所以直接代入可知： 4 结语

通过上述归纳总结可以看出，在求逆矩阵的过程中，必须熟练的运用可逆矩阵相关的定理以及结论，利用方法技巧可使得矩阵可逆的计算更加简便，而可逆矩阵的运用远远不止在大学数学中，在其他方面中也有及其广泛的运用，这就需要我们不断的去探索和研究。 参考文献:

[1]田孝贵.高等代数[M].首都师范大学出版社，1994. [2]苏明珍.陈晓萌.分块矩阵求逆方法的探讨[J].滨州教育

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学院学报，1996,5（2）：49-52.

[3]沈剑华.数值计算基础（第二版）[M].同济大学出版社，2004.

[4]陈文灯.线性代数解题方法与技巧[M].中国财政经济出版社，2004.

[5]李帅正.高等代数解题方法与技巧[M].高等教育出版社，2004.

[6]张海涛.逆矩阵的求法[J].大同职业技术学院学报，2004.13(2):20-24.

[7]陈维新.线性代数[M].北京科学出版社，2004.

[8]张爱萍.可逆矩阵的判定及求法[J]，赤峰学院学报（自然科学版），2011.27（3）：12-13.

时间：2021.03.05 创作：欧阳理 欧阳阳理创编 2021.03.04