范德堡测试方法与变温霍尔效应

摘要：本实验采用范德堡测试方法，测量样品霍耳系数及电导率随温度的变化，可以确定一些主要特性参数——禁带宽度，杂质电离能，电导率，载流子浓度，材料的纯度及迁移率，从而进一步探讨导电类型，导电机理及散射机制。

关键词：霍尔效应、范德堡测试法、霍尔系数、电导率

引言：对通电导体或半导体施加一与电流方向相垂直的磁场，则在垂直于电流和磁场方向上有一横向电位差出现，此即为霍耳效应。利用霍尔效应测量霍耳系数及电导率是分析半导体纯度以及杂质种类的一种有力手段，也可用于研究半导体材料电输运特征，是半导体材料研制工作中必不可少的一种常备测试方法。

一、原理部分：

（一）、半导体内的载流子

根据半导体导电理论，半导体内载流子的产生有两种不同的机制：本征激发和杂质电离。 1、本征激发

在一定的温度下，由于原子的热运动，价键中的电子获得足够的能量，摆脱共价键的束缚，成为可以自由运动的电子。这时在原来的共价键上就留下了一个电子空位，邻键上的电子随时可以跳过来填充这个空位，从而使空位转移到邻键上去，因此空位也是可以移动的。这种可以自由移动的空位被称为空穴。半导体不仅靠自由电子导电，而且也靠这种空穴导电。半导体有两种载流子，即电子和空穴。

从能带来看，构成共价键的电子也就是填充价带的电子，电子摆脱共价键而形成一对电子和空穴的过程，就是一个电子从价带到导带的量子跃迁过程，如图1 所示。

纯净的半导体中费米能级位置和载流子浓度只是由材料本身的本征性质决定的，这种半导体称本征半导体。本征半导体中，在电子—空穴对的产生过程中，每产生一个电子，同时也产生一个空穴，所以，电子和空穴浓度保持相等，

这个共同的浓度用ni表示，称为本征载流 图1 本征激发示意图

子浓度。这种由半导体本身提供，不受外来掺杂影响的载流子产生过程通常叫做本征激发。 2.、杂质电离

绝大部分的重要半导体材料都含有一定量的浅杂质，它们在常温下的导电性能，主要由浅杂质决定。浅杂质分为两种类型，一种是能够接收价带中激发的电子变为负离子，称为受主杂质。由受主杂质电离提供空穴导电的半导体叫做P 型半导体如图2（a）所示。还有一种可以向半导体提供一个自由电子而本身成为正离子，称为施主杂质。这种由施主杂质电离提供电子导电的半导体叫做n 型半导体，如图2（b）所示。

图2 （a）受主杂质提供空穴到导电 （b）施主杂质电离提供电子导电

设P 型半导体中含有一种受主杂质，能级为EA，空穴密度为NA，价带顶能级为EV，

NV为价带有效能级密度。在足够低的温度下，载流子是价带中电子激发到受主能级后所留

下的空穴。这时价带中的空穴数目P 和占有电子的受主能级数目相等。在T 很低， kT 比

EAEV小很多时，

（1）

上式两边取对数得

（2）

做lnp1 曲线，它近似成直线，由此直线的斜率可求得受主杂质的电离能。 T在T 较高时， pNA (3)

说明这时受主杂质已几乎完全电离，价带中的空穴数已接近受主杂质数，处于杂质电离饱和区。同理对n 型半导体可以得出电子浓度：

（4）

式中NC为导带有效能级密度，EC为导带底能级，ND为受主密度，ED为受主杂质能级。

两边取对数：

（5）

作ln n—1曲线，它近似为一直线，由此直线斜T率可求得施主杂质的电离能。 （二）、 载流子的电导率

在一般电场情况下，半导体导电也服从欧姆定律，电流密度与电场成正比：

j = σE （6）

从理论可知，电导率σ与导电类型和载流子

浓度有关，当混合导电时：

图3 电导率与温度 其中n和p分别为电子和空穴的迁移率，可见电导率决定于两个因素：载流子浓度和迁移率。图3 表示电导率σ 随温度变化的规律，可分为三个区域：杂质部分电离的低温区（B 点右侧）、杂质电离饱和的温度区（A，B之间）、本征激发的高温区（A 点左侧）。 （三）、霍耳效应 1、霍耳效应

霍耳效应是一种电流磁效应（如图4）。当样品通以电流I ，并加一磁场垂直于电流，则在样品的两侧产生一个霍耳电势差：

（7）

VH与样品厚度d 成反比，与磁感应强度B 和电流I

成正比。比例系数RH 叫做霍耳系数 。

当电流通过样品（假设为p 型）时，垂直磁场对运动电荷产生一个洛伦兹力,使电荷产生横向的偏转。偏转的载流子停在边界积累起来，产生一个横

向电场E ，直到电场对载流子的作用力F = qE与磁 图4 霍尔效应示意图 场作用的洛伦兹力相抵消为止，即

（8）

这时电荷在样品中流动时将不再偏转，霍耳电势场就是由这个电场建立起来的。

如果样品是n 型，则横向电场与前者相反，所以n 型样品的霍耳系数有不同的符号，据此可以判断材料的导电类型。 2、一种载流子导电的霍耳系数

设p 型样品的p >> n ，宽度为w ，通过样品电I = pqvwd ,，则空穴的速度v = I/ pqwd ,

IB代入式（8），有EvB可以得到

pqwd （9）

与（7）式相比得

RH1 (10) pq1 （11） pq对于n 型样品，其霍耳系数为 RH由式（9）、（10）可得霍耳系数

（12）

式中的VH是霍耳电压，单位为V；I,B 和 d 的单位分别是 A,T 和cm.

考虑到载流子运动的速度是遵循麦克斯韦速度分布，不断受到晶格和电离杂质散射等影响而改变的，霍耳系数的公式（10）和（11）应修正为： P 型半导体

（13）

N 型半导体

（14）

式中n和p分别是电子和空穴的电导迁移率，H为霍耳迁移率，HRH ，它可以通过RH 及σ 计算得到。

3、两种载流子导电的霍耳系数

在磁场作用下，电子和空穴本来都朝同一边积累，霍耳电场的作用是使它们中间一个加强，另一个减弱，这样，使横向的电子流和空穴流大小相等，由于它们的电荷相反，所以横向的总电流为零。

假设载流子服从经典的统计规律，在球形等能面，只考虑晶格散射及弱磁场的条件下，对于电子和空穴混合导电的半导体，可以证明：

（15）

令bnp ,则有

（16）

4、p 型半导体的变温霍耳系数

以p 型为例分四个温度范围讨论RH杂质电离能Ei，曲线如图5，图中表示的是绝对值，此曲线包括以下四个部分： 1、杂质电离饱和区，所有的杂质都已经电离，载流子浓度保持不变。P 型半导体中p >> n ,于是式（16）就简化为式（13）。在这段区域内，R H >0。

2、温度逐渐升高时，价带上的电子开始激发到导带，由于电子迁移率大于空穴迁移率，b>1,当温度升高到使p=nb时，

21之间关系，并根据曲线斜率求出禁带宽度Eg， TRH= 0，如果取对数，就出现图5 中 图5 p 型半导体和n 型半导体的Ln|RH|-1/T 曲线

标有“2”的一段。

3、温度再升高时，价带上的电子开始激发到导带，p（17）

式中RHS是杂质电离饱和区的霍耳系数。由上式可见，通过RH极值 及RHS，可以估算出电子迁移率与空穴迁移率的比值b。

4、当温度继续升高,到达本征范围内，载流子浓度远远超过受主的浓度，霍耳系数与导带中电子浓度成反比。因此，随温度的上升，曲线基本上按指数下降。由于此时载流子浓度几乎与受主浓度无关，所以代表杂质含量不同的各种样品的曲线都聚合在一起。 （四）、范德堡尔法测量任意形状薄片的电阻率及霍耳系数 范德堡法可应用于厚度均匀的任意形状的片状样品。在样品侧面制作四个电极，如图6 所示。在电阻率测量中，一对相邻的电极用来通入电流，在另一对电极之间测量电位差。利用M、P 和M、N 通入电流分别作两次测量，得到

2 (18)

(19)

图5范德堡样品

电阻率可由下式给出

（20）

式中f 是比值

Rmp,opRmn,op的函数，由下式确定

（21）

范得堡法也可用于作霍尔效应的测量。一对不相邻的电极，例如M、O 用来通入电流，另外一对电极P、N 用来测量电位差。霍尔系数由下式给出

(22)

式中B 为垂直于样品的磁感应强度值。Vpn 代表加磁场后P、N 之间电位差的变化。 （五）、实验中的副效应及其消除方法

在霍耳系数的测量过程中，伴随着下列一些热磁副效应所产生的电位，叠加在测量值

VH上，引起测量误差。

1、爱廷豪森效应：载流子在电场和磁场作用下发生偏转时，其动能以热能形式释放出来，则在霍尔电压方向上产生温差，从而产生温差电动势VEBI。与I 和VE和霍耳电压一样，B 的方向都有关系。

2、能斯特效应：即使没有电流通过样品，只要在电流方向有热流Q，在霍尔电压方向上就会叠加上电动势VNBQ，其方向由B 决定。

3、里纪—勒杜克效应：当沿电流方向有热流Q 通过样品时，则在霍尔电压方向上存在温度梯度场(TT)RL，引起温差电位V RL ∝ QB，其方向由B 决定。

由此可见，除了爱廷豪森效应以外，采用范得堡尔法测量霍耳电压时，可以通过磁场换向及电流换向的方法消除能斯特效应和里纪—勒杜效应。

二、所需仪器：

本实验使用的VTHM-1 型变温霍耳效应仪是由DCT—U85 电磁铁及恒流电源，SV-12 变温恒温器，TCK-100 控温仪，CVM-2000 电输运性质测试仪，连接电缆，装在恒温器内冷指上碲镉汞单晶样品组成。如图7 所示。

1、样品：厚0.94 毫米碲镉汞单晶，最大电流50 毫安。在低温下是典型的P 型半导体，而在室温下又是典型的N 型半导体，范得堡法样品，其电阻率较低。

2、磁场部分

本实验中稳定磁场是利用一个DCT-U85型电磁铁和一个DCT-U85D 型稳流源产生的。调节稳流源电流大小可获得不同B 值，并预先用高斯计进行定标。为了避免磁阻效应，必须在弱场条件下进行测量，一般取值为0—0.45T。 3、温度的测量与控制

TCK-100 型控温仪是以XSC/A-HRTZCORS232 型PID 控制仪为基础，配专门设计软件与外围电路的科学实验用低温温度控制器。SV-12 恒温器是利用稳态气泡原理（SVB）控温的低温恒温器。其主液池中装有液氮，通过调节锥形气塞间隙，改变气—液界面的成核沸腾条件，使恒温块的漏热稳定在一定值上，再通过TCK-100 控温仪调节加热电流就可以使样品在低温液体温度到室温之间快速变温，并准确的平衡在设定温度上。

图7 变温霍尔效应系统示意图 4、测量部分

CVM-2000 型电输运性质测试仪是由三部分组成的仪器。

（1）、霍耳效应测量仪，它能容纳两块样品，设有样品选择键，既可测量标准样品，也能测量范德堡样品。其余四个量程按扭分别为待测电压VH ，V，VM ，VN，这四个按扭同一时间只能按一个，如按VH 按扭后，VH 指示灯亮，微伏表上显示待测电压VH 值，其余三个按扭类同。

(2)、样品电流源，是一个精度高，电流变化范围宽，输出阻抗高的高精度直流恒流源。本恒流源有六个量程，输出电流从0.1nA 到200mA，精度达0.05%。本实验中样品电流50mA，应注意调节电流，以保持它恒定。

(3)、直流数字微伏表，电压测量从1μV 到2000mV，分为20mv、200mv、2000mv 三档量程，精度达0.05%。测量时要注意量程的正确选取，不要超出量程而使仪器损坏。开始测量以前要先对直流数字微伏表进行面板调零。 三、实验内容： 1、抽真空

1）、打开复合真空计开关

2）、连接真空系统和样品池之间的真空活扣

3）、关上真空阀2，合上墙上真空泵开关，打开样品池上方真空阀1 4）、复合真空计指示1Pa后，关上样品池上方的真空阀1、真空泵开关。 5）、拧开真空阀2，放气后，打开真空活扣，准备测试。 2、磁场的测定

首先打开电磁铁冷却水，然后打开电磁铁恒流电源，向一个方向缓慢调电磁铁恒流电源输出，用高斯计标定电磁铁在此气隙下磁场强度，磁场强度从0.1T开始每隔0.05T测一点，直到0.3T，记录相应输出电流。 3、室温下的霍尔测量

开机预热，调整样品电流到50.00毫安，加电磁场到0.3T，选择样品1，按下S1开关。按下开关VH，测霍尔电压VH1，如果电压较小，改在200毫伏或20毫伏档；按电流换向开关，测VH2；将恒温器轻轻提起，缓慢旋转180度后再放入磁铁气隙中，测VH3；电流换向，测VH4。

按VM开关，测VM1；按电流换向开关，测VM2；按VN开关，测VN1；按电流换向开关，测VN2。

4、变温测量：

取出恒温器中心杆，注入液氮（依测量点的多少决定加液氮量）。等控温仪显示温度最低时，重复测量过程3，测量此温度下各项霍尔参数。开始控温。顺时针转动中心杆至最低位置，再回旋约180 度至720 度即可通过控温仪设定控温。温度控制稳定后，重复测量过程3，测得此温度点的各项霍尔系数。改变设定温度，测另一个温度点的霍尔参数。

中心杆旋高则冷量增大，适于快速降温和减低温度的实验。控温精度与PID 参数有关，适当调整中心杆高度，可提高不同温区的精度。 5 、关机

将电磁铁恒流电源降到0，关闭电磁铁恒流电源。拧松、提起中心杆，防止热膨胀胀坏恒温器。关闭控温仪、测试仪开关及冷却水。

四、数据记录及相关处理 1、磁场标定 I/mA B/T 0.00 -0.0266 0.34 -0.1001 0.55 -0.1504 0.75 -0.2007 0.96 -0.2503 1.16 -0.3006 本实验所需磁场为0.3T，故电磁铁恒流电源输出须保持在1.16mA附近。 2、变温霍尔效应

样品号：S1 样品名称：碲镉汞 样品厚度（t）：0.94mm 磁场强度（B）：0.3T 电流强度（I）：50.02mA T ℃ VH/mv B样品对N B样品对S I I I I VH mV RH VM/mV VN/mV ρ Ω.m I I I I 85.0 .8 0.37 -1.10 -2.55 1.81 0.46 -1.22 -2.57 1.77 -0.7225 -0.04510 -13.49 12.62 14.41 -14. 1.1729 -0.6650 -0.04151 -13.43 12.50 14.40 -14.55 1.1690 100.6 0.57 -1.37 -2.56 1.80 110.0 0.77 -1.56 -2.57 1.80 120.0 0.97 -1.77 -2.59 1.76 132.0 1.24 -2.07 -2.50 1.72 140.4 1.44 -2.28 -2.43 1.65 145.0 1.68 -2.47 -2.38 1.62 149.0 1.70 -2.56 -2.30 1.52 160.1 2.12 -2.94 -2.08 1.23 168.7 2.37 -3.22 -1.75 1.04 180.4 2.84 -3.66 -1.17 0. 190.5 3.23 -3.99 -0.68 0.09 210.5 3.92 -4.50 0.75 220.4 4.09 -4.61 1.57 230.0 4.37 -4.81 2.04 240.2 4. -4.91 2. 249.8 4.61 -4.80 3.05 260.5 4.65 -4.76 3.33 280.5 4.32 -4.34 3.72 299.8 3.93 -3.88 3.67 相关公式： VH-0.6050 -0.03776 -12.40 11.39 13.46 -13.63 1.0838 -0.5100 -0.03183 -12.20 11.01 13.10 -13.37 1.0583 -0.4025 -0.02512 -11.90 10.75 13.00 -13.20 1.0406 -0.2275 -0.01420 -11.70 10.63 12.90 -13.21 1.0319 -0.0900 -0.00562 -11.70 10.39 12.88 -13.19 1.0259 0.0375 0.1100 0.4375 0.7000 1.1975 1.6125 0.002341 -11.79 10.63 12.84 -13.27 1.0338 0.006866 -11.70 10.30 12.90 -13.30 1.0268 0.027307 -11.80 10.36 12.80 -13.30 1.0280 0.043692 -11.60 10.10 12.80 -13.15 1.0150 0.074744 -11.68 10.42 12.80 -13.16 1.0238 0.1007 -11.24 10.07 12.67 -13.04 1.0016 0.128111 -11.34 10.38 12.40 -12.85 1.0006 0.161972 -10.87 9.95 0.210969 -10.40 9.73 0.229382 -10.32 9.97 0.2426 -9.66 0.250760 -9.42 0.250136 -8.37 0.235624 -7.57 9.31 9.40 8.32 7.60 12.07 -12.43 0.96 11.47 -11.60 0.9202 10.87 -11.02 0.85 10.51 -10.45 0.8506 9.87 8.87 7.61 -9.92 -8.77 -7.72 0.8225 0.7313 0.97 0.1867 -11.00 10.27 11.67 -11.90 0.9552 200.5 3. -4.25 -0.09 -0.51 2.0525 -1.21 2.5950 -1.84 3.0275 -2.30 3.3800 -2.71 3.6750 -3.09 3.8875 -3.33 4.0175 -3.65 4.0075 -3.62 3.7750 VH1VH2VH3VH4Vt RHH

4IB

f1

五、结论和主要建议：

利用Excel做Ln|RH| -1/T 曲线及ρ-1/T曲线如下图所示：

0-1-200.0050.010.015-3-4-5-6-71/T(/℃)系列1 由左图1可看出，霍尔系数随温度的变化。温度较低时，处于杂质电离饱和区，所有的杂质都已经电离，载流子浓度保持不变。P 型半导体中p >> n，在这段区域内，R H >0。温度逐渐升高时，价带

上的电子开始

ln|Rh| 图1 Ln|RH| -1/T 曲线

激发到导带，由于电子迁移率大于空穴迁移率，b>1,当温度升高到使p=nb时，RH= 0，如果取对数，就出现图中的拐点。温度再升高时，价带上的电子开始激发到导带，p22RH<0，随后R H 将会达到一个极值。

由表中数据霍尔系数由负的变为正的，可看出半导体由n型转化为p型。

1.4电阻率ρ（Ω.m）1.210.80.60.40.2000.0050.011/T(/℃)0.015

系列1 图2 ρ-1/T曲线

由图2，可看出随温度升高，电阻率逐渐变小。

六、参考资料：

《固体物理学》 黄昆 高等教育出版社

《变温霍尔效应》 北京师范大学物理系近代物理实验教研室提供