２０１３焦 赣南师范学院学报 Ｎｏ．３ 第三期 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｇａｎｎａｎ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｊｕｎｅ．２０１３ 与广义Ｂａｏｕｅｎｄｉ—Ｇｒｕｓｈｉｎ 向量场相关的 加权Ｈａｒｄｙ型不等式 廖冬妮 ，王家林 ，喻泽峰 ，吴诗敏ｂ （赣南师范学院ａ数学与计算机科学学院；ｂ物理与电子信息学院，江西赣州３４１０００） 摘要：研究与广义Ｂａｏｕｅｎｄｉ—Ｇｒｕｓｈｉｎ向量场相关的Ｌｐ加权Ｈａｒｄｙ型不等式．注意到已有结果通常对ｐ 为：１＜Ｐ＜Ｑ或１＜Ｐ＜Ｑ＋ ，Ｏ／Ｅ ，其中Ｑ为齐次维数．本文通过改进Ｋ０ｍｂｅ的证明技巧，对１＜Ｐ＜＋∞（ｐ≠Ｑ ＋ ）和Ｐ＝Ｑ＋ 分别建立相应加权Ｈａｒｄｙ型不等式． 关键词：广义Ｂａｏｕｅｎｄｉ—Ｇｒｕｓｈｉｎ算子；加权Ｈａｒｄｙ型不等式；非Ｈ６ｒｍａｎｄｅｒ向量场 中图分类号：０１７５．２ 文献标志码：Ａ 文章编号：１００４—８３３２（２０１３）０３—００６３—０４ １ 引言 我们知道，Ｈａｒｄｙ不等式及其推广形式在数学的许多领域起着重要作用． 的经典Ｌｐ（１＜Ｐ＜凡）Ｈａｒｄｙ不 等式为： ｆ Ｖ咖Ｉ ｄ （ ） ｄｘ，其中咖Ｅ （尺 ｛ｏ｝，并且常数（ ） 是最佳的…． 近年来，有大量文献研究次Ｒｉｅｍａｎｎ空间上的Ｈａｒｄｙ型不等式 。。，这些不等式在线性和非线性偏微分 方程的研究中扮演着重要的角色．在Ｈｅｉｓｅｎｂｅｒｇ群 情形，Ｇａｒｏｆａｌｏ和Ｌａｎｃｏｎｅｌｌｉ在文献［４］中建立了己 ． Ｈａｒｄｙ型不等式： 『Ｖ 咖Ｊ ｄｚｄ （ 手） ｌ咖ｆ （ 告）出ｄｔ，其中Ｑ＝２几＋２为 的齐次维数．后 来，Ｐ．Ｎｉｕ等人在文献［５］中得到了 上Ｌｐ（１＜Ｐ＜Ｑ）Ｈａｒｄｙ型不等式．Ｙ．Ｊｉｎ［ 则在更广泛的Ｈ．ｔｙｐｅ群 上建立了 加权Ｈａｒｄｙ型不等式．最近，Ｙ．Ｊｉｎ和Ｓ．Ｓｈｅｎ［７ 在更一般的Ｃａｒｎｏｔ群上证明了一类加权的 一 Ｈａｒｄｙ型不等式． 众所周知，包含Ｈｅｉｓｅｎｂｅｒｇ群和Ｈ—ｔｙｐｅ群的Ｃａｒｎｏｔ群，其上向量场满足Ｈｉ３ｍｒａｎｄｅｒ条件和左不变的性 质．然而，广义Ｂａｏｕｅｎｄｉ—Ｇｒｕｓｈｉｎ（后面简称Ｂ—Ｇ）向量场不具备这两个好的性质．因此广义Ｂ．Ｇ向量场与 Ｃａｍｏｔ群上的向量场有本质区别．Ｐ．Ｎｉｕ等人在文献［８］中利用Ｐｉｃｏｎｅ型恒等式的方法研究了与Ｂ Ｇ向量 场相关的 （１＜ｐ＜Ｑ）Ｈａｒｄｙ型不等式： ＋ ｆ Ｖ 咖ｌ ｄｚｄｔ （ ） …ｆ咖 Ｖ ｌ 出ｄ ， （１．１） 其中 Ｅ ｃ （Ｒ” ＼｛０｝，Ｑ为齐次维数，Ｖ 为广义梯度（见（２．２））．我们也注意到文献［９］考虑了Ｐ＝Ｑ时的 Ｈａｒｄｙ型不等式．后来，Ｋｏｍｂｅ¨。。建立了如下加权的 （１＜ｐ＜Ｑ＋Ｏｔ）Ｈａｒｄｙ型不等式： 上 ＋ ｌ ７ 咖『 ｌＶ ｌ “ ｄｆ≥（ ±詈＿二二 ） ｌ咖 Ｖ ｆ 出 （１．２） 显然，当（１．２）中的 ＝ ＝０时，即得不等式（１．１）． 注意到：Ｈａｒｄｙ型不等式（１．１）对Ｐ的范围为１＜ｐ＜Ｑ，加权Ｈａｒｄｙ型不等式（１．２）对Ｐ的范围 十收稿日期：２０１３—０５—１５ 网络出版日期：２０１３—０６—０９ 基金项目：国家自然科学基金资助项目（１１１２６２９４）；江西省教育厅科技计划项目（ＧＪＪ１３６５７） 作者简介：廖冬妮（１９８３一），女，赣南师范学院数学与计算机科学学院讲师，硕士，主要研究方向：泛函分析；王家林（１９８１一），男，赣南 师范学院数学与计算机科学学院，副教授，博士，主要研究方向：偏微分方程理论及其应用． 网络出版地址：ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ／ｋｃｍｓ／ｄｅｔａｉｌ／３６．１０３７．Ｃ．２０１３０６０９．１０５０．０１６．ｈｔｍｌ ６４ ＿——————————赣南师范学院学报 ———————————————————————————————————一２０１３年 为１＜ｐ＜Ｑ＋ ．我们自然会问：当ｐ＞－Ｑ＋ 时，相应的Ｈａｒｄｙ型不等式如何建立？因此，本文的目标是对 １＜ｐ＜＋∞情形，建立与广义Ｂ－Ｇ向量场相关的ＬＰ加权Ｈａｒｄｙ型不等式・ 本文结构如下：在第二节，介绍广义Ｂ．Ｇ向量场的相关基础知识．第三节建立１＜ｐ≠Ｑ＋ 时的ＬＰ加权 Ｈａｒｄｙ型不等式．最后一节致力于ｐ＝Ｑ＋Ｏ／＞１时Ｈａｒｄｙ型不等式的建立． ２预备知识 广义Ｂ－Ｇ向量场定义如下： ｚ ＝ ， ＝ 一，ｎ， ＝ｌ ｌ 蠹， ＞０ 一，ｍ， 相应的广义梯度记为 （２・ ’ Ｖ ＝（毒，…， ｌ 蠹，… ｌ ）， 次Ｌａｐｌａｃｅ算子为 ：（２・２） （２・３） △ ＋１ ｌ △ ，ｚ，ｔ）ＥＲ ×Ｒ ， Ｐ次退化椭圆算子则为 咖＝ｄｉｖ （１ ｖ ｑｂ Ｉ 一 Ｖ ４，）， （２・４） 当ｍ： ：１时，广义Ｂ－Ｇ向量场上的次Ｌａｐｌａｃｅ算子（２．３）即为Ｈｅｉｓｅｎｂｅｒｇ群Ｈ 上次Ｌａｐｌａｃｅ算子・当ｍ＝ ＝ｎ＝ｌ时，（２．３）即为二维Ｇｒｅｉｎｅｒ算子（差） ＋（ 盖）） ・ 引入广义Ｂ－Ｇ算子的自然伸缩 （ ，￡）＝（ｋｚ，Ａ ），Ａ＞０，（ｚ，￡）ＥＲ ×Ｒ ， （２．５） 则齐次维数为Ｑ＝ｎ＋ｍ（ ＋１）． 拟距离定义为 ｐ垒ｐ（ｚ， ）：（ ‘训’＋（ ＋１） ） ，（ｚ，￡）∈尺 ×Ｒ ， （２．６） 通过直接计算可知Ｉ ｖ １ ＝ ＝： ，并且ｐ和 关于伸缩（２．５）分别是一次齐次和零次齐次的・ ３加权Ｈａｒｄｙ型不等式（１＜ｐ＜∞（≠Ｑ＋Ｏｔ）） 定理３．１为本文主要结果之一，其证明方法有别于文献［１０］对不等式（１．２）的证明． 定理３．１ 设 ＋ｍ，１＜ｐ＜∞（≠Ｑ＋ ）及 Ｅ Ｃｏ （ ＼｛０｝，则 （Ｉ ｖ￡ ｌＪＤ ｌ ｖ＿［ｐ ｌ ）ｐ出出 （ ）ｐ ＋ ｌ Ｉｌ１ ｐ ｌ Ｖ 出ｄ ， （３・ ） 并且常数ｆ ± 卫１ 是最佳的． 证明 由于（２．６）中定义的ｐ是无穷调和的，因此可知ｕ＝ｐｐ－ ｑ－ｃｔ是方程Ｖ （ｐ ｌ ｖ Ｌｐ 的弱解 “ ，即 ｕ Ｉ Ｖ “）＝０ 【 “Ｉ ｖ ｖ 在（３．２）中，我们选取 ＝ｌ ｉ Ｐ。 印～，则 Ｖ Ｖ ）＝０， Ｅ Ｃｏ （Ｒ ） （３・２） ｃ ｌ ｖ ｖ ｒ Ｖ Ｑ ＋ａ－ｐ・Ｖ （ ｐ 一 ）＝０， 化简可得（Ｑ＋ 一ｐ） ｍＰ‘ １ Ｖ ｌ Ｉ咖Ｉ ＋ｐ ＋ 叩一 Ｉ Ｖ ｌＰ＋ ｌ ｉ Ｏ ｖ ａ，‘７ Ｌ咖＝０，利用Ｈ６ ｄｅｒ 不等式．我们有 第３期 廖冬妮，等￣Ｆ－３Ｌ Ｂａｏｕｅｎｄｉ－Ｇｒｕｓｈｉｎ向量场相关的Ｌｐ加权Ｈａｒｄｙ型不等式 ６５ ＋ （“＿１） Ｉｖ Ｉ ＋ １＋１ ｆ￣ｎ＊ｍＰ ＋印 Ｉ ｖ￡ｐ』，＋ 一 Ｉ＋１，一 ｆ ｖ ｌ： ｆＲｔ＋ｔｒｔ（ Ｉｖ ｌ ｌ ｌ）（ｐ Ｉ ７ ｕｏ ７ Ｌ ｓ （３．３） ［ｆ．ｎ＋ｍＰ Ｉ Ｖ Ｉ＋１ 叩Ｉ Ｖ ｕｏ Ｉ Ｉｖ ， 由（３．３）即可得到（３．１）． 为证ｆ、 土 ＿ｒＪ 二 １／ 是最佳的．我们考虑如下径向函数： ｒｅ： ，０ Ｐ １， 咖ｓ Ｊ９ 一，ｐ＞１， 其中ｃ ＝ ± 卫± ， ＞。．利用文献［１３］建立的极坐标变换，类似文献［７］的做法即得结论． 注３．２ 若在中令 ＝ｙ＝０，则得Ｈａｒｄｙ型不等式（１．１）． ４加权Ｈａｒｄｙ型不等式（１＜Ｐ＝Ｑ＋ ） 定理４．１设 ｅＲ，１＜Ｐ＝Ｑ＋ 及 Ｅ ｃ （Ｒ ＼｛０｝）及，则 ＋ Ｉ Ｖ 咖｝ Ｉ Ｖ厶ｐ Ｊ 出ｄ￡ （卫 ） ＋ Ｉ ｌ ｆ ｌ。ｇ ｐ Ｉ—Ｐｐ Ｉｐ Ｉ Ｖ厶ｐ』” 出 （４．１） 证明设 ＝ｌ ｌｏｇ ｐ Ｊ ，其中 Ｅ Ｃｏ （尺” ＼｛０｝）且ｒ≠０，注意到 １ Ｖ Ｉ＝Ｉ Ｖ ｔ ｌｏｇ Ｐ ｌ］Ｊ＝ｊ【 ｒ ｌ ｌｏｇ Ｐ ｆｓｇｎ（１ｏｇ ｐ）ｐ Ｖ ＋｝ｌｏｇ ｐ『 Ｖ 】ｌ， （４．２） 利用文献［１４］建立的不等式 ｌ ０＋ｂ ｌ 一ｌ。ｔｐ ｃ（ｐ）ｌ ６ ｌ＋Ｐ｝。ｌ 一 口・ｂ，。，ｂ Ｅ Ｒ ，Ｐ ２， （４．３） 其中ｃ（ｐ）＞０，我们可得 ＋ Ｉ Ｖ 咖』ｐ，， Ｉ Ｖ ｔ￣ｄｚｄｔ 上 ＋ ｌ［ ｒ Ｉｌｏｇ ｐ ｉ，－１ ｓｇｎ（１。ｇ Ｐ）Ｐ Ｖ ＋Ｉ ｌｏｇ ｐ Ｉ Ｖ Ｌ 】ｆＰｐ Ｉ Ｖ ｌ ｄｚｄｔ≥ ｍＰ ｌ ｌｏｇ Ｐ Ｉ Ｊ ｌ ｌ Ｖ ｌ ｄｚｄｔ＋ （４．４） ｒ ｓｇｎ（１０ｇ ＪＤ） ｍＰ”卜 ｌ ｌ０ｇ ｐ ””ｌ ｖ Ｖ ・Ｖ （Ｉ ｌ ）ｄｚｄｔ． 利用分部积分公式，我们有 ｆ ”卜 ｌ ｌｏｇ ｐ ｌ””ｌ ｖ ｌＰ＋ Ｖ ・Ｖ （Ｉ ｌ）ｄｚｄｔ＝ ｌＩ ｖ （ｐ￣＋ｌ－ｐ Ｉ ｌ。ｇ ｐ ｆ（ｒ－１）（ｐ－１）＋ｒ Ｉ ｖ Ｉ，＋ 一：ｖ ｐ）（１ ｄ￡， ４・５ 一 ＋ 结合（４．４）和（４．５），并选取 ： ，我们可得 Ｐ ＋ｍ Ｉ 咖Ｉ “Ｉ Ｖ，ｏ ｌ出出 『卫 ｆ Ｉ ｌｏｇ ｐ ｔ呻Ｉ＋１ Ｉ Ｖ ｒ 出 一 ｌｒ （１０ｇｐ （ｐａ，ｌ－ｐ Ｉ Ｖ Ｖ ａｏ）＆ 一 注意到 ＝一ｌｏｇ Ｐ是算子 “＝Ｖ ‘（ｐ“ｌ Ｖ ｌ Ｉ Ｖ １．２ ７ “）（Ｐ＝Ｑ＋ ）的弱解，因此 ，“＝Ｖ （ｐ ｌ ７ ＬＰ ｌＩ ７ （一ｌｏｇ Ｊ９）ｌ Ｖ （一ｌｏｇ ｐ））＝Ｖ 。（ＪＤ 卜 Ｉ ７ ｒ Ｖ ）， 即 …Ｉ Ｖ （ｐ 呻Ｉ ｖ，．ｏ ｌ～７ ｕｏ）ｄ ｄ ＝ …ｌ ｌ ， 出ｄｔ＝０． （４．７） 赣南师范学院学报 结合（４．６）和（４．７），便可得到结论（４．１）． ２０１３正 注４．２若在（４．１）中取 ＝ ＝０，即可得文献［９］的结果 参考文献： ［１］Ｊ．Ｐ．Ｇａｒｃｉａ Ａｚｏｒｅｒｏ，Ｉ．Ｐｅｒａｌ Ａｌｏｎｓｏ．Ｈａｒｄｙ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ ａｎｄ ｓｏｍｅ ｃｒｉｔｉｃａｌ ｅｌｌｉｐｔｉｃ ａｎｄ ｐａｒａｂｏｌｉｃ ｐｒｏｂｌｅｍｓ［Ｊ］．Ｊ．Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，１９９８， １４４：４４１—４７６． ［２］Ｌ．ＤＡｍｂｒｏｓｉｏ．Ｈａｒｄｙ ｔｙｐｅ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ ｒｅｌａｔｅｄ ｔｏ ｓｅｃｏｎｄ ｏｒｄｅｒ ｄｅｇｅｎｅｒａｔｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ［Ｊ］．Ａｎｎ．Ｓｃｕｏｌａ Ｎｏｒｍ．Ｓｕｐｅｒ．Ｐｉｓａ Ｃ１．Ｓｃｉ・， ２００６，５：２５１—２８６． ｄｓｔｅｉｎ，Ｉ．Ｋｏｍｂｅ．Ｔｈｅ Ｈａｒｄｙ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ ａｎｄ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｐａｒａｂｏｌｉｃ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｃａｍｏｔ ｇｒｏｕｐｓ［Ｊ］．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ａｎａ１．，２００８，６９：４６４３— ［３］ Ｊ．Ａ．Ｇｏｌ４６５３． ｒｏｆａｌｏ。Ｅ．Ｌａｎｅｏｎｅｌｌｉ．Ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｎ ｔｈｅ Ｈｅｉｓｅｎｂｅｒｇ ｇｒｏｕｐ，ｔｈｅ ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ａｎｄ ｕｎｉｑｕｅ ｃｏｎｔｉｎｕａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ａｎｎ．Ｉｎｓｔ．Ｆａｎ— ［４］ Ｎ．Ｇａｒｉｅｒ（Ｇｒｅｎｏｂｌｅ），１９９０，４０：３１３—３５６． ｕ．Ｈ．Ｚｈａｎｇ，Ｙ．Ｗａｎｇ．Ｈａｒｄｙ ｔｙｐｅ ａｎｄ Ｒｅｌｌｉｃｈ ｔｙｐｅ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ ｏｎ ｔｈｅ Ｈｅｉｓｅｎｂｅｒｇ ｇｒｏｕｐ［Ｊ］．Ｐｒｏｃ．Ａｍｅｒ．Ｍａｔｈ．Ｓｏｃ．，２００１，１２９：３６２３ ［５］ Ｐ．Ｎｉ—３６３０． ｉｎ．Ｈａｒｄｙ ｔｙｐｅ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ ｏｎ ｔｈｅ Ｈ—ｔｙｐｅ ｒｇｏｕｐｓ ａｎｄ ｎｉａｓｏｔｒｏｐｉｃ Ｈｅｉｓｅｎｂｅｒｇ ｇｒｏｕｐｓ［Ｊ］．Ｃｈｉｎｅｓｅ Ｍａｔｈ．Ａｎｎ．，２００８，２９：５６７—５７４． ［６］ Ｙ．Ｊｎ．Ｓ．Ｓｈｅｎ．Ｗｅｉｇｈｔｅｄ Ｈａｒｄｙ ａｎｄ Ｒｅｌｌｉｃｈ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ ｏｎ Ｃａｒｎｏｔ ｇｒｏｕｐｓ［Ｊ］．Ａｒｃｈ．Ｍａｔｈ．，２０１ １，９６：２６３—２７１． ［７］ Ｙ．Ｊｉｕ．Ｙ．Ｃｈｅｎ，Ｙ．Ｈａｎ．Ｓｏｍｅ Ｈａｒｄｙ．ｔｙｐｅ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ Ｂａｏｕｅｎｄｉ－Ｇｒｕｓｈｉｎ ｏｐｅｒａｔｏｒ［Ｊ］．Ｇｌａｓｇｏｗ Ｍａｔｈ．Ｊ．，２００４，４６：５１５— ［８］ Ｐ Ｎｉ５２７． ［９］ 欧亚飞，钮鹏程．一类退化次椭圆算子的基本解及Ｈａｒｄｙ不等式［Ｊ］．西南民族大学学报（自然科学版），２００７，３３：１００１—１００５． ｎｄ Ｒｅｌｌｉｃｈ ｔｙｐｅ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ ｗｉｔｈ ｒｅｍａｉｎｄｅｒｓ ｆｏｒ Ｂａｏｕｅｎｄｉ－Ｇｒｕｓｈｉｎ ｖｅｃｔｏｒｆｉｅｌｄｓ［Ｊ］．ａｒＸｉｖ：０７０４．１３４３ｖ１． ［１０］ Ｉ．Ｋｏｍｂｅ．Ｈａｒｄｙ ａ［１１］ Ｊ．Ｗａｎｇ．Ｐ．Ｎｉｕ．Ｓｈａｒｐ ｗｅｉｇｈｔｅｄ Ｈａｒｄｙ ｔｙｐｅ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ ａｎｄ Ｈａｒｄｙ－Ｓｏｂｏｌｅｖ ｔｙｐｅ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ ｏｎ ｐｏｌａｒｉｚｂｌａｅ Ｃａｍｏｔ ｇｒｏｕｐｓ［Ｊ］．ｃ．Ｒ．Ｍａｔｈ． Ａｃａｄ．Ｓｃｉ．Ｐａｒｉｓ，２００８，３４６：１２３１—１２３４． ２００６． ［１２］ 刘海峰．几类向量场上非线性次椭圆方程的研究［Ｄ］．西安：西北工业大学，ｉ６ｒｒｅｚ，Ｅ．Ｌａｎｃｏｎｅｌｌｉ．Ｍａｘｉｍｕｍ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ，ｎｏｎｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ Ｈａｒｎａｃｋ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ ａｎｄ Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ ｔｈｅｏｒｅｍｓ ｏｆｒ Ｘ・ｅｌｌｉｐｔｉｃ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ［Ｊ］． ［１３］ ｃ．Ｅ．ＧｕｔＣｏｍｍ．Ｐａｒｔｉｌ Ｄｉａｆｆｅｒｅｎｔｉｌ Ｅｑｕａｔａｉｏｎｓ，２００３，２８：１８３３～１８６２． ［１４］ Ｇ．Ｂａｒｂａｔｉｓ，Ｓ．Ｆｉｌｉｐｐａｓ，Ａ．Ｔｅｒｔｉｋａｓ．Ａ ｕｎｉｉｆｅｄ ａｐｐｒｏａｃｈ ｔｏ ｉｍｐｒｏｖｅｄ Ｈａｒｄｙ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ ｗｉｔｈ ｂｅｓｔ ｃｏｎｓｔｎｔａｓ［Ｊ］．Ｔｒａｎｓ．Ａｍｅｒ．Ｍａｔｈ．Ｓｏｃ．， ２００４．３５６：２１６９—２１９６． Ｗｅｉｇｈｔｅｄ Ｈａｒｄｙ Ｔｙｐｅ Ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ Ｒｅｌａｔｅｄ ｔｏ Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ Ｂａｏｕｅｎｄｉ．Ｇｒｕｓｈｉｎ Ｖｅｃｔｏｒ Ｆｉｅｌｄｓ ＬＩＡＯ Ｄｏｎｇｎｉ。，ＷＡＮＧ Ｊｉａｌｉｎ ，ＹＵ Ｚｅｆｅｎｇ ，ＷＵ Ｓｈｉｍｉｎ （ａ．Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ； ｂ．Ｓｃｈｏｏｌ ｆＰｈｙｓｉｏｃｓ ａｎｄ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ，Ｇａｎｎａｎ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｇａｎｚｈｏｕ ３４１０００，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｉｓ ｃｏｎｃｅｒｎｅｄ ｗｉｔｈ ｗｅｉｇｈｔｅｄ Ｈａｒｄｙ ｔｙｐｅ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ ｒｅｌａｔｅｄ ｔｏ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ Ｂａｏｕｅｎｄｉ－Ｇｒｕｓｈｉｎ ｖｅｃｔｏｒ ｆｉｅｌｄｓ． Ｗｅ ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｍａｎｙ ｋｎｏｗｎ ｒｅｓｕｌｔｓ ｒｅｑｕｉｒｅ ｓａｔｉｓｆｙｉｎｇ：１＜ｐ＜Ｑ ｏｒ １＜ｐ＜Ｑ＋ ，ａ Ｅ Ｒ，ｗｈｅｒｅ Ｑ ｉｓ ｔｈｅ ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ．Ｂｙ ｉｍ— ｐｒｏｖｉｎｇ Ｋｏｍｂｅｇ ｍｅｔｈｏｄｓ，ｔｈｅ ｗｅｉｇｈｔｅｄ Ｈａｒｄｙ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ ａｒｅ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ ｆｏｒ １＜＿Ｐ＜＋∞（ｐ≠Ｑ＋ｏ／）ａｎｄ Ｐ＝Ｑ＋ ，ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ Ｂａｏｕｅｎｄｉ－Ｇｒｕｓｈｉｎ ｏｐｅｒａｔｏｒ；ｗｅｉｇｈｔｅｄ Ｈａｒｄｙ ｔｙｐｅ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ；ｎｏｎ—Ｈｆｉｒｍａｎｄｅｒ ｖｅｃｔｏｒ ｆｉｅｌｄｓ
