博弈论第三章习题

问题1：如果开金矿博弈中第三阶段乙选择打官司后的结果尚不能肯定，即下图中a、b数值不确定。试讨论本博弈有哪几种可能的结果。如果本博弈中的“威胁”和“承诺”是可信的，a或b应满足什么条件？

乙 借 甲 分 不分 乙 不打 （2，2） 打 不借 （1，0） ①a0，不借—不分—不打；

②0a1，且b2，借—不分—打； ③a1，且b2，借—不分—打(a,b)； ④a0，且b2，借—分—（2，2）

问题2：三寡头市场需求函数P100Q，其中Q是三

个厂商的产量之和，并且已知三个厂商都有常数边际成本2而无固定成本。如果厂商1和厂商2同时决定产量，厂商3根据厂商1和厂商2的产量决策，问它们各自的产量和利润是多少？

1(100q1q2q3)q12q1(98q1q2q3)q1 2(100q1q2q3)q22q2(98q1q2q3)q2 3(100q1q2q3)q32q3(98q1q2q3)q3 30,q3(98q1q2)/2 q3（a，b）

（0，4）

代入，1(98q1q2)q1/2,2(98q1q2)q2/2

精选doc

可编辑修改

12***q298/3,q349/30,0，得q1q1q2精选doc

可编辑修改

**1*24802/9,32401/9。

问题3：设两个博弈方之间的三阶段动态博弈如下图所示。

（1）若a和b分别等于100和150，该博弈的子博弈完美纳什均衡是什么？

（2）LNT是否可能成为该博弈的子博弈完美纳什均衡路径，为什么？

（3）在什么情况下博弈方2会获得300单位或更高的得益？

1 L 2 M N 1 T 200，200 S R 300，0 （a，b）

50，300

（1）博弈方1在第一阶段选择R，在第三阶段选择S，

博弈方2在第二阶段选择M。

（2）不可能。LNT带来的利益50明显小于博弈方1在第一阶段R的得益300；无论a和b是什么数值，该

路径都不能构成Nash均衡，不能成为子博弈完美Nash均衡。

（3）由于LNT不是本博弈的子博弈完美Nash均衡，因此博弈方2不可能通过该路径实现300单位的得益，唯一有可能实现300单位及以上的得益的路径为LNS，要使该路径成为子博弈完美Nash均衡而且博弈方2得到300单位及以上的得益必须a300,b300。

问题4：企业甲和企业乙都是彩电制造商，都可以选择生产低档产品或高档产品，每个企业在四种不同的情况下的利润如以下得益矩阵所示。如果企业甲先于企业乙进行产品

精选doc

可编辑修改

选择并投入生产，即企业乙在决定产品时已经知道企业甲的选择，而且这一点双方都清楚。

精选doc

可编辑修改

（1）用扩展型表示这一博弈。

（2）这一博弈的子博弈完美纳什均衡是什么？

企业乙 高档 低档 甲 高 乙 高 低 高 （700，1000） 高档 500，500 700，1000 低档 1000，700 600，600 企业甲 扩展型表示的博弈

低 乙 低 （500，500） （1000，700） （600，600） 若甲选择高档，乙选择低档，甲得1000元，乙得700元； 若甲选择低档，乙选择高档，那么甲得700元，乙得1000元，

所以：甲的策略为：选择生产高档产品；

乙的策略是：若甲选择高档，乙选择低档；若甲选择低档，乙选择高档。

本博弈的子博弈Nash均衡是：甲选择生产高档彩电，乙选择生产低档彩电。

问题5：乙向甲索要1000元，并且威胁甲如果不给就与他同归于尽。当然甲不一定相信乙的威胁。请用扩展型表示该博弈，并找出纯策略纳什均衡和子博弈完美纳什均衡。

两个纯策略Nash均衡：（给，实施），（不给，不实施） 实施的威胁不可信，甲在第一阶段选择不给，乙在第二阶段不实施（生命诚可贵）；这是子博弈完美纳什均衡；另一个（给，实施）不可信。

精选doc

可编辑修改

甲 不给 乙 实施 不实施 （0，0） 给 （-1000，1000）

（-∞，-∞）

问题6：两个寡头企业进行价格竞争博弈，企业1的利润

（paqc)2q，企业2的利润函数是函数是12（qb)2p，其中p是企业1的价格，q是企业2的

价格。求：

（1）两个企业同时决策的纯策略纳什均衡； （2）企业1先决策的子博弈完美纳什均衡； （3）企业2先决策的子博弈完美纳什均衡；

（4）是否存在参数a,b,c的特定值或范围，使两个企业都希望自己先决策？

12(paqc)0p解：（1），解得：pabc,qc

22(qb)0q1b,2abc

2（2）

q2(qb)0，代入得到

211（pabc)b，（2pabc)0，得

ppabc，企业1的子博弈完美纳什均衡企业1的定价pabc，企业2的定价qb，利润也与（1）相同。与同时

选择无异。

（3）将paqc代入

精选doc

可编辑修改

2（qb)2p（qb)2aqc

a2（2qb)a0，解得qb，代入得

2qa2pabc

2a2a**1bb，2abcabc

42（4）只有先决策的利润大于后决策时的利润时才有激

a2励。①当abcabca0，企业2希望先决策；

4a②当bb时，企业1希望先决策，只要a0都希望自

2己先决策。

aa2b0,b0,abc0,abc0，因此当

24aa0,b和cab时都能满足，这样才参数范围都希望自

2己先决策。

问题7：三寡头市场有倒转的需求函数为P(Q)aQ，其中Qq1q2q3，qi是厂商i的产量。每一个厂商生产的边际成本为常数c，没有固定成本。如果厂商1先选择产量q1，厂商2和厂商3观察到q1后同时选择q2和q3，问它们各自的产量和利润是多少？

解：i(ac)(q1q2q3)qii1,2,3 2acq12q2q30q23acq1q22q30q311q2q3(acq1)，代入得1(acq1)q1

331d11***令0,q1(ac)，代入得：q2q3(ac)6dq12精选doc

可编辑修改

1112*2*(ac),2(ac),3(ac)2

123636问题8：考虑如下的双寡头市场战略投资模型：企业1和企业2目前情况下的生产成本都是c2。企业1可以引进一项新技术使单位成本降低到c1，该项技术需要投资f。在企业1作出是否投资的决策（企业2可以观察到）后，两个企业同时选择产量。假设市场需求函数为p(q)14q，

q是两个企业的总产量。其中p是市场价格，问上述投资额f处于什么水平时，企业1会选择引进新技术？

*1解：以未引进技术为基准

1(14q1q2)q12q112，令0，得

2(14q1q2)q22q2q1q2q1q24,1216

1(14q1q2)q1q1f如果引进技术，

2(14q1q2)q22q214111962f 令10，得q1,q2,1339q1q2只有引进技术后得到的利润大于未引进技术的总利润时，即

19619652f16，16时企业1才会引进新技术。即f 999问题9：如果学生在考试之前全面复习，考好的概率为90%，如果学生只复习一部分重点，则有50%的概率考好。全面复习花费的时间t1100小时，重点复习只需要花费t220小时。学生的效用函数为：UW2e，其中W是考试成绩，有高低两种分数Wh和Wl，e为努力学习的时间。问老师如何才能促使学生全面复习？

解：学生全面复习的期望得益

u10.9(wh200)0.1(wl200)0.9wh0.1wl200

学生重点复习的期望得益

精选doc

可编辑修改

u20.5(wh40)0.5(wl40)0.5wh0.5wl40

根据激励相容的条件，u1u2，所以有 0.9wh0.1wl2000.5wh0.5wl40 所以：0.4(whwl)160

故：whwl400

奖学金与学习成绩全面挂钩，才能激励学生的学习；单靠成绩没有这么大的力度。

学生 全面 成绩 高分0.9 低分0.1 重点 成绩 高分0.5 低分0.5 Wh-200 Wl-200 Wh-40 Wl-40 问题10：某人正在打一场官司，不请律师肯定会输，请律师后的结果与律师的努力程度有关。假设当律师努力工作（100小时）时有50%的概率能赢，律师不努力工作（10小时）则只有15%的概率能赢。如果诉讼获胜可得到250万元赔偿，失败则没有赔偿。因为委托方无法监督律师的工作，因此双方约定根据结果付费，赢官司律师可获赔偿金额的10%，失败则律师一分钱也得不到。如果律师的效用函数为.m0.05e，其中m是报酬，e是努力小时数，且律师有机会成本5万元。求这个博弈的均衡。

解：第三阶段，律师

努力的期望得益：0.5200.557.5

不努力的期望得益：0.1524.50.850.53.25 满足激励相容约束

第二阶段：7.53.25&7.55 接受委托并努力工作

第一阶段：委托，接受委托，代理人努力工作，那么

精选doc

可编辑修改

0.52250.50112.50精选doc

可编辑修改

委托是必然的选择。

打官司的人提出委托，律师接受委托并努力工作。

1 委托 不委托

2 （0，5）

拒绝 接受 1 （0，5）

不努力 努力 0 0 输0.5 赢0.15 输0.85 赢0.5 （225，20）

（0，-5） （225，24.5） （0，-0.5）

.

精选doc