高考数学专题复习——复 数

高考数学专题复习——复 数

复数在现教材中虽被“淡化”，但根据近年高考试题分析，它依然是高考得“基础分”的热点试题之一.

一、考点阐释、命题趋向与应试策略 考点阐释

复数的概念是复数理论的基础，在解题活动中它经常是思维的突破口；围绕复数的代数形式和三角形式给出的两类运算，体现了复数知识的广泛联系性和普遍渗透性，这两种形式及其运算也为我们处理复数问题提供了代数思考方法和三角思考方法；复数概念及其运算的几何意义，为我们从几何上处理复数问题或几何问题复数化提供了广阔的空间.正确地进行复数各种形式间的转换，选准复数的表示形式是灵活运用复数知识处理复数与三角、复数与几何、复数与方程综合题的关键.

命题趋向与应试策略

1.由于复数内容在新的教学大纲中已被列为选学内容，所以近几年复数部分在高考中考查的难度与题量都呈下降趋势.

2.本章内容在高考中，以选择题和解答题为主.选择题主要考查：

（1）复数的概念，包括虚数、纯虚数、复数的实部和虚部、复数的模、辐角主值、复数相等、共轭复数等概念.

（2）复数代数形式与三角形式的基本运算，包括复数的四则运算，乘方、开方运算，代数形式与三角形式的互化及基本运算的技能与技巧等.

（3）复数的几何意义，特别是复数乘法的几何意义——向量旋转，复数运算的几何意义在平面图形中的应用等.在高考中常见的类型有： （1）与基本计算有关的问题； （2）与复数模的最值有关的问题； （3）与复数几何意义有关的问题. 解答题主要考查：

（1）在复数集中解一元二次方程和二项方程. （2）复数的三角运算.

（3）复数与代数、几何、三角的综合性知识运用. 在高考中常见的类型有： （1）解复数方程的问题；

（2）求复数的模和辐角主值的问题；

（3）复数与代数几何、三角相关联的综合性问题.

从上述我们可以看到高考常以考查复数运算为主，估计这一命题趋势还将继续下去. 3.坚持全面复习与重点复习相结合.

由于目前试题多以中低档题目出现，难度不大，但涉及面广，对基本问题掌握的熟练程度要求较高，所以对基本问题不能放松要求.

复数的三角形式问题是重点内容.首先，应熟练地确定复数的三角形式、复数的模与辐角主值、复数三角形式的结构特征.其次，要准确把握复数三角形式的运算特点，恰当选择运算形式.

4.重视复数与相关知识的联系. ①复数问题可以转化成三角问题；

②复数问题转化为实数范围内的代数问题； ③复数问题转化成平面几何问题.

在复习过程中，就充分利用相关知识，实现问题的转化.如求模的最值问题可采用以下思考方法：

①转化为求三角函数式的最值问题； ②转化为实数范围内的最值；

③利用模为实数这一性质，||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|；

④转化为平面几何问题.随着观察分析角度的不同，产生不同的解题思路和方法，提高学生对算理算法的合理运用的水平.

5.强调数学思想方法的训练：

（1）转化思想：要求学生在全面理解掌握复数知识的同时，善于将复数向实数转化，将复数向几何、三角转化.

（2）分类讨论思想：分类讨论是一种重要的解题策略和方法，它能使复杂的问题简单化，复数考题中经常用到这种分类讨论思想.

（3）数形结合思想：运用数形结合思想处理复平面问题是高考考查的热点之一，应引起注意.

二、知识点与注意事项 知识点

1、复数：形如abi(a,bR)的数叫做复数,a,b分别叫它的实部和虚部．

2、分类：复数abi(a,bR)中，当时b=0，就是实数；当b0时，叫做虚数；当a=0, b0时，叫做纯虚数

3．复数的相等：如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等，

4．共轭复数：当两个复数实部相等，虚部互为相反数时．这两个复数互为共轭复数。(当虚部不为零时，也可说成互为共轭虚数)．

5、复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴，y轴除去原点的部分叫虚轴．

6．两个实数可以比较大小、但两个复数如果不全是实数，就不能比较它们的大小。 7．复数的加、减、乘、除运算按以下法则进行： 设z1abi,z2cdi(a,b,c,dR)则 z1z2(ac)(bd)iz1z2(acbd)(adbc)i (前前减后后，里里加外外)

z1z2acbdc2d2bcadc2d2(z20)8．几个重要的结论：

⑴|z1z2|2|z1z2|22(|z1|2|z2|2) ⑵zz|z|2|z|2

⑶若z为虚数，则|z|2z2 9．运算律

⑴zmznzmn ⑵(zm)nzmn

nnz2(m,nR) ⑶(z1z2)nz110、复数方程和共轭复数

复数方程常见解法是将复数方程转化为实数方程组；关于共轭复数有两个充要条件：①Z∈RZZ，②非零复数y为纯虚数yy0，这两个充要条件是用整体观点处理复数的生要工具. 注意事项

1．坚持全面复习与重点复习相结合

本章的知识点有：(1)数的概念的发展，(2)复数的有关概念，(3)复数的向量表示，(4)复数的加法与减法，(5)复数的乘法与除法由于试题中本章内容多以中低档题的出现．难度不大，但涉及面广，对基本问题掌握的熟练程度要求较高．所以对基本问题不能放松要求，举例如下：

(1)复数的基本概念：

如复数为虚数，纯虚数的条件，模的性质，复数相等条件的运用等。 (2)下述结果的变形运用

①i4n1,i4n1i,i4n21,i4n3i(nN) ②(1i)22i,③设121i1iii,1i， 1i32i则31,2, 120

(3)复数问题实数化的基本方法

由复数相等的定义，可以将复数问题转化为实数问题，这就是复数问题实数化的基本方法．

2、重视复数与相关知识的联系

(1)复数问题可转化为实数范围内的代数问题．

(2)复数问题转化为平面几何问题在复习过程中，要充分利用有关知识，实现问题的转化 3．强调数学思想方法的训练

①转化思想：要求在全面理解掌握复数知识的同时，善于将复数向实数转化，将复数向三角、几何转化

②分类讨论思想：分类讨论是—种重要的解题策略和方法．它能使复杂的问题简单化，复数考试中经常用到这种分类讨论思想． ③数形结合思想：运用数形结合思想处理复数平面问题是高考考查的热点之一，应引起注意． 4．复数的四则运算一般用代数形式，加减乘运算按多项式运算法则计算，除法需把分母实数化进行，必须准确熟练地掌握。

5．要记住一些常用的结果，如i,的有关性质等可简化运算步骤提高运算速度。

6．复数的代数运算与实数有密切联系但又有区别，在运算中要特别注意实数范围内的运算法则在复数范围上是否还使用。

7．代数形式运算的结果是复数的代数形式，便于复数问题的实虚互化，及复数概念的研究。 三、典型例题

例1、在复数范围内解方程z [解]原方程化简为z22(zz)i3i(i为虚数单位) 2i(zz)i1i,

2

2

设z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得 x+y+2xi=1-i,

∴x+y=1且2x=-1,解得x=-

22

13且y=±, 22 ∴原方程的解是z=-

13±i. 2211u是实数，u，求证：u为纯虚数. z1u例2、设z是虚数，Wz思路分析：本题证法很多，可以从共轭复数运算的角度给出证明. 证明：∵Wz111111∈R，∴zzz，∴zz()0 zzzzzz∴(zz)(111zzz0，∵z是纯虚数，∴，∴|z|＝1，∴ )02z|z|11z1zzz1u.∴uu0.∵z是虚数，∴z1，∴u0，∵u()1z1z11z1z1∴u为纯虚数.

点评：用整体观点处理复数问题时，应注意利用前面提到的充要条件. 例3、求实数k的值，使方程x2(k2i)x2ki0至少有一个实根.

思路分析：已知方程是一元二次方程，系数含有参数，并且方程有一个实根，设出实根，利用复数相等可得出实数方程组，从而得解.

解：设是方程的实根，则(k2i)2ki0，

22k20即(k2)(2k)i0根据复数相等的充要条件得：，消去2k02得k=8，∴k=22

2

点评：如果利用一元二次方程的判别式△＝（k+2i）－4(2+ki)＝k－12，要使方程至少有一个实根，只需△≥0，即k≤23,k≥23，这样的解法是错误的.错误的原因在于：一元二次方程的判别式△＝b-4ac≥0是实系数一元二次方程有实根的充要条件，不适合于复系数一元二次方程.对于这类虚数系数一元二次方程有实根的常见解法是设实根为，将x＝代入方程，根据复数相等的条件来解.

x例4、设复数z=2loga+(log2ax1)i(a0,a1)，

2

22

问当x为何实数时，z是⑴实数， ⑵ 虚数， ⑶ 纯虚数， ⑷ z在复平面上对应的点在实轴上方，⑸|z|=1

1解：⑴当log2ax10，即x=a或a时z为实数；

⑵当log2ax10，即xa且x1a时z为虚数；

x⑶当2loga＝0且log2ax10，即x=1时z为纯虚数

⑷当log2ax10，即当01；或a>1时，x>a或0aax22⑸当(2loga)＋(log2ax1)＝1即x=1时，|z|=1

例5、已知x、y为共轭复数且(xy)23xyi46i。求x、y 解：设x=a+bi(a,bR),则y=a – bi代入原式得 (2a)23(a2b2)i4bia1 4a24223(ab)6b1或a1a1a1x1ix1ix1ix1i或或所以或或或

b1b1b1y1iy1iy1iy1i例6、已知z1x2x21i，z2(x2a)i，对任意xR均有|z1||z2|成立，试求实数a的取值范围

解：|z1|x4x21,|z2||x2a| 因为|z1||z2|有x4x21|x2a| 即(12a)x2(1a2)0恒成立， 当1－2a=0即a或12时，0x2(11)0恒成立， 41212a01a24(12a)(!a)0

] 所以a的取值范围是(- 1,12例7、设等比数列z1,z2,z3zn其中z1＝1，z2＝a+bi, z3=b+ai(a,bR且a>0) ⑴求a,b的值；

⑵试求使 z1z2zn0的最小自然数n ⑶对⑵中的自然数n，求z1z2…zn的值。

解：⑴因为z1，z2，z3成等比数列，所以

2z2z1z3即(abi)2bai

a2b2b(a0)a2aba32,b12 12i,⑵z11,z2于是zn(323212iq32n1 1i)2z1z2zn1qq2qn11qn1q0

3ni)2qn＝zn(321i)n(i)n(122

＝1

⑶z1z2…zn＝

1((32321i)(2321i)2(266321)1121)121121232

[(i)(i)]32(i)66(12i)661例7、

四、高考题测验 06年

一、选择题 1、复数13i等于 （ ） 3iA．i B．i C．3i D．3i

2、若复数z满足方程z20，则z （ ） A.22 B. 22 C. 22 i D. 22 i

23i数的充要条件是 3、设a,b,cR,则复数(ab)i(c为d实（ ）

（A）adbc0 （B）acbd0 （C）acbd0 （D）adbc0

(1+i)2

4、复数 等于

1－i

( )

A.1－i B.1+i C.－1+ i D.－1－i 5

、

复

数

13i3的虚部为

( )

（A）3. （B）－3. （C）2 （D）－2.

6、如果复数(m2i)(1mi)是实数，则实数m ( ) A．1 B．1 C．2 D．2 7

、

在

复

平

面

内

，

复

数

1ii对应的点位于

( )

（A）第一象限 （C）第三象限

（B）第二象限 （D）第四象限

8、已知复数z满足（3＋3i）z＝3i，则z＝（ D ） A．－323333333i B. －i C. ＋i D.＋i 24422449、对于任意的两个实数对（a,b）和(c,d),规定（a,b）＝(c,d)当且仅当a＝c,b＝d;运算“”

为：(a,b)(c,d)(acbd,bcad)，运算“”为：(a,b)(c,d)(ac,bd)，设p,qR，若(1,2)(p,q)(5,0)则(1,2)(p,q) ( ) A. (4,0) B. (2,0) C.(0,2) D.(0,4)

#10、如图12—1，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是 （ ）

二、填空题

12i的值是_ __. 3i2xy512、设x、y为实数，且，则x+y=__________. 1i12i13i11、复数

13、若复数z同时满足z－z＝2i，z＝iz（i为虚数单位），则z＝ ． #14、(1i)2005 。

1i15、复数z＝i＋i2＋i3＋i4的值是 。

16、非空集合G关于运算满足：（1）对任意a,bG，都有abG；

（2）存在eG，使得对一切aG，都有aeeaa，则称G关于运算为“融洽集”；现给出下列集合和运算：

①G非负整数,为整数的加法 ②G偶数,为整数的乘法

③G平面向量,为平面向量的加法 ④G二次三项式,为多项式的加法 ⑤G虚数,为复数的乘法

其中G关于运算为“融洽集”________________;（写出所有“融洽集”的序号） 三、解答题

3i(i为虚数单位) 2i518、已知复数w满足w4(32w)i(i为虚数单位），z|w2|，求一个以z为根

w#17、在复数范围内解方程z2(zz)i的实系数一元二次方程. 解答 1、解：13i13i1i故选A 3ii(13i)i32、由z20z2iz22i，故选D.

3、a,b,cR,复数(abi)(cdi)=(acbd)(adbc)i为实数，∴adbc0，选D.

22i(1+i)2

i(1i)1i，选C． 4、复数 =

1－i1i5、复数1i=13i3i22i,所以它的虚部为－2，选D.

3m6、m22i1mi展开后，“原始项”共四项，但是我们并不关心实部项，虚部项为：

3mii1，只需：m1i0m1。选B

7、解：

1i（i1＋i）＝＝1－i故选D i－18、解：z＝3i3（i3－3i）3i＋3故选D ＝＝1243＋3ip2q5p1, 2pq0q29、由(1,2)(p,q)(5,0)得所以(1,2)(p,q)(1,2)(1,2)(2,0),故选B. 10、D 11、

17i 101012、解填4。由

xy5xy5(13i)，即 知，(1i)(12i)1i12i13i25105x(1i)2y(12i)5(13i)，即(5x2y5)(5x4y15)i0，故

5x2y50,x1,xy4。 解得5x4y150.y5.13、解：已知ZiZ2iZ2ii1；

1i

14、i 15、0

16、非空集合G关于运算满足：（1）对任意a,bG，都有abG；

（2）存在eG，使得对一切aG，都有aeeaa，则称G关于运算为“融洽集”；现给出下列集合和运算：

①G非负整数,为整数的加法,满足任意a,bG，都有abG，且令e0，有a00aa，所以①符合要求；

②G偶数,为整数的乘法,若存在aeaea，则e1，矛盾，∴ ②不符合要求；

③G平面向量,为平面向量的加法,取e0，满足要求，∴ ③符合要求； ④G二次三项式,为多项式的加法，两个二次三项式相加得到的可能不是二次三项式，所以④不符合要求；

⑤G虚数,为复数的乘法，两个虚数相乘得到的可能是实数，∴ ⑤不符合要求， 这样G关于运算为“融洽集”的有①③。 17、[解]原方程化简为z2(zz)i1i,

设z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得 x2+y2+2xi=1-i, ∴x2+y2=1且2x=-1,解得x=-

13且y=±, 22 ∴原方程的解是z=-

13±i. 2243i2i， 12i18、 [解法一] w(12i)43i,w z5|i|3i. 2i 若实系数一元二次方程有虚根z3i，则必有共轭虚根z3i. zz6,zz10，

 所求的一个一元二次方程可以是x26x100. [解法二] 设wabi(a、bR) abi43i2ai2b，

a42b,a2, 得   

b32a,b1, w2i， 以下解法同[解法一].

出师表

两汉：诸葛亮

先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。然侍卫之臣不懈于内，忠志之士忘身于外者，盖追先帝之殊遇，欲报之于陛下也。诚宜开张圣听，以光先帝遗德，恢弘志士之气，不宜妄自菲薄，引喻失义，以塞忠谏之路也。

宫中府中，俱为一体；陟罚臧否，不宜异同。若有作奸犯科及为忠善者，宜付有司论其刑赏，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使内外异法也。

侍中、侍郎郭攸之、费祎、董允等，此皆良实，志虑忠纯，是以先帝简拔以遗陛下：愚以为宫中之事，事无大小，悉以咨之，然后施行，必能裨补阙漏，有所广益。

将军向宠，性行淑均，晓畅军事，试用于昔日，先帝称之曰“能”，是以众议举宠为督：愚以为营中之事，悉以咨之，必能使行阵和睦，优劣得所。

亲贤臣，远小人，此先汉所以兴隆也；亲小人，远贤臣，此后汉所以倾颓也。先帝在时，每与臣论此事，未尝不叹息痛恨于桓、灵也。侍中、尚书、长史、参军，此悉贞良死节之臣，愿陛下亲之、信之，则汉室之隆，可计日而待也

。

臣本布衣，躬耕于南阳，苟全性命于乱世，不求闻达于诸侯。先帝不以臣卑鄙，猥自枉屈，三顾臣于草庐之中，咨臣以当世之事，由是感激，遂许先帝以驱驰。后值倾覆，受任于败军之际，奉命于危难之间，尔来二十有一年矣。

先帝知臣谨慎，故临崩寄臣以大事也。受命以来，夙夜忧叹，恐托付不效，以伤先帝之明；故五月渡泸，深入不毛。今南方已定，兵甲已足，当奖率三军，北定中原，庶竭驽钝，攘除奸凶，兴复汉室，还于旧都。此臣所以报先帝而忠陛下之职分也。至于斟酌损益，进尽忠言，则攸之、祎、允之任也。

愿陛下托臣以讨贼兴复之效，不效，则治臣之罪，以告先帝之灵。若无兴德之言，则责攸之、祎、允等之慢，以彰其咎；陛下亦宜自谋，以咨诹善道，察纳雅言，深追先帝遗诏。臣不胜受恩感激。

今当远离，临表涕零，不知所言。