等式 ｘ—ＯＡ十ｖ——一 Ｉ—∞－——— ＿—ｔＩ ｚＯＣ一０———一■■■■＿一 的几何意义 山西省霍州市实验小学 闫红梅 山西省霍州市第一中学 李海 在数学上，向量主要是解决几何问题，许多向量表达式都具 有几何意义。下面就等式 （ ＋ｙＯＢ十ｚＯＣ＝０（点 、Ｂ、 Ｃ不重合，Ｘ、ｖ、ｚ都不为零）的有关几何意义作一探讨。 （１）当Ｘ＋Ｙ＋Ｚ＝０，即两边向量的系数和相等时，．４、Ｂ、 Ｃ三点共线。 例如对于 ＋２Ｄ 一３０Ｃ＝０，可变形为 （ＯＡ一０Ｃ）＋２（０ 一ｐＣ）＝Ｃ ＋２（ ＝０，即 ＣＡ＝一２ＣＢ．所以 、 、Ｃ三点共线。 （２）当 ＋ ＋ｚ≠Ｏ时，点Ａ、Ｂ、Ｃ不共线，但（）、 、 、Ｃ四点共面；当 、ｙ、ｚ同号时，点Ｏ位于 ＢＣ的 内部，异号时，点（二）位于ＡＡＢＣ的外部。 同时， ＯＢｃ：ＳＡ ｃ：Ｓ△ＯＡ口：Ｉ ＸＩ：ｌｙｌ：Ｉ ｚ Ｉ．当然，Ａ、 、Ｃ三点共线且与Ｄ不共线时也有该结论。 下面做一简单证明。 若Ｄ是 ＢＣ的重心， 则很明显有 ＯＡ＋Ｄ ＋ＤＣ＝０，且 △ＯＢｃ：Ｓ△０４ｃ： 口＝１：１：１口若Ｄ ，不是的重心，那么在式子ＸＯＡ＋ｙＯＢ＋ｚＯＣ＝０中，不妨 先假设Ｘ、Ｙ、ｚ都大于零，设ｘＯＡ：ＯＡ’，ｙＯＢ＝ＯＢ’， ｚＯＣ＝０Ｃ’， 则（＝）是 ’Ｂ’Ｃ’的重心， 且 ∞．ｃ ： ： △ＯＡ．Ｂ．＝¨：１，设每一份是Ｓ，有 Ｓｓｓ： ， ｃ＝ ＝ ． ，所以在式子 一ｘＯＡ ｙＯＢ ＋ ｚＯＣ ： ０ 中 ， ｓＳＳＤ口ｃ・： ｃ： 占： ： ： ＝＝ ： ：ｚ ｃ 同理， 当Ｘ Ｙ、 Ｚ异号时， 也有 Ｓ ＯＢｃ：ＳＡＯＡｃ ｓ ０４８＝ＩＸ Ｊ：ｌｙｌ：ｌｚ１。 ．特别地，当Ｘ：Ｙ：三＝ＢＣ：ＡＣ：ＡＢ时，（＝）是 Ｃ的 内心。 该结论还可推广到空间。 已知式子ｘＩ ＯＡ十 ＯＢ＋ ＯＣ＋Ｘ４ＯＤ＝０（点Ａ、 Ｂ、Ｃ、ＪＤ不重合， 、 、 、 ４都不为零）。 （１）当Ｘｌ＋ ＋ ＋ ：Ｏ，即两边向量的系数和相等时， 、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点共面。 例如对于 ＋２０ ＋３ＯＣ一６ｆ＝）Ｄ＝０，可变形为 （ＯＡ—ＯＤ）＋２（ＯＢ—ＯＤ）＋３（ＯＣ—ＯＤ） ： ） ＋２Ｄ ＋３ＤＣ＝０。即 ） ＝一２ＤＢ一３ＤＣ 所以 素质教育１６２ 、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点共面。 （２）当Ｘ１＋ ＋ｊｃ３＋Ｘ４≠Ｏ时，点 、Ｂ、Ｃ、Ｄ不共 面．但可构成一四面体 ＢＣＤ：当 、 、 ３、Ｘ４同号 时，点０位于四面体的内部．异号时。点（＝）位于四面体的 外部。并且有 伽∞： ｃＤ： 朐： ＯＡ日ｃ：ｉ ｝： Ｉ：１ Ｘ３ ｔ：１ ｌ。同样，Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ共面但能与Ｏ构成锥体时也 有该结论。 下面就Ｘ１、 、Ｘ３、Ｘ４都是正数的情况下做一简单证明。 在四面体 ＢＣＤ中，设Ｇ是ＡＢＣＤ的重心，连接 Ｇ。 取 Ｇ的靠近Ｇ的四等分点为Ｄ，则（二）就是四面体ＡＢＣＤ 的几何重心。 此时ＧＢ＋ＧＣ＋ＧＤ＝０， 所以（二）Ｂ一（＝）Ｇ＋（＝）Ｃ一（二）Ｇ＋（＝）Ｄ一０Ｇ：Ｏ， ＤＢ＋ＯＣ＋ＯＤ＝３０Ｇ＝一０．４． 即Ｄ，４＋《二）曰＋（二）Ｃ＋《二）Ｄｌ：０．还可证明 ∞ｃＤ： ０ ｛（１）： 肋： ＯＡ母ｃ＝¨：１＝１。 ｘｌＯＡ＋ｘ２ＯＢ＋％０Ｃ＋ｘ４０Ｄ＝０ 所以当９是四面体ＡＢＣＤ的几何重心时．上面结论 成立。 当０不是四面体ＡＢＣＤ的重心时，设．）ｃ＝ｌ ＯＡ＝ＯＡ’， ｘ２ＯＢ＝《二）Ｂ’，％０Ｃ＝ＯＣ’， 面＝ＯＤ’，则０是四 面体 ，Ｂ’Ｃ’Ｄ‘的重心，且 ｏ８．ｃ ： （ ．ｃ．Ｄ．： ，Ｂ ： ０，４ ｃ． １：１：１：１，设每一份是 。 那么 ０８（１）与 Ｄ Ｄ 又是什么关系昵？若两个锥体 分别以Ｄ、Ｄ’为顶点，以△ｌ二）ＢＣ、△《二）Ｂ’Ｃ’为底，则它 们的高之比为１：Ｘ ，底面面积之比为１： ．所以 ｒ ∞ ： （１）： ＥＤ４占Ｄ：～ 口ｃ＝＿ ｃ： ：：＿ ｝， Ａ．２－ａ，３４ 。 ； ０ Ｘ４ ＸＩ Ｘ２Ｘ３：＝１：Ｘ １： ：： ３：４。当 １、３：Ｘ４。当 １、 、Ｘ３、Ｘ４异号时，就有 、 、 ４异号时，就有 佳∞（１）： ｃ１）： ８Ｄ： 口ｃ ＝ Ｉｔ：１Ｘ．Ｉ：ＩＸ３ Ｉ：１ｘ４Ｉ。 总之，用向量缌决几何问题还是比较有力的，但我们必须 深刻理解向量形式的几何意义才能使用起来得心应手。
