A级 基础巩固
一、选择题
1.在等差数列{an}中,a1+a9=10,则a5的值为( ) A.5
B.6
C.8
D.10
解析:由等差数列的性质,得a1+a9=2a5, 又因为a1+a9=10,即2a5=10, 所以a5=5. 答案:A
2.数列{an}满足3+an=an+1且a2+a4+a6=9,则log6(a5+a7+a9)的值是( )
A.-2
1B.-
2
C.2
1D. 2
解析:因为an+1-an=3, 所以{an}为等差数列,且d=3. a2+a4+a6=9=3a4,所以a4=3,
a5+a7+a9=3a7=3(a4+3d)=3(3+3×3)=36, 所以log6(a5+a7+a9)=log636=2. 答案:C
3.由公差d≠0的等差数列a1,a2,…,an组成一个新的数列a1+a3,a2+a4,a3+a5,…下列说法正确的是( )
A.新数列不是等差数列 B.新数列是公差为d的等差数列 C.新数列是公差为2d的等差数列 D.新数列是公差为3d的等差数列
解析:因为(an+1+an+3)-(an+an+2)=(an+1-an)+(an+3-an+2)=2d,
所以数列a1+a3,a2+a4,a3+a5,…是公差为2d的等差数列. 答案:C
1
4.在数列{an}中,a3=2,a7=1,如果数列a+1是等差数列,那么
n
a11等于( )
1
A. 3
1B. 2
2C. 3
D.1
111
解析:依题意得+=2·,
a3+1a11+1a7+11212
所以=-=,
a11+11+12+131
所以a11=. 2答案:B
5.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题:把100个面包分给5个人,使每个人的所得成等差数列,且使较1
大的三份之和的是较小的两份之和,则最小的一份的量为( )
7
5
A.个 2
5
B.个 4
5
C.个 3
5D.个 6
解析:易得中间的一份为20个面包,设最小的一份的量为a1,公差1
为d(d>0),根据题意,有[20+(a1+3d)+(a1+4d)]×=a1+(a1+d),解得
75a1=. 3
5
故最小一份的量为个.
3答案:C 二、填空题
6.在等差数列{an}中,a3,a10是方程x2-3x-5=0的根,则a5+a8
=________.
解析:由已知得a3+a10=3. 又数列{an}为等差数列, 所以a5+a8=a3+a10=3. 答案:3
222*
7.正项数列{an}满足a1=1,a2=2,2an=an+1+an-1(n∈N,n≥2),
则a7=________.
22*2解析:由2a2n=an+1+an-1(n∈N,n≥2),可得数列{an}是等差数列,2222
公差d=a2-a1=3,首项a1=1,所以an=1+3(n-1)=3n-2,又{an}为
正项数列,
所以an=3n-2,所以a7=19. 答案:19
anan+1
在直线x-y+1=0上,8.已知数列{an}满足a1=1,若点n,n+1
则an=________________.
anan+1
解析:由题设可得-+1=0,
nn+1
an+1anan即-=1,所以数列n是以1为公差的等差数列,且首项为1,
nn+1
an
故通项公式=n,所以an=n2.
n
答案:n2 三、解答题
9.已知等差数列{an}中,a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求此数列的通项公式.
解:法一 因为a1+a7=2a4,a1+a4+a7=3a4=15, 所以a4=5.
又因为a2a4a6=45,所以a2a6=9, 即(a4-2d)(a4+2d)=9,
(5-2d)(5+2d)=9, 解得d=±2.
若d=2,an=a4+(n-4)d=2n-3; 若d=-2,an=a4+(n-4)d=13-2n. 法二 设等差数列的公差为d, 则由a1+a4+a7=15,得 a1+a1+3d+a1+6d=15, 即a1+3d=5,① 由a2a4a6=45,
得(a1+d)(a1+3d)(a1+5d)=45, 将①代入上式,得 (a1+d)×5×(5+2d)=45, 即(a1+d)×(5+2d)=9,②
解①,②组成的方程组,得a1=-1,d=2或a1=11,d=-2, 即an=-1+2(n-1)=2n-3, 或an=11-2(n-1)=-2n+13.
10.四个数成递增等差数列,中间两数的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数.
解:设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d), 依题意,2a=2,且(a-3d)(a+3d)=-8, 即a=1,a2-9d2=-8, 所以d2=1,所以d=1或d=-1. 又四个数成递增等差数列,所以d>0, 所以d=1,故所求的四个数为-2,0,2,4.
B级 能力提升
1
1.若方程(x-2x+m)(x-2x+n)=0的四个根组成一个首项为的等4
2
2
差数列,则|m-n|=( )
A.1 1C. 2
3B. 43D. 8
解析:设方程的四个根a1,a2,a3,a4依次成等差数列, 则a1+a4=a2+a3=2,
再设此等差数列的公差为d,则2a1+3d=2, 11
因为a1=,所以d=,
42113
所以a2=+=,
42415a3=+1=,
44137a4=+=,
424
17351
所以|m-n|=|a1a4-a2a3|=4×4-4×4=.
2
答案:C
2.已知圆的方程为x2+y2-6x=0,过点(1,2)的该圆的三条弦的长a1,a2,a3构成等差数列,则数列a1,a2,a3的公差的最大值是________.
解析:如图,由x2+y2-6x=0,得(x-3)2+y2=9, 所以圆心坐标C(3,0),半径r=3,
由圆的性质可知,过点P(1,2)的该圆的弦的最大值为圆的直径,等于6,
最小值为过P且垂直于CP的弦的弦长, 因为|CP|=(3-1)2+(0-2)2=22, 所以|AB|=232-(22)2=2, 即a1=2,a3=6,
a3-a16-2
所以公差d的最大值为==2.
22
答案:2
3.在数列{an}中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2,n∈N*).
1
(1)求证:数列a是等差数列;
n
(2)求数列{an}的通项公式. (1)证明:由3anan-1+an-an-1=0, 11得-=3(n≥2). anan-1又因为a1=1,
1
所以数列a是以1为首项,3为公差的等差数列.
n
1
(2)解:由(1)可得=1+3(n-1)=3n-2,
an1
所以an=.
3n-2
又当n=1时,a1=1,符合上式, 1
所以数列{an}的通项公式是an=.
3n-2
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