人教A版高中数学必修5第二章 数列2.2 等差数列习题

A级 基础巩固

一、选择题

1．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为( ) A．5

B．6

C．8

D．10

解析：由等差数列的性质，得a1＋a9＝2a5， 又因为a1＋a9＝10，即2a5＝10， 所以a5＝5. 答案：A

2．数列{an}满足3＋an＝an＋1且a2＋a4＋a6＝9，则log6(a5＋a7＋a9)的值是( )

A．－2

1B．－

2

C．2

1D. 2

解析：因为an＋1－an＝3， 所以{an}为等差数列，且d＝3. a2＋a4＋a6＝9＝3a4，所以a4＝3，

a5＋a7＋a9＝3a7＝3(a4＋3d)＝3(3＋3×3)＝36， 所以log6(a5＋a7＋a9)＝log636＝2. 答案：C

3．由公差d≠0的等差数列a1，a2，…，an组成一个新的数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…下列说法正确的是( )

A．新数列不是等差数列 B．新数列是公差为d的等差数列 C．新数列是公差为2d的等差数列 D．新数列是公差为3d的等差数列

解析：因为(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)＝2d，

所以数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…是公差为2d的等差数列． 答案：C

1

4．在数列{an}中，a3＝2，a7＝1，如果数列a＋1是等差数列，那么

n

a11等于( )

1

A. 3

1B. 2

2C. 3

D．1

111

解析：依题意得＋＝2·，

a3＋1a11＋1a7＋11212

所以＝－＝，

a11＋11＋12＋131

所以a11＝. 2答案：B

5．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题：把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较1

大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份的量为( )

7

5

A.个 2

5

B.个 4

5

C.个 3

5D.个 6

解析：易得中间的一份为20个面包，设最小的一份的量为a1，公差1

为d(d>0)，根据题意，有[20＋(a1＋3d)＋(a1＋4d)]×＝a1＋(a1＋d)，解得

75a1＝. 3

5

故最小一份的量为个．

3答案：C 二、填空题

6．在等差数列{an}中，a3，a10是方程x2－3x－5＝0的根，则a5＋a8

＝________．

解析：由已知得a3＋a10＝3. 又数列{an}为等差数列， 所以a5＋a8＝a3＋a10＝3. 答案：3

222*

7．正项数列{an}满足a1＝1，a2＝2，2an＝an＋1＋an－1(n∈N，n≥2)，

则a7＝________．

22*2解析：由2a2n＝an＋1＋an－1(n∈N，n≥2)，可得数列{an}是等差数列，2222

公差d＝a2－a1＝3，首项a1＝1，所以an＝1＋3(n－1)＝3n－2，又{an}为

正项数列，

所以an＝3n－2，所以a7＝19. 答案：19

anan＋1

在直线x－y＋1＝0上，8．已知数列{an}满足a1＝1，若点n，n＋1

则an＝________________．

anan＋1

解析：由题设可得－＋1＝0，

nn＋1

an＋1anan即－＝1，所以数列n是以1为公差的等差数列，且首项为1，

nn＋1

an

故通项公式＝n，所以an＝n2.

n

答案：n2 三、解答题

9．已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．

解：法一 因为a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15， 所以a4＝5.

又因为a2a4a6＝45，所以a2a6＝9， 即(a4－2d)(a4＋2d)＝9，

(5－2d)(5＋2d)＝9， 解得d＝±2.

若d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3； 若d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n. 法二 设等差数列的公差为d， 则由a1＋a4＋a7＝15，得 a1＋a1＋3d＋a1＋6d＝15， 即a1＋3d＝5，① 由a2a4a6＝45，

得(a1＋d)(a1＋3d)(a1＋5d)＝45， 将①代入上式，得 (a1＋d)×5×(5＋2d)＝45， 即(a1＋d)×(5＋2d)＝9，②

解①，②组成的方程组，得a1＝－1，d＝2或a1＝11，d＝－2， 即an＝－1＋2(n－1)＝2n－3， 或an＝11－2(n－1)＝－2n＋13.

10．四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．

解：设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)， 依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8， 即a＝1，a2－9d2＝－8， 所以d2＝1，所以d＝1或d＝－1. 又四个数成递增等差数列，所以d>0， 所以d＝1，故所求的四个数为－2，0，2，4.

B级 能力提升

1

1．若方程(x－2x＋m)(x－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等4

2

2

差数列，则|m－n|＝( )

A．1 1C. 2

3B. 43D. 8

解析：设方程的四个根a1，a2，a3，a4依次成等差数列， 则a1＋a4＝a2＋a3＝2，

再设此等差数列的公差为d，则2a1＋3d＝2， 11

因为a1＝，所以d＝，

42113

所以a2＝＋＝，

42415a3＝＋1＝，

44137a4＝＋＝，

424

17351

所以|m－n|＝|a1a4－a2a3|＝4×4－4×4＝.

2

答案：C

2．已知圆的方程为x2＋y2－6x＝0，过点(1，2)的该圆的三条弦的长a1，a2，a3构成等差数列，则数列a1，a2，a3的公差的最大值是________．

解析：如图，由x2＋y2－6x＝0，得(x－3)2＋y2＝9， 所以圆心坐标C(3，0)，半径r＝3，

由圆的性质可知，过点P(1，2)的该圆的弦的最大值为圆的直径，等于6，

最小值为过P且垂直于CP的弦的弦长， 因为|CP|＝（3－1）2＋（0－2）2＝22， 所以|AB|＝232－（22）2＝2， 即a1＝2，a3＝6，

a3－a16－2

所以公差d的最大值为＝＝2.

22

答案：2

3．在数列{an}中，a1＝1，3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N*)．

1

(1)求证：数列a是等差数列；

n

(2)求数列{an}的通项公式． (1)证明：由3anan－1＋an－an－1＝0， 11得－＝3(n≥2)． anan－1又因为a1＝1，

1

所以数列a是以1为首项，3为公差的等差数列．

n

1

(2)解：由(1)可得＝1＋3(n－1)＝3n－2，

an1

所以an＝.

3n－2

又当n＝1时，a1＝1，符合上式， 1

所以数列{an}的通项公式是an＝.

3n－2