《直线和双曲线的交点个数问题》教学设计1

昌黎汇文二中 李小庆

一、教学目的：

1.通过多媒体演示让学生掌握求直线与双曲线的交点个数的方法； 2.使学生认识到数形结合在解决问题中起到的重要作用。

二、教学重点和难点：

1. 直线与双曲线的交点个数的讨论； 2. 数形结合思想方法在解题中的应用 三、教学过程：

1、复习提问：双曲线的方程和性质 焦点在x轴上 双曲线的标准方程 顶点 渐近线 x2y221(a0,b0) A1(a,0),A2(a,0) 2aby2x221(a0,b0) B1(a,0),B2(a,0) 2ab22ybx aax b焦点在y轴上 y思考问题：求双曲线xy1与下列直线的交点的个数： ①y=x+1 ②y= -x+1 ③y2x1 ④y2x1 ⑤y=1.2x+1

⑥y= -1.2x+1 ⑦y=1 ⑧y=2x+1 ⑨y= -2x+1

老师提示：在求双曲线与直线的交点个数时，请说出它们的位置关系。 ① 与②的答案：1 直线与双曲线相交（直线与渐近线平行）。 ③与④的答案：1 直线与双曲线相切。

⑤与⑥的答案：2 直线与双曲线相交，交点在一支上。 ⑦的答案：2 直线与双曲线相交，交点在两支上。 ⑧与⑨的答案：0 直线与双曲线相离。 （以上内容都有多媒体演示）

总结：当直线与双曲线相交（直线与渐近线平行）或直线与双曲线相切时直线与双曲线有一个公共点。 例1：论直线y=kx+1与双曲线C:

x2y21公共点的个数。

1

分析：直线y=kx+1过定点（0，1），解决这个问题的关键在于找什么？就是找与双曲线有一个交点的直线。

通过多媒体演示得到答案

解：⑴k=±1或k=±2时L与C有一个公共点；

⑵有两个交点：在左支上时1＜k＜2

在右支上时 –2＜k＜-1 在两支上时 -1＜k＜1

所以k∈(–2,-1)∪(-1,1)∪(1,

2)时L与C有两个公共点。

⑶k∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时L与C没有公共点。

例2：讨论过（1，1）点的直线与双曲线xy1公共点的个数。 解：⑴直线x=1和直线y=-x+2 与双曲线有一个交点;

22 2

⑵k∈(-∞,-1) 时有两个交点在右支上; k∈(-1,1) 时有两个交点在两支上;

⑶k∈(1,+∞) 时没有公共点。

例3：讨论直线y=kx与双曲线

x2y21公共点的个数。

解：⑴没有和双曲线只有一个交点的直线；

3

⑵k∈(-1,1) 时直线与双曲线有两个交点在两支上 ;

⑶k∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时直线与双曲线没有公共点。

例4：讨论过（1，0）点的直线与双曲线xy1公共点的个数。 解：⑴直线x=1和直线y=x-1和直线y=-x+1与双曲线有一个公共点;

22

⑵两个交点

在右下支上k＜-1 在两支上-1＜k＜1 在右上支上k＞1 所以k∈(–∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞)时有两个公共点。

(3)k(,1)时，没有公共点。

4

x2y20例5：已知双曲线221的右焦点为F，过点F倾斜角为60的直线与双曲线的右支只有一个交点，

ab则此双曲线的离心率的取值范围是（ ）

A.1,2 B.1,2 C.2, D2, 答案：C

例7：已知a0且a1试求使方程loga(xak)loga2(xa)有解的k的取值范围。

22

解：loga(xak)loga2(xa)有解等价于

函数y=x-ak＞0与y=x2a2＞0图象有交点 所以k≤-1或 0＜k＜1

四、总结：过一点和双曲线只有一个交点的直线的条数 过中心 0

过渐近线上一点且不是中心 2 过双曲线外一点且不在渐近线上 4 过双曲线上一点 3 过双曲线内一点 2

22x2y21有且只有一个公共点，则斜率k的取值范围。 四、作业：过P（1，0）的直线与双曲线45答案：515或 23x2y2过P1，0的直线与双曲线1有且只有2个公共点，拓展：（1） 45则斜率k的取值范围 答案：

15155k,且k 3325

x2y2过P1，0的直线与双曲线1没有公共点， （2） 45则斜率k的取值范围 答案：k1515或k〉 33x2y2过P1，0的直线与双曲线1的左、右分支各有一个交点， （3） 45则斜率k的取值范围小结：消元转化为讨论某个一元二次方程解的个数问题。但要注意二次项系数分a=0与a≠0两种情形的讨论,只有当a≠0时才可以用Δ来确定解的个数。但有时利用数形结合可以简化运算。

6