万方数据第３８卷第５期机械工程学报Ｖｏｌ３８ Ｎｏ．５２００２年５月ＣＨＩＮＥＳＥ ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＭＥＣＨＡＮＩＣＡＬ ＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧＭａｙ２００２ 复合材料层合旋转圆柱壳振动特性研究＊郭 丹褚福磊（清华大学精仪系北京１０００８４）郑兆昌〔清华大学）摘要：采用有限元法研究层合旋转壳的振动特性，考虑了科氏力、离心力、初应力及大变形引起的几何非线性的影响，揭示了大变形几何非线性对层合旋转壳固有特性的影响。通过研究［００１９００１９０－ｉ０，和［ｉ００／９００１００ｏｒ００ｌ两种铺层圆柱壳在不同转速下的固有特性，揭示了复合材料旋转圆柱壳的固有特性随转速及铺层方式的变化规律。关健词：层合旋转圆柱壳振动特性中图分类号：０３４２ ０３２ ＴＭ３１２八加０前言－击ｒ．一．．凡．一加 高速旋转层合壳是高速离心机、航空发动机等ｓｅｓｅ心－勿许多工程机械中应用广泛的部件，多年来有许多学ｅｓ月Ｂ ｅｗ场￣ 一加者致力于它们的复杂振动和疲劳断裂研究，如Ｔａ－ 工 － ｅ ｗｅｓｅ 一ｒａｎｔｏ研究了科氏力对旋转壳的影响［［＇１， Ｓａｉｔ。等考 即十 加 －击 气 加虑了旋转引起的初应力对壳的振动的影响［２１， Ｅｎｄｏ 』标ＩＪ 一 击＋彻－等对旋转壳进行了试验研究ｐｉ． 加击直到最近，才有许多工作围绕旋转复合材料层 －击＋亚御 合壳展开，如Ｐａｄｏｖａｎ［０１， Ｒａｎｄ［＇１， Ｌａｍ［６１等。但是，式中 ６１－线性应变矢量一：（１）在复合材料层合旋转壳的振动分析中，由于采用理．ａ —非线性应变矢量论方法对具有复杂边界条件的壳问题求解十分困非线性应变矢量可以写成难，所以不得不附加一些假设，常见的有小变形假（２）设和纯弯曲假设。在转速较高的情况下。这两种假设都不再成立。本文应用有限元法进行了复合材料旋转壳的振动分析，建模中考虑了科氏力、离心力、式中．Ｓ－一一由细－汰彻－砂组成的５ｘ２矩阵初应力及大变形几何非线性的影响，此模型更接近盈— 由枷于工程实际，可适用于高速旋转壳。一鲤喻ｘａ砂组成的列矩阵彻１基本理论分析０ＳＴ＝隘』－砂彻一ｗａ放 以下采用９结点超参数壳单元为例进行分析，－加＝月ａ勿－即每个节点的自由度为３个位移分量“、ｖ．、和２Ｌ枷－击陆，ｌ个绕节点坐标基矢量Ｖ，， Ｖ２的转角“、Ｙ。对于壳｜ｓｅｓｅｓｅｓｅｓｅ体在离心力作用下的强化刚度矩阵，可以通过大变ｓｅ ａｓｅ － 阵一ｓｅｓｅ口Ｊ＝形非线性板壳理论求解［８，此时在局部坐标下的应 卜 卜ｓｅ ｓｅｓｅ ｓｅ 』ｓｅ变一位移关系可写为 式中刀— ‘ 两行矩阵。列数等于元素结点变量的中国博士后科学基金资助项目〔 中博基［２０００１３１号）。２０００１１０９收到 总数，第一行为每个结点变量对局部 初稿，２００１ １０２２收到修改稿２００２年５月郭丹等：复合材料层合旋转圆柱壳振动特性研究坐标的导数ａｗｌ ａｘ对应于形状函数的式中ａ鸟，ａｋ￣该点动能为在总体坐标系ｘ， ｙ， ｚ上的导数，第二行则为ａｗｌ ｓ ａ－结点变量列矢量，行数等于结点变量的总数 ａ； 一一第ｉ个结点的变量列矢量应变一位移矩阵 Ｂ二Ｂｉ ＋ Ｂｏ 在大变形非线性壳体中，Ｂ矩阵的元素不再为常数，其中投影 ｍ－（ａ）ｘｒ）ｘ佃ｘ ｒ）＋ＡＥ，＝生八（９）八二．（ｍｘｒ）４十工ＡＭＳ４２ 式中二一甲质量Ｂ。二胭 （３）对整个单元积分，得总动能 切线刚度矩阵为 ｋｄａ ＝ ［ｋ。十ｋ，］ ｄａ一帆二（ＢＴ ｄａ ｄＶ ＋沙、‘（４）式中ｋ，—初始刚度矩阵ｋ ，＝伊ＴＤＢｄＶｋ ａ—强化刚度矩阵ｋ ， ＝扭Ｔａ ＨｄＶ矛，￣．一外力列阵｜卜一体积月直少－弹性矩阵叮｝一应力矩阵口之，ｘｒ丹 ａ ， ａ，一一一ｘ， ｙ方向正应力公 ，—切应力 对于纤维增强层合材料，考虑到壳体中面法向应力为零的假设，其弹性矩阵有如下形式ｒｓｅ十内九０ｎＪｌ０九九０Ｃ０Ｄ ｝ 一０ｎ 十九００（５） ０ｌＵｎ ｝ 内０ ０八“心 Ｌ 式中ｄ－ 若壳体在新的平衡位置附近做小振动，壳体绕 弹性常数 过定点。的轴以角速度口旋转，壳体上任一点Ｑ对固定参考点Ｏ的位置矢量是ＦＯ，相应的弹性变形是８（ｒｏ， ｒ）＞变形速度是Ｓ，则Ｑ点的总位移是ｒ ＝ ｒ， ＋ Ｓ （ｂ）Ｑ点的速度ｖ是 ｖ＝ｍｘｒ＋Ｓ （７）式中户ｌｒ ｏ１厂「ｒ｜ｌ！十 名 ｓｅ翻 口 「ｌｓｅ ｜ｓｅｓｅ凡 － ｓｅｓｅ ｌ 工 ｓｅｓｅ｝ｓｅｓｅ 几 ｙ ｓｅ－ 一ｓｅ ｌｖ山 一口 ｓｅｙｌ．（８） ｌ ｌｌ － ｓｅｌ ｅ ｓｅｏＺ ｌｌ ＬｗｌＪ ｓｅ口ｓｅ之Ｊ Ｌｒ Ｌ 万方数据Ｅ＝工（ＳＴＳ＋ ２６翻＋Ｓ７公Ｔ砧＋（１０）２ ｏＴ＆Ｔ＊＋２ｒＯＴＱ）ＴＷＶ）ｄＭ式中ｒ，ｓｅ八 ｓｅ０一毋，呜口ｓｅ 一 一ｓｅ ｌ气０ 一四， ｓｅ）Ｊ１（ ，Ｌ－ 叭叭０ ｊ＝１！Ｖａ ）２１（式中Ｎ一一币函数 把式（１２）代入式（１０） 得 Ｅ，＝生‘，。‘＋生４Ｇａ＋告ａｒｋ。一（１３）ａ＂Ｉ＋ ｉＴＡ＋ｉＴＪａ式中耐￣一质量矩阵，为正定对称矩阵ｍ ‘一一邓它螺矩阵，为反对称矩阵 ＝俨ＮｄｍＧ＝２ ｆ ＮＴ＆Ｎｄｍ凡一一‘离心势刚度阵 ｋ ， ＝！； ｖＮＴＷＴｗＮｄｍ Ｉ， Ａ和Ｊ不进月孟动方程，其表达式不再写出。物体的弹性应变能为 Ｅ．，二＇ａ Ｔ ｋａ（１４）综合式（ １３）， （１４），利用哈密顿原理得壳体在平衡位置附近的扰动运动方程ｎａ ｄ ＋尉＋伪一ｋ｝孙＝０ （１５）式中ｋ＝ｋｏ ＋ｋｓ 对于复合材料层合结构，由于其应力一应变关系在厚度方向不连续，所以采用分层模型，将壳体沿厚度方向分成若干层，用每一分层中面上的应力代表整个分层的应力值。机械工程学报第３８卷第５期２计算结果及分析 本文所计算的壳为绕其对称轴旋转的圆柱壳，边界条件为一端固定，一端自由。图１为旋转圆柱壳的几何图形及边界条件。表１和表２分别列出了分析中使用的不同的壳的几何参数和材料参数。于高转速的情况，高转速时，大变形几何非线性的影响不能忽略。￡Ｊ诀哥璐仲厄角速度．／（ｋｎｄ＇。一’）（幻ｍ＝１，ｎ＝１ 图１旋转圆柱壳的几何形状及边界条件表１分析所用圆柱壳几何必数 壳编号半径ｒｌｍｍ长度１／ｍｍ８０即材料编号层合材料１层合材料２迢禹、、辞礴仲皿湘珊免邃度ｏｆ／（ｋｒａｄ，一’）（卜），二１，ｅ＝２表２材料参数材料 ２材科３２０５．０５１６．７２５８刃２５８图２圆柱壳１固有频率一转速曲线１６． Ｉｆ－采用文献［３〕中简化公式的结果｛卜￣ 一后行彼，ｆ一￣前行彼）弹性模ｉｔ Ｅ，ＩＧＰ％弹性模里＃，／ＧＰｅ２０５．０５１６．７２５８刀２５８乃 ２ｂ． ２Ｆ－－Ａ矩阵的元众为常掀悄况３ｂ、３ｆ －一口矩阵的元素为常数份况 图３ａ， ｂ， ｃ， ｄ显示了铺层顺序不同而几何参２１５．０２１５刀切变梭盆Ｇ，，１ＧＰｓ数和边界条柞都相同的圆柱壳１和２的转速与频率盈６００ １ ６０１沙密度Ｐ／（ｋｇ＇ ｍ３）（对应于祝＝”关系。其中ａ和ｂ分别为圆柱壳１０．２５０．２５泊松比两：和２的后行波曲线：ｃ和ｄ为前行波曲线。从图中９００铺层夹角９ｆ０１可以看到，当转速为零时，两种圆柱壳同一模态对表１中，层合材料１． ２由材料２和３层合而成，应的频率不同，按频率由低到高，对应的的模态周向波数并不是由小到大排列，而是无规律的排列，其铺层顺序和铺层角分别为「０１／９０１１００／９００１，且两种圆柱壳的模态排列顺序不同，可见圆柱壳的［００ ／９００１９００１００］。材料２和３的参数见表２ａ固有频率和模态排列对材料的铺层顺序很敏感。从对于薄壁圆柱壳，其模态可用两个参数来表 图３ａ， ｂ可以看到，低转速时，所有后行波频率的示，即轴向节点数，和周向半节点数ｎｏ图２分别曲线都随转速增加而升高，刀越大，频率增加越快。显示了圆柱壳１对应（ｎｉｌ， ｎ＝１）和（ｍ＝１， ｎ＝２）当转速增加到一定时，后行波频率开始降低，ｎ越两种模态下频率随转速变化的曲线。图中虚线表示小频率开始降低时的转速越小。从图３ｃ， ｄ可以看考虑大变形非线性的结果：实线表示不考虑大变形到，低转速时，前行波频率随转速增加而下降的模非线性〔忽略ｓｏ）的结果；带点实线表示用文献［３ｌ态有。＝１， ｎ＝２， ｎ＝３，其他模态的前行波频率都随中的简化公式得到的结果。由图中可见，每一转速转速增加而增加，且ｎ越大，频率增加越快。当转对应同一模态下的两个频率，其中高的为后行波频速增加到一定时，前行波频率也开始降低，ｎ越小率，低的为前行波频率。当旋转转速不高时，３种频率开始降低时的转速越小。从图３ａ， ｂ， ｃ， ｄ还情况下的结果相吻合。随着转速的增加，虚线曲线发现，随着转速的增加，两种圆柱壳都有一个共同和其他两种曲线分离较大，特别是当转速大到某一的特点，即原来按频率由低到高排列不规则的周向值时，后行波曲线也出现了下降的趋势。而其他两波数趋于从小到大规则排列。种曲线却分离不大，这说明以往的简化公式不适用切变模ｔ Ｇ，｝ＧＰ．切变模Ｉｔ Ｇ，ＩｆＩｒｐ．万方数据万方数据２００２年５月郭丹等：复合材料层合旋转圆柱壳振动特性研究６０响可以忽略；在高转速时，则不能忽略５０ （２）旋转复合材料层合圆柱壳的频率和模态对出 、今０喊转速和材料铺层顺序很敏感。 荃 ，公门｝（ ３）随着转速逐渐增大，旋转圆柱壳按频率由场 仲 九‘０低到高，周向波数也趋于从小到大规则排列。国参 考文献角逮度ｍ／（ｒａｄ＂ａ－Ｔａｒａｎｔｏ Ｒ Ａ， ＬｅｓｓｏｎＭ． Ｃｏｒｉｏｌｉｓ ａｃｃｅｌｅｒａｔｉｏｎ ｅｆｆｅｃｔ ｏｎ（．）后行波（壳１）ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｏｒｔａｔｉｎｇｔｈｉｎ－ｗａｌｌｅｄ ｃｉｒｃｕｌａｒ ｃｙｌｉｎｄｅｒ． Ｊｏｕｒｎａｌｏｆ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ，１９６４． ３１： ７００－７１０己Ｓａｉｔｏ Ｔ， Ｅｎｄｏ Ｍ． ｉＶｂｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｉｆｎｉｔｅ ｌｅｎｇｔｈ ｒｏｔａｔｉｎｇ ｃｙｌｉｎ－、、ｄｒｉｃａｌ ｓｈｅｌｌｓ． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｏｕｎｄ ａｎｄ ｉＶｂｒａｔｉｏｎ， １９８６，铸场仲国－．ｐｔ１０７（１）： １７－２８Ｅｎｄｏ Ｍ， Ｈａｔａｍｕｒａ Ｋ， Ｓａｋａｔａ Ｍ， ｅｔ ａｌ． Ｆｌｅｘｕｒａｌ ｖｉｂｒａｔｉｏｎｏｆ ａ ｔｈｉｎ ｏｒｔａｔｉｎｇ ｒｉｎｇ． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｏｕｎｄ ａｎｄ ｉＶｂｒａｔｉｏｎ，１９８４， ９２（１）： ２６１－２７２角速度。／（口ｄ．日Ｐａｄｏｖａｎ Ｊ． Ｔｒａｖｅｌｉｎｇ ｗａｖｅｓ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ａｎｄ ｂｕｃｋｌｉｎｇ ｏｆ ｏｒｔａｔｉｎｇ（‘）后行波（壳２）６月ａｎｉｓｏｔｒ叩ｉｓ ｓｈｅｌｌｓ ｏｆ ｒｅｖｏｌｕｔｉｏｎ妙ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ． Ｉｎｔｅｒｎｔｉｏｎａｌ脚会月Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｏｌｉｄｓ ａｎｄ Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ， １９７５， １１： １３６７－１３８０主通刃Ｒａｎｄ Ｏ， Ｓｔａｖｓｋｙ丫Ｆｒｅｅ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｓｐｉｎｎｉｎｇ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ、、赞匀刀ｃｙｌｉｎｄｒｉｃａｌ ｓｈｅｌｌｓ． Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｏｌｉｄｓ ａｎｄＵ砚Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ， １９９１， ２８： ８３１－８４３神，目月厦Ｌａｍ ＫＹ ， Ｌｏｙ Ｃ工人ｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｏｒｔａｔｉｎｇ ｌａｍｉｎａｔｅｄ ｃｙｌｉｎ－、１月ｄｒｉｃａｌ ｓｈｅｌｌｓ卜ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｔｈｉｎ ｓｈｅｌｌ ｔｈｅｏｒｉｅｓ． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆａＳｏｕｎｄ ａｎｄ ｉＶｂｒａｔｉｏｎ． １９９５， １８６（１）： ２３－３５角速度ｄ／ｆ ｒｅｄ＂ａ＂ ）（ｃ）前行彼（充１）Ｈｉｎｔｏｎ Ｅ， Ｏｗｅｎ Ｄ． Ｆｉｎｉｔｅ Ｅｌｅｍｅｎｔ Ｓｏｆｔｗａｒｅ ｆｏｒ Ｐｌａｔｅ ａｎｄＳｈｅｌｌｓ． ＵＫ： Ｓｗａｎｓｅａ， １９８４日 ＶＩＢＲＡＴＩＯＮ ＯＦ ＲＯＴＡＴＩＮＧ、、哥ＬＡＭＩＮＡＴＥＤ ＣＹＬＩＮＤＲＩＣＡＬ ＳＨＥＬＬＳ璐律画－２Ｇｕｏ Ｄａｎ Ｃｈｕ Ｆｕｌｅｉ Ｚｈｅｎｇ Ｚｈａｏｃｈａｎｇ（ Ｔｓｉｎｇｈｕａ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ） 角邃度ｍ／（ｒｅｄ．。一’）Ａｂｓｔｒａｃｔ： Ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｏｆ ｔｈｅ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｏｒｔａｔｉｎｇ ｌａｍｉｎａｔｅｄ（ ｄ）前行波（充２）ｃｙｌｉｎｄｒｉｃａｌ ｓｈｅｌｌｓ ａｒｅ ｓｏｌｖｅｄ勿ｕｓｉｎｇ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ．图３壳１和壳２固有频率一转速曲线Ｔｈｅ ｅｆｅｃｔ ｏｆ Ｃｏｒｉｏｌｉｓ ａｃｃｅｌｅｒａｔｉｏｎｓ， ｃｅｎｔｒｉｆｕｇａｌ ｆｏｒｅｃｓ， ｐｒｅ－ｓｔｅｒｓｓｉｎｇ ａｎｄ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｄｕｅ ｔｏ ｌａｒｇｅ ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｅｒ３结论ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ ｉｎ ｔｈｉｓ ｍｏｄｅｌ． Ｂｙ ｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇ ｔｗｏ ｃｙｌｉｎｄｒｉｃａｌ ｓｈｅｌｌｓｗｉｔｈ ｄｉｆｅｒｅｎｔ ｏｒｄｅｒｉｎｇ ｏｆ ｔｈｅ ｌａｍｉｎａｔｅｓ （［ｏ０ １９００ １９００ １００ ｌ ａｎｄ 本文推导了旋转复合材料层合圆柱壳运动方程［００ １９ｏ－／００ １９０ｏ］ ）， ｔｈｅ ｅｆｅｃｔｓ ｏｆ ｏｒｔａｔｉｎｇ ｓｐｅｅｄ， ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ的有限元格式，研究了其固有特性，模型中考虑了ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ａｎｄ ｏｒｄｅｒｉｎｇ ｏｆ ｔｈｅ ｌａｍｉｎａｔｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｎａｔｕｒａｌ ｃｈａｒａｃ－科氏力、离心力、初应力及由于大变形引起的几何ｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｏｆ ｃｙｌｉｎｄｒｉｃａｌ ｓｈｅｌｌｓ ａｒｅ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ ｉｎ ｄｅｔａｉｌ．非线性的影响。通过对两种几何参数和边界条件都Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ： Ｒｏｔａｔｉｎｇ ｌａｍｉｎａｔｅｄ ｃｙｌｉｎｄｒｉｃａｌ ｓｈｅｌｌｓ相同而铺层顺序和铺层角分别为［００１９００／００１９００］和Ｖｉ ｂｒａｔｉｏｎ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ［００／９００１９０ｏ／００〕的圆柱壳的研究，得到以下结论。作者简介：郭丹，女。１９７０年出生，博士后。主耍研究方向为计算结（ １）低转速时，大变形非线性对固有特性的影构动力学与非线性转子动力学．一一－，叫，，．．．．．．．．．．一一一
