泛函分析课程总结论文

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泛函分析课程总结论文

第一部分：知识点体系

第七章：度量空间和赋范线性空间

度量空间：把距离概念抽象化，对某些一般的集合引进点和点之间的距离，使之成为距离空间，这将是深入研究极限过程的一个有效步骤。

泛函分析中要处理的度量空间，是带有某些代数结构的度量空间，例如赋范线性空间，就是一种带有线性结构的度量空间。

一、度量空间的进一步例子 1、度量空间的定义

定义1.1 设X为一个集合，一个映射d：XXR.若对于任何x,y,z属于X，有

1°d(x,y)0，且d(x,y)0当且仅当xy（非负性）； 2°d(x,y)d(y,x)（对称性）；

3°d(x,y)d(x,z)d(z,y) （三角不等式） 则称d为集合X的一个度量，同时称X,d为一个度量空间

（课本第二章第一节中已经讲解了度量空间的定义，第七章第一节接着讲解度量空间，下面介绍六种度量空间。）

2、常见的度量空间 例2.1 离散的度量空间

1,ifxyx,yX，令 d(x,y)设 x是任意的非空集合，对 x 中的任意两点 0,ifxy(X,d)为离散的度量空间。 称

例2.2 序列空间S

令S表示实数列（或复数列）的全体，对S中的任意两点

x(1,2,...,n,...),y(1,2,...,n,...), 1|ii|(S,d)为序列空间。 d(x,y)i令 称

21||i1ii

例2.3 （3）有界函数空间B(A）

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设A是一个给定的集合，令B(A)表示A上有界实值（或复值）函数全体，

d (x,y)sup|x(t)y(t)|对B(A)中任意两点x,y ，定义

tA

例2.4 可测函数空间

设M(X)为X上实值（或复值）的勒贝格可测函数全体，m为勒贝格测度，

m(X)，对任意两个可测函数 f(t)及 g(t)若

|f(t)g(t)|dt|f(t)g(t)|由于 ，所以这是X上的可积函数。令 d(f,g)X11|f(t)g(t)| 1|f(t)g(t)|

例2.5 C[a,b]空间

令C[a,b] 表示闭区间[a,b]上实值（或复值）连续函数全体，对 C[a,b]中任意两点x,y，定义d (x,y)max|x(t)y(t)|atb

例2.6 l.

记lxxkxk2，设xxkl2，yykl2，定义

k122d(x,y)(ykxk)2，

k1则d是l上的距离（可以证明d），l按dx,y成为度量空间.

2212

（在第二章第二节的理论基础上，进一步导入度量空间的相关概念。）

二、度量空间中的极限、稠密集、可分空间 1、收敛点列

xX，使 {xn}是（X，d）中点列，如果存在 limd(xn,x)0设

n{xn}是（X，d）中的收敛点列，x是点列 {xn的极限。}则称点列

收敛点列性质：

（1）在度量空间中，任何一个点列最多只有一个极限，即收敛点列的极限是唯一的。

（2）M是闭集的充要条件是M中任何收敛点列的极限都在M中。 2、收敛点列在具体空间中的意义

1°R为n维欧氏空间，xm(1nm,2,…n,…),m1,2,…,为Rn中的点列，

mmx1,2,…,nRn，不难证明 dxm,x0iim,1in.

m2°Ca,b空间中，设xn及x分别为Ca,b中点列及点，则

dxn,x0xnx一致收敛.

3°序列空间S中，设xm(1

m,2,…n,…),m1,2,…及

mm2

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x1,2,…,n,?分别为S中点列及点，则dxm,x0xm依分量收敛于x.

4°可测函数空间().设fn及f分别为()中的点列及点，则

dfn,f0fnf（可测）.

3、稠密集，可分空间

1°设X是度量空间，E和M是X中的两个子集，令 表示M的闭包，如果 EM，那么称集M在集E中稠密。 4、等价定义：

如果E 中任何一点x 的任何邻域都含有集M中的点，就称M在E中稠密。

xE，有M中的点列 xnx(n){xn}，使得 对任一

2°当E=X时，称集M为X的一个稠密子集。

3°如果X有一个可数的稠密子集时，称X为可分空间。

（根据度量空间和直线上函数连续性的定义，第三节继续导入度量空间中映射连续性的概念。）

三、连续映射

1、度量空间中的连续性

设 X=(X,d)，Y=（Y，d） 是两个度量空间，T是X到Y中的映射, x0X,，存在00d(x,x0) 如果对于任意给定 ，使对X中一切满足

x0连续。 的x，成立 d(Tx,Tx0)则称T在

我们也可以用集显来定义映射的连续性

连续性的极限定义

设T是度量空间(X,d)到（Y，d） 中的映射，那么T在 x0X,xnx0(n)时，必有 TxnTx0(n)连续的充要条件为当

2、连续映射

如果映射T在X的每一点都连续，则称T是X上的连续映射。

{x|xX,TxMY}为集合M在映射T下的原像。 称集合

定理：

度量空间X到Y的映射T是X上的连续映射的充要条件为Y中任意开集M的

1原像 T是MX中的开集。

3.判断映射连续性共有如下四种方法：

1°（定义法）设

x0,d,YY,d是两个度量空间，T是到Y中映射，

，如果对于任意给定的正数，存在正数0，使对中一切满足

的x，有 ，则称T在

x0dx,x0dTx,Tx0连续.

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2°（邻域法）对

Tx0的每个一邻域，必有

x0x0的某个一邻域V使TVU，连续. 到度量空间

其中TV表示V在映射T作用下的像，则称T在

3°（极限法）定理3.1 设T是度量空间,dY,d中的映射，

xx0nx那么T在0连续的充要条件为当n时，必有TxnTx0n.

4°（开集法）定理3.2 度量空间到Y中的映射T是上连续映射的充

1要条件为Y中任意开集的原像T是中的开集.（在这个定理中把开集改

为闭集后定理仍然成立）

四、柯西点列和完备度量空间 1、柯西点列

0，{xn}是X中点列，设 X=(X,d)是度量空间， 如果对任何事先给定的

NN()，使当n，m>N时，必有 d(xn,xm)则称 {xn是}X中的存在正整数

柯西点列或基本点列。

总结：在实数空间当中，柯西点列一定是收敛点列；但是在一般的度量空间当中，柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列一定是柯西点列。 2、完备的度量空间

如果度量空间(X,d)中每一个柯西点列都在(X,d)中收敛，则称(X,d)是完备的度量空间。

例：1、C[a,b]是完备度量空间

2、l是完备度量空间

nR3、是完备的度量空间

2注意：1、Q全体按绝对值距离构成的空间不完备

2、柯西点列不一定收敛，但是度量空间中每一个收敛点列都是柯西点列 3、实系数多项式全体P[a,b]，P[a,b]作为C[a,b]的子空间不是完备度量空间

3、子空间完备性定理

完备度量空间X的子空间M，是完备空间的充要条件是：M是X中的闭子空间。

五、度量空间的完备化

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1、等距同构映射 设(X,d)， X的保距映射T ，(X,d),是两个度量空间，如果存在X到 即 Xd(Tx,Ty)d(x,y)，则称 (X,d) 和 (X,d),等距同构，此时 T称为X 到 上的等距同构映射。

六、压缩映射原理及其应用

作为完备度量空间概念的应用，我们介绍巴纳赫的压缩映射原理，它在许多关于存在唯一性的定理（例如微分方程，代数方程，积分方程等）的证明中是一个有力的工具。

在介绍压缩映射原理前，我们来介绍压缩映射以及不动点 1、压缩映射

设X是度量空间，T是X到X中的映射，如果存在一个数a ，0d(Tx,Ty)d(x,y则称)所有的x,y属于X，成立 T是压缩映射。

几何意义：压缩映射就是使映射后距离缩短a倍的映射。 2、不动点

设X为一个集合，T是X到X的一个映射，如果 使得 x*X，Tx*x*，则称x*为映射T的不动点。 3、压缩映射定理

设X是完备的度量空间，T是X上的压缩映射，那么T有且只有一个不动点。 注意：

a.完备度量空间中的压缩映射必有唯一的不动点。

b.完备性是保证映射的不动点的存在，至于不动点的唯一性，并不依

赖于X的完备性。

xnx0(n)必有 压缩映射具有连续性，即对任何收敛点列

TxnTx0(n)

七、线性空间

1、定义：设X是一非空集合，在X中定义了元素的加法运算和实数（或复数）与X中元素的乘法运算，满足下列条件：（一）关于加法：(1)交换律（2）结合律（3）有零元（4）有负元，（二）关于数乘：（1）分配律（2）结合律（3）xX，均有1xx，满足这样性质的集合X称为线性空间。

n例：1、R按自身定义的加法和数乘成线性空间

2、C[a,b]按自身定义的加法和数乘成线性空间 3、空间lp

(p0)按自身定义的加法和数乘成线性空间

八、 赋范线性空间和巴拿赫空间 1、赋范线性空间

xX，有一个确定的实设X是实（或复）的线性空间，如果对于每个向量

数，记为 x与之对应，并且满足： 1° 且 x0x0等价于x=0

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2° xx其中 a 为任意实（或复）数；

3° xyxy,x,yX则称 x为向量 x 的范数，称X按范数成为赋范线性空间。

注：范数类似于普通向量的长度

2、关于极限的定义（依范数收敛）

xX，使 ||xnx||0(n){xn}是X中一点列，如果存在 设

xnx(n){xn}依范数收敛于 x ，记为 则称 或 limxnxn

3、赋范线性空间的性质

1°赋范线性空间不仅是线性空间，也是一个度量空间。

d(x,y)||xy||,(x,yX),可以验证 的d（x，y） 是X上的距如果令

离。

{xn}依范数收敛于 x 等价于 {xn}按距离收敛于x

||x||导出的距离。 称 d（x，y）为由范数

d(xy,0)d(x,y)度量和线性结构之间的协调性： d(x,0)||d(x,0)

||x||是 x 的连续函数。 2°范数

4、巴拿赫空间及常用例子

完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间。 （1）欧式空间 ，定义 x(1,2,...,n)RnRn，对每个

||x|||1|2|n|2欧式空间 Rn按上述范数成Banach空间。

xC[a,b ]||x||max|x(t)|（2）空间，对每个 ，定义

atb空间 C[a，b] 按上述范数成Banach空间。 （3）空间 x(1,2,...)l，定义 ||x||sup|j|l，对每个

j空间 l按上述范数成Banach空间。

第八章 有界线性算子和连续线性泛函

一、有界线性算子和连续线性泛函 1、线性算子和线性泛函的定义

设X和Y是两个同为实（或复）的线性空间，D是X的线性子空间，T为D到

Y中的映射，如果对

x,yD及数，有T(xy)TxTy，

T(x)Tx，则称T为D到Y中的线性算子，其D称为T的定义域，记

为D(T)，TD称为T的值域，记为R(T)，当T取值于实（或复）数域时，

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就称T为实（或复）线性泛函。

2、有界线性算子和连续线性泛函 设X和Y是两两个赋范线性空,T:DTY是线线性算,如果存在常数c,使得成立 Txcx,xDT,则称T是DT到Y中的有界线的有界.否则,称为为无线性算子. 特别地,有界线界线性泛函是特有界线界线性.

3、相关定理

定理1 设T是线性算子,则T有界的充分必要条件是T连续

定理2 设f是X上的线性泛函,那么f在X上连续的充分必要条件是Nf是X中的闭子空间.

4、有界线性算子的范数（算子范数）

设X,Y是两个赋范线性空间,T:DTXY是线性算子,称 Tsupx0xDTTxx

为算子T在DT上的范数.显见,当T时,则有 TxTx,xDT.

二、有界线性算子空间和共轭空间

1、有界线性算子全体所成空间XY设X和Y是两个赋泛线性空间， 以表示由X到Y中有界线性算子全体。当A和B属于论数域中的数，定义

XY， a 是所讨

XY中加法运算及数乘运算如下

xX,ABxAxBx,AxAx

︳定理1：当Y是巴拿赫空间，

XY也是巴拿赫空间

二、共轭空间

1、共轭空间的定义

一般，设X是赋范线性空间，如果X中定义了两个向量的乘积，并且满足

xyxy,x,yX 则称X是赋范代数，当X完备时，则称X的共轭空间

定理2：任何赋范线性空间的共轭空间是Banach空间 2、保距算子，同构映射的定义

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设X和Y是两个赋范线性空间，T是X到Y中的线性映射，并且对所有xX 有 Txx ，则称T是X到Y中的的保距算子，如果T又是映射到Y上的则称T是同构映射，此时X与Y同构。

例：1、l的共轭空间为l有界序列全体，即(l1)' 2、xnX,xX,且xn其中

1l，但(l)'l1

x,fX',则f(xn)f(x),f连续

3、设AB(ZY),BB(XZ)，令(AB)xA(Bx)，

xX，则AB为线性算子

4、lp(1p)的共轭空间为l2'q，其中1p1，(lq)'lp，

1q当p2时，(l

)l2

第二部分：

泛函分析知识点在其他学科或领域的应用

一、泛函分析在力学和工程中的应用

直交投影法

该方法把调和方程或泊松方程Dirichlet问题的解空间表达成两个直交子空间之和：调和函数类和边界上为零的函数类。Minhlin在讨论方截面杆的Saint-Venant扭转问题时，用本方法详细给出方形域中泊松方程Dirichlet问题之解，并证明所算得的最大剪应力之精度胜于Ritz法。此外还给出一般三维域中同一问题的解以及本方法对一般方程Au=0（其中A是下有界、正线性椭圆微分

]u0的Dirichlet问题。他指出算子）的应用。Maurin分析了微分方程[+c（x）直交投影法和Ritz-Trefftz法之间的密切关系。以后Rafalski把之用于瞬态热传导、瞬态热弹性和线性粘弹性，证实了Maurin所发现的两种方法的关系。Bessel不

(f,g)(f,f)等式中的等号，对应于f等于它在｛ｇｉ｝生成空间中的直

n2ii1交投影的情形。Klyot-Dashinsky曾把之应用于平面有势问题，以及更一般的各项

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异性板的变形方程。Nowinski和Cho给出由电流加热的长杆热弹问题的解。

Cauchy-Schuwarz和Bessel不等式——超圆方法

这两个不等式因几何意义明显易于求解具体问题。Diaz及其同事较早地把这些不等式应用于弹性力学，他们证明Rayleigh-Ritz和Trefftz方法可由Cauchy-Schuwarz不等式给出。Rayleigh-Ritz近似解相当于直交三角形之斜边，精确解为直角边；而Trefftz近似解相当于直交三角形的直角边，精确解为斜边。从而，这两个近似解给出线性编制问题精确解的上下界限。最近，Nowinski利用Cauchy-Schuwarz不等式研究各向异性板弯曲的广义双调和边值问题解的界限和各向异性杆的扭转刚度。数值结果表明精确度良好。Stumpf利用直和分解

HH'H''对各类弹性量尤其薄板理论中的弹性量建立点状界限。

二、不动点原理在解决线性方程组解的存在问题时的应用

对

方

程

组

AX+b=X

，

，

其

中

Xx1,x2,...,xnRn,AaijTnn,Bb1,b2,...,bn。对in取范数

T。以

下使用Banach不动点原理讨论此方程组在系数满足什么条件时，存在惟一解。 定义i上的映射T：TX＝AX+b，显然 。可验证i在Xnnn2下为一个B a n a c h空间。以下讨

论方阵A须满足什么条件时使得T压缩：对X1,X2i，且有Y1＝T(X1),Y2=T(X2)。容易验证：

。由此可知T为i下的压缩映射的充分条件为：

。从而T有惟一不动点X﹡＝（X﹡1，……，X﹡n）T，使得AX﹡+b=X﹡。

n三、压缩映射原理的应用

1°压缩映射原理在求方程解的存在性方面的应用 在求方程解存在性问题方面，主要是通过在度量空间中作自身到自身的映射，然后根据定义法和压缩映射定理，证明出方程解唯一存在.如下面一道证明题：

例3.1 设存在常数m,,fx在

R1fx,y：axb,y上连续，且处处存在y，同时

，证明对于

0mfyx,yfx,y0在

a,b上有唯一的连续解.

2°应用压缩映射原理，可以证明常微分方程的解的存在定理 例3.2 设于y满足

fx,y在闭矩形区域

Dx,yxx0,yy0b上连续且关

Lipschitz

x,y1,x,y2D条件，即有常数L0使 有

fx,y1fx,y2

dyfx,yLy1y2xh,x0h上dx，则方程 （9），在09

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存在唯一的满足初始条件

yxx

0b10hmin,,y0yxL， 的解，其中

maxfx,y.

在这个问题的证明上，主要是证明积分方程

xy0ft,tdtx0x在

x0h,x0h上有唯一的连续解即可.而证明这个主要是通过作压缩映射，再由压缩映射

定理得出积分方程有唯一的连续解.

总结语

泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科。是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论。它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。主要内容有拓扑线性空间等。泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。

参考文献：

【1】 陆章基，泛函分析在力学和工程中的应用，复旦大学.；2007（02）

【2】 王文静，泛函分析的理论在数学其他学科中的点滴应用；科学纵横，2009年第十期 【3】 杜鸿. 压缩映射原理及其应用【J】. 丽水学院学报. 2007（02） 【4】 程克玲. 压缩映射原理及其应用【J】. 安顺学院学报. 2012（02）

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