高中数学竞赛函数练习题1

（幂函数、指数函数、对数函数）

一、选择题

1．定义在R上的任意函数f(x)都可以表示为一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和，若f(x)=lg(10x+1)，则

A．g(x)=x, h(x)=lg(10x+10-x+2)

11[lg(10x+1)+x], h(x)=[lg(10x+1)－x] 2211C．g(x)=x, h(x)= lg(10x+1)－x

2211D．g(x)=－x, h(x)= lg(10x+1)－x

22B．g(x)=

2．若(log23)x－(log53)x≥(log23)-y－(log53)-y，则

A．x－y≥0 B．x+y≥0 C．x－y≤0 D．x+y≤0 3．已知f(x)=ax2－c满足－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，那么f(3)应该是 A．7≤f(3)≤26

B．－4≤f(3)≤15

1023C．－1≤f(3)≤20 D．－

3835≤f(3)≤ 334．已知f(n)=logn(n+1) (nN*且n≥2)，设

logn21f(n)100=

q (p,qN*且(p,q)=1)，则p+q= pA．3 B．1023 C．2000 D．2001 5．如果y=log56•log67•log78•log89•log910，则 A．y(0,1) B．y=1 C．y(1,2) D．y[2,3]

22

6．若实数a, x满足a>x>1，且A=loga(logax)，B=logax, C=logax，则 A．A>C>B B．C>B>A C．B>C>A D．C>A>B 7．设a>0,a≠1，函数f(x)=loga|ax2－x|在[3,4]上是增函数，则a的取值范围是

1111≤a< D．a>1或A．a>1

B．a>1或

C．a>1或

211≤a< 64A．－

23 24B．－

5 6C．－

5 2D．－

1 2二、填空题

4xb9．设f(x)=lg(10+1)+ax是偶函数，g(x)=是奇函数，则a+b的值为 。 x2x

三、解答题

1

10．已知奇函数f(x)满足f(x+2)=f(－x)，且当x(-1,0)时，f(x)=2x。 ①证明：f(x+4)=f(x)；②求f(log118)的值。

211．解方程lg(4x+2)=lg2x+lg3。

2x1　x012．设f(x)=1，解不等式f(x)>1。

2x　　　x013．设f(x)=

122x，求f(－5)+f(－4)+„+f(0)+„+f(5)+f(6)。

14．求函数f(x)=3•4x－2x (x≥0)的最小值。

15．设函数f(x)=|lgx|，若0f(b)，证明：ab<1。

16．设不等式2(log1x)2+9log1x+9≤0的解集为M，求当xM时，函数

22xx)(log2)的最大值、最小值。 28ty17．已知实数t满足关系式loga3=logt3 (a>0,a≠1)

aaf(x)=(log2

①令t=ax，求y=f(x)的表达式；

②若x(0,2)时，ymin=8，求a和x的值。 18．解不等式|

31+2|>。

2log1x219．解不等式log2x1+

1log1x3+2>0。 2235, logcd=，若a－c＝9，求b－d。 2420．已知a、b、c、d均为正整数，且logab=21．已知函数f(x)=ln[3－3x

(a22a2)x]的定义域为(0,+∞)，求实数a的取值范围。

22．解方程log5(3x+4x)=log4(5x－3x)。

12x(n1)xnxa23．设f(x)=lg，其中a是实数，n 是任意给定的自然数，且n≥2。

n如果f(x)当x(－∞,1)时有意义，求a的取值范围。

24．f是定义在(1,+∞)上且在(1,+∞)中取值的函数，满足条件：对任何x>1,y>1及u>0,v>0,都有f(x•y)≤f(x)

u

v

14u•f(y)14v成立，试确定所有这样的函数f。

2

函数的最值

一、选择题

1．如果在区间[1,2]上，函数f(x)=x2+px+q与g(x)=x+f(x)在该区间上的最大值是 A．4+

1在同一点取相同的最小值，那么2x132+34 2D．以上答案都不对

1132+34 2B．4－

532+34 2C．1－

2．已知x、y都在区间(－2,2)内，且xy=－1，则函数u=

49+的最小值是 224x9yD．

A．

8 5B．

24 11C．

12 712 523．已知a、b、cR*，则f(x)=x2a+(cx)b的最小值是

A．a+c2b C．

B．c2a+b D．c(ab)

222c+a+b 2二、填空题

4．f(x)=|x2－a|在区间[－1,1]上的最大值M(a)的最小值为 。

5．函数y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5在区间[－3,3]上的最小值是 。 6．若不等式|x－4|+|x－2|+|x－1|+|x|≥a对一切实数x成立，则a的最大可能值是 。 三、解答题

1x,2]上，函数f(x)=－x2+px+q与g(x)=2在同一点取得相同的最大值，求2x11f(x)在区间[,2]上的最小值。

27．在区间[

8．已知定义在R上的函数f(x)对任意实数对(x,y)恒有f(x)+f(y)=f(x+y)，且当x>0时，f(x)<0，又f(1)=－

2。 3ax+2的最小值。 xxa①求证：f(x)为奇函数；②求证：f(x)在R上是减函数；③求f(x)在[－3,6]上的最值。 9．已知a为正常数，x>0，求函数y=x+

10．已知f(x)=ax2+bx+c，其中aN*,bN,cZ。

①若b>2a，且f(sinx) (xR)的最大值为2，最小值为－4，试求f(x)的最小值；

②若对任意实数x，不等式4x≤f(x)≤2(x2+1)恒成立，且存在x0，使得f(x0)<2(x02+1)成立，试求c的值。

3

x44x317x226x10611．求函数y=的最值，其中|x|≤1。 2x2x712．已知f(x)=lg(x+1), g(x)=2lg(2x+t) (tR是参数)，如果x[0,1]时，f(x)≤g(x)恒成立，求参数t的取值范围。

3x22xn13．已知函数f(x)=log2 (m,nR)。 2mx1①若mN*,xR且f(x)的最大值为2，最小值为1，求m,n的值； ②若n=－1，且f(x)的值域为R，求m的取值范围。

14．求函数f(x)=x43x26x13－x4x21的最大值。 15．设f(x)=－x2+2tx－t, x[－1,1]，求[f(x)max]min。

16．设f(x)=x2+px+q (p,qR)。若|f(x)|在[－1,1]上的最大值为M，求M的最小值。 17．设关于x的一元二次方程2x2―tx―2=0的两个根为。 ①若x1、x2为区间]上的两个不同的点，求证：4x1x2－t(x1+x2)－4<0； ②设f(x)=

4xt，f(x)在区间]上的最大值和最小值分别为fmin(x)和fmax(x)，g(t)=fmax(x)x21－fmin(x)，求g(t)的最小值。

18．设实数x、y满足4x2－5xy+4y2=5，设S=x2+y2，求

1Smin+

1Smax。

19．若函数f(x)=－

1213x+在区间[a,b]上的最小值为2a，最大值为2b，求[a,b]。 2220．实数a,b,c和正数使得f(x)=x3+ax2+bx+c, f(x)=0有三个实数根x1、x2、x3，且满足：

12a327c9ab①x2-x1=；②x3>(x1+x2)；求的最大值。 32

4

函数的方程迭代

一、填空题 1．已知f(x)+2f(

1)=3x，则f(x)的解析式为 。 x2．已知f(x)=ax2+bx+c，若f(0)=0且f(x+1)=f(x)+x+1，则f(x)= 。 二、解答题

3．设f(x)=x2+px+q, A={x|x=f(x)}, B={x|f[f(x)]=x}。 ①求证：AB；②如果A={－1,3}，求B。

4．已知f(x)是定义在R上的函数，且f(1)=1，对任意x∈R都有下列两式成立： ①f(x+5)≥f(x)+5；②f(x+1)≤f(x)+1。 若g(x)=f(x)+1－x，求g(6)的值。 5．已知二次函数f(x)=ax2+bx (a,b是常数，且a≠0)满足条件：f(x－1)=f(3－x)，且方程f(x)=2x有等根。

①求f(x)的解析式；

②是否存在实数m，n (m6．定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足：①f(2)=1；②f(xy)=f(x)+f(y)，其中x,y为任意实数；③任意正实数x,y满足x>y时，f(x)>f(y)。试求下列问题： （1）求f(1), f(4)；

（2）试判断函数f(x)的单调性；

（3）如果f(x)+f(x－3)≤2，试求x的取值范围。

7．已知函数f(x)=6x－6x2，设函数g1(x)=f(x), g2(x)=f[g1(x)], g3(x)=f[g2(x)], „, gn(x)=f[gn-1(x)], „。

①求证：如果存在一个实数x0，满足g1(x0)=x0，那么对一切n∈N*, gn(x0)=x0都成立； ②若实数x0，满足gn(x0)=x0，则称x0为稳定动点，试求所有这些稳定不动点。

③设区间A=(-∞,0)，对于任意x∈A，有g1(x)=f(x)=a<0, g2(x)=f[g1(x)]=f(0)<0，且n≥2时，gn(x)<0。试问是否存在区间B (A∩B≠)，对于区间内任意实数x，只要n≥2，都有gn(x)<0？ 8．对于函数y=f(x)，若存在实数x0，满足f(x0)=x0，则称x0为f(x)的不动点。已知F1(x)=f(x), F2(x)=f[F1(x)], F3(x)=f[F2(x)], „, Fn(x)=f[Fn-1(x)] (n∈N*,n≥2)。

①若f(x)存在不动点，试问F2(x), F3(x), „,Fn(x)是否存在不动点？写出你的结论，并加以证明。

②设f(x)=2x-x2。求使所有Fn(x)<0 （n∈N*,n≥2）成立的所有正实数x值的集合。 9．设函数f(x)的定义域是R，对于任意实数m,n，恒有f(m+n)=f(m)·f(n)，且当x>0时，0①求证：f(0)=1，且当x<0时，有f(x)>1； ②判断f(x)在R上的单调性；

③设集合A={(x,y)|f(x2)·f(y2)>f(1)}，集合B={(x,y)|f(ax-y+2)=1,a∈R}，若A∩B=，求a的取值范围。

5

10设p为奇素数，试求

112+=的正整数解。 xyp11求方程组xz2yt3的整数解。

xtyz112求方程2x2y2+y2=26x2+1201的正整数解(x,y)。 13求x2+y2=328的正整数解。 14解方程4x2－20[x]+23=0。 15求函数f(x)=[x]+[2x]+[

5x]+[3x]+[4x]在0≤x≤100上所取的不同的整数值的个数。 310n16当n是怎样的最小自然数时，方程=1989有整数解？

x17设S=1+

123+

13+„+

1980100，求[S]。

18已知S=123332006，求[S]。

3单元练习题

1、 若{a,1}{1,2,a}{1,2,4,a2}，求a的值。

2、 已知集合{0,－1,2a}={a－1,－|a|,a+1}，求实数a的值。 3、 集合{x|－1≤log110<－

x1, x∈N}的真子集的个数是 。 24、 已知集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，求该集合具有下列性质的子集个数：每个子集至少含

有2个元素，且每个子集中任意两个元素的差的绝对值大于1。

1220044x5、 设f(x)=x，求f()+f()+„+ f()。

200520052005426、 函数f(k)是定义在正整数集N上，在N中取值的严格增函数，且满足条件f(f(k))=3k，

试求f(1)+f(9)+f(96)的值。、

7、 设函数y=f(x)的定义域为[0,1]，试求G(x)=f(x+a)+f(x－a)的定义域。

8、 设f(x)是定义在实数集上的周期为2的函数，且是偶函数，已知当x∈[2,3]时，f(x)=x，

求当x∈[－2,0]时，f(x)的解析式。

9、 设函数f(x)=ax2+8x+3(a<0)，对于给定负数a，有一个最大正数l(a)，使得有整个区间

[0,l(a)]上，不等式|f(x)|≤5都成立。问a为何值时，l(a)最大？求出这个最大的l(a)，证

6

明你的结论。

10、求函数y=1998x+x1997的值域。

11、函数f(x)=x2+3ax－2a+1在区间[0,1]上的最小值为0，求a的值。

12、 已知函数f(x)=x2－2x+2, x∈[t,t+1]的最小值为g(t)，试写出函数s=g(t)的解析式，并画

出函数的图象。

13、 函数f定义在实数集上且对于一切实数x满足等式：f(2+x)=f(2－x)和f(7+x)=f(7－x)，

设x=0是f(x)=0的一个根，记f(x)=0在区间[－1000,1000]中的根的个数为N，求N的最小值。

14、 已知a、b、c是实数，函数f(x)=ax2+bx+c, g(x)=ax+b，当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1。①

证明：|c|≤1；②证明：当－1≤x≤1时，|g(x)|≤2；③设a>0，当－1≤x≤1时，g(x)的最大值为2，求f(x)。

15、 已知x,y>10, xy=1000，求(lgx)(lgy)的取值范围。

16、 设f(x)=2+logx25―logx264―logx38，试确定x的取值范围，分别使f(x)大于零，小于零，等于零。

17、 设定义域为R的函数f(x)满足下列条件：①对于任意实数x，均有f(x)≥2；②对于任

意实数x1、x2，均有f(x1+x2)≤f(x1)+f(x2)。试证：对于任意实数x1、x2，均有lgf(x1+x2)≤lgf(x1)+lgf(x2)。

18、 求方程lg2x―[lgx]―2=0的实数根的个数。 19、 设x、y、z为非负的实数，且满足方程4的最大值与最小值的积。 20、 方程

5x9y4z－6825x9y4z+256=0，求x+y+z

lg2x=2中，a为何实数时，方程无解？有一解？有两解？

lg(xa)21、 已知a>0, a≠1，试求方程loga(x－ak)=loga2(x2－a2)有解时k的取值范围。 22、 解方程log4x4x25x2=

1。 223、 求方程2w+2x+2y+2z=20.625的满足条件w>x>y>z的整数解。

24、 设、分别是方程log2x+x－3=0和2x+x－3=0的根，求和log2+2。 25、 解方程lg2x－[lgx]－2=0。 26、 已知实数x满足方程x=x11+1，求[2x]。 xx109327、 求正整数31的末两倍数字。

103

7

28、 前1000个正整数中可以表示成[2x]+[4x]+[6x]+[8x]的正整数有多少个？

8

答案

幂函数、指数函数、对数函数

1、C；2、B；3、C；4、A；5、C；6、B；7、B；8、D；9、10、分析：①证明：∵f(x+2)=f(－x)f(x+2)=－f(x) ∴f(x+4)=－f(x+2)=－[－f(x)]=f(x) ②f(log118)=－f(log218)=－f(log218－4)=－f(log2

21； 2988)=f(log2)= 89911、分析：∵lg(4x+2)=lg2x+lg3 lg(4x+2)=lg(3•2x)22x－3•2x+2=02x=1或2x=2x=0或

x=1

x0x012、分析：∵f(x)>1x或1x<－1或x>1

2211x1∴所求不等式的解集为(―∞,―1)∪(1,+∞)。 13、分析：∵f(－x)+f(x+1)=

12x2+

12x12=

22x122x2=

2 2∴f(－5)+f(－4)+„+f(0)+„+f(5)+f(6)=32。

1210004x学生思考：设f(x)=x，求f()+f()+„+f()。

10011001100142分析：x+y=1f(x)+f(y)=1 14、分析：∵f(x)=3•4x－2x=3(2x－∵x≥02x≥1

∴当2x=1x=0时，f(x)min=2 15、分析：∵f(x)=|lgx|=121)－ 612lgx　　　x1

0x1lgx　　∵0f(b)

∴a、b不能同时在区间[1,+∞)上 ∵0∴若b(0,1)，显然ab<1

若b[1,+∞)，则f(a)>f(b)－lga>lgblg(ab)<0ab<1 16、分析：∵2(log1x)2+9log1x+9≤0―3≤log1x≤―

22233≤log2x≤322≤x22 9

≤8

∴M=[22,8]

xx)(log2)=(log2x－1)(log2x－3)=(log2x－2)2－1 283∵22≤x≤8≤log2x≤3

2∵f(x)=(log2

∴当log2x=2x=4时，ymin=－1 当log2x=3x=8时，ymax=0。 17、分析：①∵loga

∵t=axx=logat

ty=loglogat－3=logty－3logta ta3a3logay3x23x3－logay=x2－3x+3y=a(x≠0) xx33②令u= x2－3x+3=(x－)2+(x≠0)，则y=au

24∴x－3=

∵x(0,2]时，ymin=8

∴当0当a>1时，y=au有最小值，则u=(x－

323)+在(0,2]上应有最大值，但u在(0,2]24323)+在(0,2]上应有最小值 2433∵当x=时，umin=ymin=a4

24∴a=8a=16

3433 233311118、分析：|+2|>+2<－或+2>log2x<0或log2x>2或

2log1x22log1xlog1x∴a=16, x=

2222704或1219、分析：∵log2x1+令t=log2x1 (t≥0)

10

13log1x3+2>0log2x1－log2x+2>0 222∴t－

321t+>0 (t≥0)0≤t<10≤log2x1<11≤log2x<22≤x<4 2235∴所求不等式的解集为[2,4)

35bd20、分析：∵logab=, logcd=b=a2, d=c4a=()2, c=()4 (*)a|b, c|d

24acbd2b512bdbdbdaac∵a－c＝9()2－()4=9[－()2][+()2]=92

2aaacccdbd9422cac∴代入(*)得：a25c16,b－d=93。

b125d32(a22a2)x21、分析：依题意得： 3－3x

(a22a2)x>03>3x

x>(a2－2a－2)x a2－2a－2<1

 a2－2a－3<0－1∴所求实数a的取值范围(－1,3)。 22、分析：设y= log5(3x+4x)=log4(5x－3x) ∴5y=3x+4x, 4y=5x－3x ∴5y+4y=5x+4x

∵f(t)= 5t+4t是单调递增函数 ∴f(y)=f(x)y=x

3x4x)+()=1 553434∵g(x)= ()x+()x为单调递减函数且()2+()2=1

5555∴5x=3x+4x(

∴x=2是原方程的唯一解。

学生思考：解方程10x+11x+12x=(365)。

23、分析：求a的取值范围，只需分离参数a与变量x，化成a>g(x)。 依题意得：1+2x+3x+„+(n－1)x+nxa>0a>－[(∵－(

1x2xn1x

)+()+„+()] (x≤1) nnnkx

)，当k=1,2,3,„,(n-1)时，在(－∞,1]上都是增函数 n12n1x

∴g(x)=－[()x+()x+„+()]在(－∞,1]上都是增函数

nnn

11

12n1n1++„+)=－ nnn2n1n1∴a>－，即a的取值范围为(－,+∞)。

22∴g(x)max=g(1)= －(

24、分析：取x=y=a,u=v=b，则对任何a>1,b>0有f(a)≤f(a)令a=10, 2b=lgx，则对任何x>1有f(x)≤f(10)1lgx2b

12b

11再令a=x, 2b=，则对任何x>1有f(x)≥f(10)lgx

lgx∴满足条件f只能是f(x)= f(10)1lgx

1lgx令f(10)=c (c为大于1的任何实数)，则f(x)=c经检验知：f(x)=c1lgx (c>1)

(c>1)为所求的函数。

函数的最值

1、B；2、D；3、D；4、

1；5、4；6、5； 27、解析：∵g(x)=

x=x211 21x1x≤

1 2∴当x=1时，gmax(x)=∴f(x)=－(x－1)2+

1 21。 2∴当x=2时，fmin(x)=－

8、解析：①令x=y=0，则f(0)=0，令y=－x得f(x)+f(－x)=f(0)=0f(－x)=－f(x)f(x)为奇函数

②设x1、x2R且x1>x2，则x1－x2>0f(x1－x2)<0

∴f(x1)－f(x2)=f[(x1－x2)+x2]－f(x2)= f(x1－x2)+f(x2)－f(x2)= f(x1－x2)<0 ∴f(x)为减函数

③由②知fmin(x)=f(－3)=－f(3)=－[f(2)+f(1)]=－3f(1)=2；fmax(x)=f(6)=6f(1)=－4。 9、解析：∵y=x+

axa+2= x++xxax1axx

12

∴令t= x+

a xa≥2a x∵a为正常数，x>0 t= x+∴y=t+ (t≥2a) ∴①当01t11时，t+≥2当t=1≥2a时，ymin=2； 4t②当a>

111时，t≥2a≥1, y=t+是增函数当t=2a时，ymin=2a+； 4t22b<－1f(x)在[-1,1]上的增函数 2a10、解析：①∵b>2a－∵|sinx|≤1

∴fmin(sinx)=f(－1)=－4, fmax(sinx)=f(1)=2 a－b+c=－4, a+b+c=2 b=3 ∴a=1, c=－2 ∴f(x)=x2+3x－2=(x+

3217)－ 24∴当x=－

317时，fmin(x)=－。 24②令x=1代入4x≤f(x)≤2(x2+1)得f(1)=4a+b+c=4 ∵4x≤f(x)ax2+(b－4)x+c≥0恒成立

∴∆≤0(b-4)2-4ac≤0(-a-c)2-4ac≤0(a-c)2≤0a=c ∵bNa+c≤42c≤4c≤2c=1或c=2 经检验c=2不合题意，应舍去 ∴c=1

13

64x44x317x226x1062

11、解析：∵y==(x+2x+7)+－1 22x2x7x2x7设u= x2+2x+7=(x+1)2+6[6,10] ∵y=u+

64－1在[6,8]上是减函数；在[8,10]上的增函数 u47 3∴ymin=15；ymax=

x10x1012、解析：∵f(x)≤g(x)2xt0t2x

x1(2xt)2t2xx1∴x[0,1]时，f(x)≤g(x)恒成立 x[0,1]时，t≥－2x+x1恒成立

设h(x)= －2x+x1，令u=x1x=u2－1 (1≤u≤2)

∴h(x)=－2(u－

1217)+ 48∴当u=1x=0时，hmax(x)=1 ∴t的取值范围为[1,+∞)。

3x22xn2

13、解析：①令t=(3-mt)x+2x+n-t=0 2mx1∵∆≥04－4(3-mt)( n-t)≥0mt2－(3+mn)t+3n-1≤0 ∵2≤t≤4

9m4m2(3mn)3n10m18∴或(不符合题意，舍去) 16m4(3mn)3n10n3n103

14

3x22x12

②∵t=(3-mt)x+2x-1-t=0 2mx1∴∆≥04-4(3-mt)( -1-t)≥0mt2-(3-m)t-4≤0 (1)当m=0时，t≥-

4，符合题意 3(2)当m≠0时，要使函数的值域包含(0,+∞)，只须m<0时，方程mt2-(3-m)t-4=0有两个负根

m02[(3m)]4m(4)0∴3m0m≤-9或-1≤m<0 m40m∴所求m的联欢会范围为(-∞,9]∪[-1,0]。 14、解析：∵f(x)=

x43x26x13－x4x21=(x3)2(x22)2－

x2(x21)2

∴函数y=f(x)的几何意义是抛物线y=x2上的点P(x,x2)到两定点A(3,2), B(0,1)的距离之差 ∴|PA|－|PB|≤|AB|=10

15、解析：∵f(x)=－x2+2tx－t=－(x－t)2+t2－t, x[－1,1] ①当t≤－1时，f(x)max=f(－1) ②当－115

3t1　　t12∴f(x)max=tt　　　1t1

t1　　　t1∴[f(x)max]min=－16、解析： 17、解析：

18、解析：∵x=y=0不满足4x2－5xy+4y2=5 ∴S≠0

1。 4x2y2∵S=x+y1=

S2

2

x2y2∴4x－5xy+4y=54x－5xy+4y=5•

S2

2

2

2

不妨设y≠0

∴(4S－5)(

x2x)－5S•+(4S－5)=0 yy∵

xR y10103113≤S≤≤≤ 13310S10∴∆≥0(5S)2－4(4S－5)2≥0

∴

1Smin+

1Smax=

3138+= 1010519、解析：分三种情况讨论

16

①若0≤a∴f(a)2ba1

f(b)2ab3②若a<0a217f(0)2bf(0)2b∴或 13f(a)2af(b)2ab4③若af(a)2a∴无解

f(b)2b∴所求的区间为[1,3]或[―2―17,20、解析：∵f(x3)=0

∴f(x)=f(x)-f(x3)=(x-x3)[x2+(a+x3)x+x32+ax3+b]

∴x1,x2是方程x2+(a+x3)x+x32+ax3+b=0的两根x1+x2=-(a+x3), x1x2=x32+ax3+b ∵x2-x1=(a+x3)-4(x32+ax3+b)=3x32+2ax3+2+4b-a2=0 x3=

13]。 41(-a+4a212b32) (*)且4a2-12b-3≥0 (**) 3a 3注意：由条件①②可得x3>-

a3a2a231∵f(x)=x+ax+bx+c=(x+)-(-b)(x+)+a+c-ab

3327333

2

123a3a2a∵f(x3)=0ab-a-c=(x3+)-(-b)(x3+) (***)

327333

17

11由(*)得x3+a=

33234a12b3=

322a22 b34a2令p=-b

3232321由(**)(***)得p≥且ab-a-c=

32749p24(p-2)

令y=

p24

∴y≥0且

12323232

ab-a-c=y(y-)

32749∵y(y2-

3212333121)+=y-xy+=(y-)2(y+)≥0 44442123333332a327c9ab333

∴ab-a-c≥-2a+27c-9ab≤≤

32718223取a=23, b=2, c=0, =2，则f(x)=x3+23x2+2x有艰-3-1, -3+1, 0显然假设条件成立且

2a327c9ab133=(48-36)= 33823∴(

2a327c9ab32-x x)max=

33 2函数的方程迭代

1、f(x)=

18

2、f(x)=

121x+x 223、解析：①设x0是集合A中的任一元素，即有x0∈A

∵A={x|x=f(x)}

∴x0=f(x0)f[f(x0)]=f(x0)=x0x0∈B ∴AB

②∵A={－1,3}={x|x2+px+q=x}={x|x2+(p-1)x+q=0}

13(p1)p1∴f(x)= x2-x-3 (1)3qq3∵f[f(x)]=xx4-2x3-6x2+6x+9=0(x2-2x-3)(x2-3)=0x=-1或3或3或-3 ∴B={-1,3,-3,3}。

4、解析：反复利用②

∵f(x+5)≤f(x+4)+1≤f(x+3)+2≤f(x+2)+3≤f(x+1)+4≤f(x)+5 (*) ∴f(x+5)=f(x)+5

∴由(*)可以得到f(x+1)=f(x)+1 ∴g(6)=f(6)+1-6=[f(1)+5]-5=f(1)=1

5、解析：①∵方程f(x)=2x有等根⊿＝0b=2 ∵f(x－1)=f(3－x)f(x)=f(2-x)图象的对称轴为x=-∴f(x)=-x2+2x

②f(x)=-(x-1)2+1≤1 ∴4n≤1n≤

b=1a=-1 2a1 4∵抛物线y=-x2+2x的对称轴为x=1 ∴n≤

1时，f(x)在[m,n]上为增函数 4若满足题设条件的m,n存在，则

f(m)4mm0或m2 f(n)4nn0或n2∵m1 4∴m=-2,n=0，这时定义域为[-2,0]，值域为[-8,0] ∴存在m=-2,n=0，满足条件。 6、解析：

①f(1)=0, f(4)=2；②增函数；③(3,4]。

19

7、解析：

①数学归纳法：当n=1时，g1(x0)=x0显然成立；当n=k时，在gk(x0)=x0 (k∈N*)成立，则gk+1(x0)=f[gk(x)]=f(x0)=g1(x0)=x0，即当n=k+1时，命题成立。 ∴对一切n∈N*，若g1(x0)=x0，则gn(x0)=x0。 ②由①知，稳定不动点x0只需满足f(x0)=x0， ∵f(x0)=x06x0－6x02=x0x0=0或x0=

5。 6③∵f(x)<06x－2x2<0x<0或x>1

∴gn(x)<0f[gn-1(x)]<0 gn-1(x)<0或gn-1(x)>1

要使一切n∈N,n≥2，都有gn(x)<0，必须有g1(x)<0或g1(x)>1 ∵g1(x)<06x－2x2<0x<0或x>1 g1(x)>16x－2x2>1

33333333,)和(1,+∞)内的任意x，只要n≥2,n∈N*，都有gn(x)<0。 668、解析：

①y=f(x)存在不动点x0，则f(x0)=x0，下证x0是Fn(x)的不动点。 ∵F2(x0)=f[F1(x0)]=f[f(x0)]f(x0)=x0 ∴x0也是F2(x)的不动点。

若Fn-1(x)存在不动点x0，即Fn-1(x0)=x0

∴Fn(x0)=f[Fn-1(x0)]=f(x0)=x0 Fn(x)存在不动点x0

综上所述：对于任意n∈N*,n≥2，Fn(x)都存在不动点，并且有相同的不动点。 ②方法一：

∵f(x)<02x－x2<0x<0或x>2

∵要使Fn(x)<0 (n≥2)f[Fn-1(x)]<02Fn-1(x)－[Fn-1(x)]2<0Fn-1(x)<0或Fn-1(x)>2

依此类推，要使F2(x)<0f[F1(x)]<0f[f(x)]<02f(x)－[f(x)]2<0f(x)<0或f(x)>22x－x2<0或2x－x2>2x<0(舍去)或x>2或x∈x>2 ∴所求x的取值范围为(2,+∞)。 9、解析：

①∵f(m+n)= f(m)·f(n) 且当x>0时，00 ∴f(0)=f(x)f(-x)f(x)=

1>1 f(x)②设x100∴f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)f(x1)-f(x1)=f(x1)[f(x2-x1)-1]<0

20

∴f(x)在R上单调递减

③∵f(x2)·f(y2)>f(1)f(x2+y2)>f(1) x2+y2<1 ∵f(ax-y+2)=1=f(0) ax-y+2=0 ∵A∩B= ∴

2a21≥1a2+1≤4－3≤a≤3。

10、解析：∵

112+=p(x+y)=2xy4xy－2p(x+y)+p2=p2(2x－p)(2y－p)=p2 xyp∵p是素数，x>0, y>0

2xp12xpp2xpp2∴或或 22ypp2yp12yppp(p1)p1xxxp22或或 yp(p1)ypyp12211、解析：∵xz2yt3(xz－2yt)2+(xt+yz)2=11(x2+2y2)(z2+2t2)=11

xtyz1∴x2+2y2=1或z2+2t2=1 ①x2+2y2=1x=±1, y=0 ∵xt+yz=1t=±1 ∴z=±3

②z2+2t2=1t=0, z=±1 ∴y=±1, x=±3

∴所求方程组有4组解：(1,0,3,1)、(－1,0,―3,―1)、(3,1,1,0)、(―3,―1,―1,0)。 12、解析：∵2x2y2+y2=26x2+1201(2x2+1)(y2－13)=1188=22·33·11 ∴2x2+1与y2－13均为22·33·11的因数 ∵2x2+1为奇数2x2+1为33·11的因数 由下表可知，所求的正整数为(4,7)和(7,5)。 2x2+1 3 9 11 27 33 99 297 x 1 2 / / 4 7 / 132 36 12 y2－13 396

y / / 7 5

21

13、解析：显然x≠y，不妨设x>y>0 ∵328是偶数x、y的奇偶性相同x±y是偶数

令x+y=2u1, x－y=2v1 (u1、v1∈Z, u1>v1>0)x=u1+v1, y=u1－v1 ∴u12+v12=164

同理，令u1+v1=2u2, u1－v1=2v2 (u2、v2∈Z, u2>v2>0)u1=u2+v2, u1=u2－v2 ∴u22+v22=82

同理，令u2+v2=2u3, u2－v2=2v3 (u3、v3∈Z, u3>v3>0)u2=u3+v3, u2=u3－v3 ∴u32+v32=41u3、v3必为一奇一偶，且0依次取v3=1,2,3,„,5代入u32+v32=41得u3=5, v3=4x=18, y=2 ∴所求的解为x=18,y=2或x=2, y=18。 注意：合理分层换元是解决本题的关键。

14、分析：这个方程不是二次方程，但可利用不等式x－1<[x]≤x把方程化为不等式，先求出x的范围，再在给定的范围内把方程转化为二次方程求解。 解析：∵x－1<[x]≤x－20x≤－20[x]<－20(x－1) ∴4x2－20x+23≤4x2－20[x]+23<4x2－20(x－1)+23 ∵4x2－20x+23≤0

5252≤x≤ 224x2－20(x－1)+23>04x2－20x+43>0x∈R ∴

5252≤x≤ 2252≤x<2时，[x]=1，4x2－20[x]+23=04x2+3=0x∈； 217； 2①当

②当2≤x<3时，[x]=2，4x2－20[x]+23=04x2－17=0x=

③当3≤x<

5237时，[x]=3，4x2－20[x]+23=04x2－37=0x=； 221737和x=。 221(4x2+23)的图象，找交点所在的范围求解。 2022

∴原方程的解为x=

学生思考：画出y=[x]及y=

15、分析：[x]是一种跳跃取值的函数，由于[x]、[2x]、[3x]、[4x]在0≤x<1时可分别取到

5x]则在0≤x<3上可取到5个值。但在0≤x<3上，当x=0时，31这5个取整函数同时“跳跃”，在x=1、2时，[x]、[2x]、[3x]、[4x]同时“跳跃”，在x=、

235、时，[2x]、[4x]同时“跳跃”，故在在0≤x<3上f(x)可以取到22个不同的值。 220、1、2、3、4个值，而[解0,

析

：

在

0

≤

x<3

时

，

当

x

递

增

依

次

经

过

111323654357997125811,,,,,,1,,,,,,,,2,,,,,,时，f(x)的值发生跳跃变4325345432345435234化，在x∈[0,3)时，f(x)取得22个不同的值； 同样在x∈[3,6)时，f(x)取得22个不同的值；

∴在x∈[0,99)时，f(x)取得22×33=726个不同的值； 在x∈[99,100]时，f(x)取得8个不同的值；

∴在x∈[0,100]时，f(x)取得726+8=734个不同的值； 16、分析：利用[x]≤x<[x]+1。

10n1110n解析：∵<1990×10n19901989xx∵

11=0.00050251„, =0.00050276„ 19901989∴当n=7时，5025.1„17、分析：如能把S限制在两个相邻整数之间，则S的值可以确定，因此应对S的值适当放缩以使其较易确定其取值范围。 解析：∵

1n12<

22n13<

2n1n=2(n－n1)

∴S=1+++„+

1980100<1+2(

2－1)+2(3－2)+„+2(980100－

980099)=1+2(990－1)=1997

∵

1n<

22n12+

>

2n1n=2(n1－n)

∴S=1+

13+„+

1980100>1+2(

3－2)+2(4－3)+„+2(980101－

980100)=1+2(980100－2)=1981－22>1978

23

∴197818、分析：估算出所求数的大致范围，只要能说明该数介于两个相邻整数之间即可。 解析：∵123=1278<2006<2197=13312<32006<132017<2005+32006<2018 12<3200532006<132016<2004+3200532006<2017 12<20043200532006<13„ 11<17153171632006<12„ 1<123332006<2 ∴[S]=1。

3333单元练习题

1、a=0,4

2、a=1或a=－1 3、290－1 4、133 5、1002 6、197

11≤a≤0时，G(x)的定义域为[－a,1+a]；当0时，G(x)不存在。

227、当－8、f(x)=3－|x+1| 9、当a=－8时，l(a)max=10、[1,2] 11、－2

1(5+1) 2t21　　　　t00t1 12、g(t)=t　　　　　　t22t2　　t113、Nmin=401

14、①|f(x)|≤1|c|≤1；②|g(x)|≤max{|g(1)|,|g(－1)|}=2；③f(x)=2x2－1

24

15、(2,

9] 4444或x>1时，f(x)>0；当18、3 19、4 20、当a≥

11时，方程无解；当022、x=2

23、∵2w+2x+2y+2z=20.625=24+22+2-1+2-3w=4,x=2,y=－1,z=－3 24、和log2+2。 25、x=

110,x=103,x=100 26、3 27、08 28、600

25