【人教版】中职数学(基础模块)下册：6.3《等比数列》教案(Word版).pdf

【课题】 6．3 等比数列

【教学目标】

知识目标：

理解等比数列前n项和公式． 能力目标：

通过学习等比数列前n项和公式,培养学生处理数据的能力．

【教学重点】

等比数列的前n项和的公式．

【教学难点】

等比数列前n项和公式的推导．

【教学设计】

本节的主要内容是等比数列的前n项和公式,等比数列应用举例.重点是等比数列的前

n项和公式；难点是前n项和公式的推导、求等比数列的项数n的问题及知识的简单实际

应用．

等比数列前n项和公式的推导方法叫错位相减法，这种方法很重要，应该让学生理解并学会应用．等比数列的通项公式与前n项和公式中共涉及五个量：a1、q、n、an、Sn，只要知道其中的三个量，就可以求出另外的两个量.

教材中例6是已知a1、an、Sn求q、n的例子．将等号两边化成同底数幂的形式,利用指数相等来求解n的方法是研究等比数列问题的常用方法.

【教学备品】

教学课件．

【课时安排】

3课时．(135分钟)

【教学过程】

教 学 过 程 *揭示课题 6．3 等比数列． *创设情境 兴趣导入 【趣味数学问题】 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 从趣 1

教 学 过 程 传说国际象棋的发明人是印度的大臣西萨•班•达依尔，舍罕王为了表彰大臣的功绩，准备对大臣进行奖赏． 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 质疑 思考 参与 分析 味小故事出发使得 学生 自然 的走 向知 识点 10 国王问大臣：“你想得到什么样的奖赏？”，这位聪明的大 臣达依尔说：“陛下，请您在这张棋盘的第一个格子内放上1 颗麦粒，在第二个格子内放上2颗麦粒，在第三个格子内放上 4颗麦粒，在第四个格子内放上8颗麦粒，…，依照后一格子 内的麦粒数是前一格子内的麦粒数的2倍的规律，放满棋盘的 64个格子．并把这些麦粒赏给您的仆人吧”． 国王认为这样的奖赏很轻，于是爽快地答应了，命令如数 付给达依尔麦粒． 计数麦粒的工作开始了，在第一个格内放1粒，第二个格 内放2粒，第三个格内放4粒，第四个格内放8粒，……，国 王很快就后悔了，因为他发现，即使把全国的麦子都拿来，也引导 兑现不了他对这位大臣的奖赏承诺． 这位大臣所要求的麦粒数究竟是多少呢？ 分析 各个格的麦粒数组成首项为1，公比为2的等比数列，大臣西萨•班•达依尔所要的奖赏就是这个数列的前64项和． *动脑思考 探索新知 下面来研究求等比数列前n项和的方法． 等比数列an的前n项和为 总结 归纳 仔细 分析 讲解 关键 词语 n 思考 归纳 理解 记忆 Sn=a1+a2+a3++an. (1) 由于anq=an+1,故将(1)式的两边同时乘以q，得 qSn=a2+a3+a4+ (2) +an+an+1． 带领 学生 总结 问题 得到 等比数列通项公式 用(1)式的两边分别减去(2)式的两边，得 (1−q)Sn=a1−an+1=a1−a1qn=a1(1−q)． (3) 当q1时，由(3)式得等到数列an的前n项和公式 2

教 学 过 程 n教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 参与 分析 引导启发学生思考求解 35 a(1−q) (q1)． Sn=1 (6.7) 1−q 知道了等比数列an中的a1、n和q(q1),，利用公式 （6.7）可以直接计算Sn． 由于 a1qn=an+1=anq, 因此公式（6.7）还可以写成 a−anq (q1)． Sn=1 (6.8) 1−q 当q=1时，等比数列的各项都相等，此时它的前n项和为 Sn=na1． (6.9) 【想一想】 在等比数列{an}中，知道了a1、q、n、an、Sn五个量中引导 分析 的三个量，就可以求出其余的两个量．针对不同情况，应该分别采用什么样的计算方法？ 【注意】 在求等比数列的前n项和时，一定要判断公比q是否为１． *巩固知识 典型例题 例5 写出等比数列 1,−3,9,−27, 的前n项和公式并求出数列的前8项的和． 解 因为a1=1,q=公式为 说明 强调 引领 讲解 说明 3

观察 思考 主动 求解 −3=−3，所以等比数列的前n项和 1 通过例题进一步领会

教 学 过 程 Sn=1[1−(−3)]1−(−3)=， 1−(−3)4nn教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 观察 思考 求解 领会 思考 注意 观察 学生 是否 理解 知识 点 反复 强调 45 50 1−(−3)8故 S8==−1640． 4引领 94*例6 一个等比数列的首项为，末项为，各项的和分析 49 211为，求数列的公比并判断数列是由几项组成． 36强调 94解 设该数列由n项组成，其公比为q，则a1=，an=，含义 49Sn=211． 36于是 94−q21149=, 361−q即94211(1−q)=36−q， 49解得 q=2． 3n−192所以数列的通项公式为 an=43492于是 =943n−1, ， 42即 3n−12=, 3解得 n=5． 故数列的公比为【注意】 2，该数列共有5项． 3 说明 例6中求项数n时，将等号两边化成同底数幂的形式，利 4

教 学 过 程 用指数相等来求解．这种方法是研究等比数列问题的常用方法． 现在我们看一看本节趣味数学内容中，国王为什么不能兑现他对大臣的奖赏承诺？ 国王承诺奖赏的麦粒数为 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 S64 1(1−264)==264−11.841019， 1−2据测量，一般麦子的千粒重约为40g ，则这些麦子的总质量约为7.36×1017g，约合7360多亿吨．我国XXXX年小麦的全国产量才约为1.14亿吨，国王怎么能兑现他对大臣的奖赏承诺呢！ *运用知识 强化练习 练习6.3.3 1．求等比数列 启发 引导 提问 巡视 指导 *巩固知识 典型例题 【趣味问题】 设报纸的厚度为0.07毫米，你将一张报纸对折5次后的厚度是多少？能否对折50次，为什么？ 【小知识】 复利计息法：将前一期的本金与利息的和（简称本利和）作为后一期的本金来计算利息的方法．俗称“利滚利”． 例7 银行贷款一般都采用“复利计息法”计算利息．小王从银行贷款20万元，贷款期限为5年，年利率为5.76%， 如果5年后一次性还款，那么小王应偿还银行多少钱?（精确到 说明 强调 引领 讲解 说明 引领 思考 了解 动手 求解 观察 思考 主动 求解 观察 可以 交给 学生 自我 发现 归纳 通过例题进一步领会 注意 观察 学生 是否 理解 60 1248，，，，…的前10项的和． 99992．已知等比数列｛an｝的公比为2，S4＝１，求S8． 5

教 学 过 程 0.000001万元） 解 货款第一年后的本利和为 20+205.76%=20(1+0.0576)=1.057620, 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 分析 强调 含义 说明 思考 求解 领会 思考 求解 知识 点 反复 强调 45 50 60 70 第二年后的本利和为 1.057620+1.0576205.76%=1.0576220, 依次下去，从第一年后起，每年后的本利和组成的数列为等比数列 1.057620,1.0576220,1.0576320,… 其通项公式为 an=1.0576201.0576n−1=1.0576n20 故 a5=1.0576520=26.462886． 答 小王应偿还银行26.462886万元． *运用知识 强化练习 张明计划贷款购买一部家用汽车，贷款15万元，贷款期为5年，年利率为5.76%，5年后应偿还银行多少钱? *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题： 等比数列的前n项和公式是什么？ 质疑 质疑 归纳强调 求解 回答 理解 强化 强化 及时了解学生知识掌握情况 a1(1−qn)(q1). 结论：Sn=1−qSn=a1−anq(q1). 1−q 6

教 学 过 程 *归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ *自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？ 1．已知等比数列｛an｝中，a1=2，S3=26，求q与a3．2．等比数列｛an｝的首项是6，第6项是的前多少项之和是教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 引导 提问 回忆 反思 动手 求解 检验 学生 学习 效果 培养学生总结反思学习过程的能力 80 90 − 3，这个数列 16巡视 指导 255？ 64*继续探索 活动探究 (1)读书部分：教材 (2)书面作业：教材习题6．3A组（必做）；教材习题6．3B组（选做） (3)实践调查：运用等比数列求和公式解决现实生活中的实际问题． 【教师教学后记】

项目 说明 记录 分层次要求 反思点 学生是否真正理解有关知识； 学生知识、技能的掌握情况 是否能利用知识、技能解决问题； 在知识、技能的掌握上存在哪些问题； 学生是否参与有关活动； 学生的情感态度 在数学活动中，是否认真、积极、自信； 遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服； 学生思维情况 学生是否积极思考； 7

思维是否有条理、灵活； 是否能提出新的想法； 是否自觉地进行反思； 学生是否善于与人合作； 学生合作交流的情况 在交流中，是否积极表达； 是否善于倾听别人的意见； 学生是否愿意开展实践； 能否根据问题合理地进行实践； 学生实践的情况 在实践中能否积极思考； 能否有意识的反思实践过程的方面； −

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