【解析】浙江省嘉兴市第一中学等五校2015届高三上学期第一次联考数学(文)试题

【试卷综析】本试卷是高三文科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、不等式性质、函数的性质及图象、三角函数的图像与性质、解三角形、数列、平面向量、立体几何、绝对值不等式等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.

【题文】一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的．

【题文】1. 已知全集为R，集合Ax21,Bxx6x80，则AA. xx0 B. x2x4 C.x0x2或x4【知识点】集合的运算A1 【答案】【解析】C

解析：因为Ax21xx0,Bxx6x80x2x4，所以

x2CRB（ ）

 D.x0x2或x4

x2CRBxx2或x4,ACRBx0x2或x4，则选C.

【思路点拨】遇到不等式解集之间的关系时，可先对不等式求解，再对集合进行运算. 【题文】2. 在等差数列an中，a53,a62，则a3a4a8等于（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【知识点】等差数列D2

【答案】【解析】C 解析：因为a5a61，所以a3a4a83a5a63，则选C.

【思路点拨】一般遇到等差数列，可先观察其项数是否具有性质特征，有性质特征的先用性质转化求解. 【题文】3. 设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（ ）

A. 若lm，m，则l B. 若l，l//m，则m C. 若l//，m，则l//m D. 若l//，m//，则l//m 【知识点】线线、线面位置关系G4 G5

【答案】【解析】B 解析：A选项，由线面垂直的判定定理可知不一定垂直，所以错误；B选项，若l，

l//m，则m，由线面垂直的性质可知正确，因为只有一个选项正确，所以选B.

【思路点拨】准确理解直线与平面垂直的判定定理与性质定理是本题的关键. 【题文】4. 设a,b是实数，则“ab1”是“aA. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【知识点】充分、必要条件 不等式性质A2 E1

- 1 -

11b”的（ ） ab【答案】【解析】A 解析：因为a11abab1，所以若ab1，显然babab121111abab1ab0，则充分性成立，当a,b时显然不等式ab成立，

ab23abab但ab1不成立，所以必要性不成立，则选A.

【思路点拨】判断充分必要条件，应先分清命题的条件与结论，若从条件能推出结论，则充分性满足，若从结论能推出条件，则必要性满足.

【题文】5. 已知函数yf(x)x是偶函数，且f(2)1，则f(2)（ ） A. 1 B. 1 C. 5 D. 5 【知识点】偶函数B4

【答案】【解析】D 解析：因为函数yf(x)x是偶函数，所以f22f223,f25，所以选D.

【思路点拨】抓住偶函数的性质，即可得到f(2)与f(－2)的关系，求值即可. 【题文】6. 已知函数f(x)cosx为了得到函数g(x)sinx(xR,0)的最小正周期为，

4的图象，只要将yf(x)的图象（ ）

A. 向左平移

33个单位长度 B. 向右平移个单位长度 4433个单位长度 D. 向右平移个单位长度 88C. 向左平移

【知识点】三角函数的图象C3

【答案】【解析】D 解析：由函数f(x)cosx22，(xR,0)的最小正周期为得43x，显然用换x即可得到函数8则fxcos2x3sin2xsin2x4428g(x)=sin2x的解析式，所以图象向右平移

3个单位长度，则选D. 8【思路点拨】判断函数的图象的平移变换关键是判断函数解析式中的x的变化.

y2x,

【题文】7. 设实数x,y满足yx,则zy4|x|的取值范围是（ ）

yx4,

A. 8,6 B. [8,4] C. [8,0] D.6,0 【知识点】简单的线性规划E5

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【答案】【解析】B 解析：满足不等式组的可行域如下图所示，由题意可知A（2，2），B（-4，8）．O（0，0），由直

线x+y=4与y轴交点坐标为(0,4),当x≥0时，z=y－4x，显然经过点(0,4)时最大为4,经过点A时最小为－6，当x＜0时，z=y+4x，显然动直线经过点(0,4)时目标函数得最大值4，当动直线经过点B时目标函数得最小值为－8,所以

zy4|x|的取值范围是[8,4]，则选B.

.

【思路点拨】一般遇到由不等式组表示的区域求目标函数的最值常用数形结合的方法解答，本题应注意对绝对值讨论求最值.

【题文】8. 如图，在正四棱锥SABCD中，E,M,N分别是

BC,CD,SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：

①EPAC；②EP//BD；③EP//面SBD；④EP面SAC．中恒成立的为（ ）

A. ①③ B. ③④ C. ①② D. ②③④

【知识点】平行关系与垂直关系G4 G5 【答案】【解析】A 解析：①由正四棱锥S-ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴SO⊥AC．∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD，∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN=N，∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP．故正确．②由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，不可能EP∥BD，因此不正确；③由①可知：平面EMN∥平面SBD，∴EP∥平面SBD，因此正确．④由①同理可得：EM⊥平面SAC，若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP∩EM=E相矛盾，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．即不正确．综上可知选A

.

- 3 -

【思路点拨】对于各个命题，可结合线面垂直及线面平行的判定或性质进行解答或用反例排除.

【题文】9. 设fx是定义在R上的恒不为零的函数，对任意实数x,yR，都有

fxfyfxy，若a1,anfnnN，则数列an的前n项和Sn的取值范围是

12（ ）

A. ,2 B. ,2 C. ,1 D. ,1

2222【知识点】等比数列D3

【答案】【解析】C 解析：由fxfyfxy得fnf1fn1，得an111111an，所以21111122nSn1n,1，所以选C.

12212【思路点拨】当函数的自变量取正整数时，可转化为数列问题进行解答.

x22x,x0,21,x0,g(x) 1【题文】10 已知函数f(x)则函数f[g(x)]的所有零点之和

x2,x0, ,x0.xx2是（ ）

A. 11333 B.3 C.1 D. 122 2 2

1，2【知识点】函数的零点B9

【答案】【解析】B 解析：由f(x)=0得x=2或x=－2，由g(x)=2得x=13,由g(x)=－2，得x所以函数f[g(x)]的所有零点之和是11133，则选B. 22【思路点拨】结合函数的零点的定义，可从外到内依次求值，即可解出所有零点. 【题文】二、 填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分． 【题文】11. 函数f(x)1的定义域为 ▲ ．

log2(x2)【知识点】函数的定义域B1

x-20【答案】【解析】{x▏x＞2且x≠3} 解析：由题意得，

logx202解得x＞2且x≠3.所以函数的定义域为{x▏x＞2且x≠3}.

【思路点拨】求函数的定义域就是求使函数解析式有意义的自变量构成的集合. 【题文】12. 已知sin(

1)，，则cos ▲ ． 432- 4 -

【知识点】两角和与差的三角函数C5 【答案】【解析】

12422 解析：因为sin()，，所以cos，

4323则coscos42221224 . 232436【思路点拨】对于给值求值问题，通常从角入手，用已知角表示所求角，再利用相应的公式进行计算. 【题文】13. 已知某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为 ▲ ．

【知识点】由三视图求体积G2

160 解析：由三视图可知该几何体由一个倒放的直三棱柱和一个四棱锥组成，所以其3112160体积为44444.

233【答案】【解析】

【思路点拨】由三视图求几何体的体积，关键是正确分析三视图对应的几何体的特征. 【题文】14. 已知偶函数yf(x)的图象关于直线x1对称， 且x0,1时，f(x)x1，则f【知识点】偶函数B4 【答案】【解析】3 ． = ▲

21 解析：因为函数为偶函数且图象关于直线x1对称，所以213311fff1.

22222【思路点拨】利用已知条件函数为偶函数且图象关于直线x1对称，可把所求函数值向已知区间进行转化，

再代入求值.

【题文】15. 设a1,a2,,an,是按先后顺序排列的一列向量，若a1(2014,13)， 且anan1(1,1)，则其中模最小的一个向量的序号n ▲ ． 【知识点】向量的坐标运算F2

【答案】【解析】1002或1001 解析：因为ana1n1,n1n2005,n12，所以

an

n2015n12222n24006n20152122，因为二次函数- 5 -

1y2n24006n20152122的对称轴方程为x1001，又n为正整数，所以当n=1002或1001

2时模最小.

【思路点拨】可以借助于等差数列的通项公式求出向量的一般形式，再借助于二次函数求最值.

【题文】16. 设a,bR，关于x的方程(x2ax1)(x2bx1)0的四个实根构成以q为公比的等比数列，若q[,2]，则ab的取值范围是 ▲ ． 【知识点】等比数列D3

1311222【答案】【解析】4, 解析：设关于x的方程(xax1)(xbx1)0的四个实根为9x1,x2,x3,x4，其中x1,x2,是方程x2ax10的两根，x3,x4是方程x2bx10的两根,所以x1x2a,x1x21,x3x4a,x3x41，因为

四项和第二、三项，不妨设x1为等比数列的首项，则

，所以

，由

和

分别是等比数列的第一、可得x121， 3q，

1qqq=q322q3q11112 ，记fqq2q2，则

qqqq

因为q,2，所以当q,1时，f'q0，此时f(q)单调递减；当q∈[1,2]时，f'q0，

33此时f(q)单调递增，所以f(q)在q=1处取到极小值4，而f111111227f2，所以f(q)在q3439处取到极大值

1112112112，所以当q[,2]时， fq4, ，即ab∈. 4,3999【思路点拨】根据题意，可把ab转化为关于q的函数，利用函数的单调性求值域.

【题文】17. 已知正四棱锥VABCD可绕着AB任意旋转，CD//平面．若AB2，VA5,则正四棱锥VABCD在面内的投影面积的取值范围是 ▲ ．

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【知识点】正四棱锥的性质G7

【答案】【解析】3,4 解析：由题意可得正四棱锥的侧面与底面所成角为

，侧面上的高为2，设正3四棱锥的底面与平面α所成角为θ，当0当

6时投影为矩形，其面积为2×2cosθ=4cosθ23,4,

26时，投影为一个矩形和一个三角形，此时VAB与平面α所成角为

2，正四棱锥在平面3α上的投影面积为 4cosθ+

212时投,当22cos3sin3cos23sin3,2332233影面积为

122，综上，正四棱锥VABCD在面内的投22cos2cos3,2233影面积的取值范围是3,4.

【思路点拨】正确分析投影特征是本题解题的关键，本题在旋转过程中投影形状有三种情况应分别计算. 【题文】三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【题文】18.（本题满分14分）锐角ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知

cosBA2sin2C. 2（Ⅰ）求sinAsinB的值；

（Ⅱ）若a3,b2，求ABC的面积. 【知识点】解三角形C8 【答案】【解析】（Ⅰ）

3231（Ⅱ） 解析：（Ⅰ）由条件得cos(B－A)=1－cosC=1+cos(B+A),所以221; 2cosBcosA+sinBsinA=1+cosBcosA－sinBsinA,即sinAsinB=

（Ⅱ）

sinAa3sinBb2，又sinAsinB331，解得：sinA， ,sinB223因为是锐角三角形，cosA16， ,cosB23- 7 -

sinCsinABsinAcosBcosAsinB323 611323323. SabsinC322262【思路点拨】在解三角形时，得到角的关系后注意利用三角形内角和向所要解决的问题进行转化，求三角形面积的关键是利用正弦定理求出角C的正弦值.

【题文】19. （本题满分14分）如图所示，正方形ABCD所在的平面与等腰ABE所在的平面互相垂直，其中顶BAE120，AEAB4，F为线段AE的中点． （Ⅰ）若H是线段BD上的中点，求证：FH // 平面CDE；

（Ⅱ）若H是线段BD上的一个动点，设直线FH与平面ABCD所成角的大小为，求tan的最大值．

【知识点】线面平行的判定，直线与平面所成的角G4 G11 【答案】【解析】（Ⅰ）略；（Ⅱ）解析：（Ⅰ）连接AC，

6 5ABCD是正方形，H是AC的中点，有F是AE的中点，

FH是ACE的中位线，FHCE,而FH面CDE，CE面CED，从而FH面CDE.

（Ⅱ）因为面ABCE⊥面ABE，它们的交线为AB，而DA⊥AB,所以DA⊥面ABE,作FI⊥AB，垂足为I，有FI⊥AD,得FI⊥面ABCD，所以∠FHI是直线FH与平面ABCD所成的角，

FIAFsin603,tanFHI6. 5FI352，当IH⊥BD时，IH取到最小值为，所以tan的最大IHIH2值为【思路点拨】一般遇到两面垂直的条件，通常利用两面垂直的性质定理转化为线面垂直，证明线面平行通

常利用线面平行的判定定理证明线线平行，求线面所成角一般先利用定义作出其平面角再利用所在的三角形求值.

【题文】20. （本题满分15分）已知数列

an的前n项和Sn满足(t1)Snt(an2),

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(t为常数,t0且t1)．

an的通项公式；

（Ⅱ）设bnSn1，且数列bn为等比数列．

（Ⅰ）求数列

① 求t的值； ② 若

cnanlog3bn，求数列

cn的前n和Tn．

【知识点】数列的通项公式 数列求和D1 D4 【答案】【解析】C 解析：（Ⅰ）an解析：（Ⅰ）由(t1)Sn即数列

（Ⅱ）①t2tn ；

32n31②Tn 3223nt(an2)，及(t1)Sn1t(an12)，作差得an1tan，

an成等比，ana1tn1，∵a12t，故an2tn

bn为等比数列，∴b22bb13

（Ⅱ）①∵数列代入得(2t2t解得t21)2(2t1)(2t2t22t31) 整理得6t32t2

11或t0（舍） 故t 33当t11时，bnSn1n 显然数列bn为等比数列 332n 3n②cnanlog3bn∴Tn2463132332n1246 则Tn3n33233342n 作差得 3n12222Tn233333故Tn22n12n2n3 11nn1nn1n13333332n3. 223n【思路点拨】一般遇到数列的前n项和与通项的递推公式，通常先转化为项的递推关系再进行解答，遇到数列求和问题，通常先明确数列的通项公式，再由通项公式确定求和思路.

b=(m,【题文】21. （本题满分14分）设向量a(2,23cos2)，

为实数． （Ⅰ）若msincos),其中,m,212，且ab, 求m的取值范围；

（Ⅱ）若a2b,求

m的取值范围．

【知识点】向量的数量积，三角函数的性质C3 F3

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【答案】【解析】（Ⅰ）110110；（Ⅱ）6,1. m66663m1,bm, ，因为ab，所以224【解析】（Ⅰ）12时，a2,222m3m153m12,整理得0mm0对一切R均有解，当2242448m11时，得2，符合题意，当m时，22110110332132m15，解得，所以m的取mm24mmm06666822844值范围为110110； m6666题意

只

需

（Ⅱ）由

22m23cos2msin2，由

2m2消元得

2m2m2sin23cos2324m9m422sin222，解得,2，解不等式组

4m9m4212m22m2，所以26,1. 4mmm【思路点拨】先把向量关系转化为坐标关系，再转化为方程有实根或函数的值域问题进行解答. 【题文】22. （本题满分15分） 已知函数fxxxa1xR.（Ⅰ）当a1时，求使fxx成立的x的值;

（Ⅱ）当a0,3，求函数yfx在x1,2上的最大值；

（Ⅲ）对于给定的正数a，有一个最大的正数Ma，使x0,Ma时，都有fx2，试求出这个正数Ma，并求它的取值范围.

【知识点】二次函数 函数的值域，函数的单调性B3 B4 B5

【答案】【解析】（Ⅰ）1；（Ⅱ）fxmaxaa,0a11,1a2；（Ⅲ） Ma52a,2a3aa212,a232a12,0a2322 ，

Ma0,36

解析：（Ⅰ）当a1时，由fxx得xx11x，解得x1；

2xax1（Ⅱ）当fx2xax1xa，作出示意图，注意到几个关键点的值:

xa

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aa2f(x)2f(0)f(a)=1,f()1， 最大值在f(1),f2,fa中取.

24当0a1时,fx在1,2上递减，故fxmaxf1a；

当1a2时,fx在1,a上递增，a,2上递减，故fxmaxfa1；

当2≤a＜3时，f(x)在1,上单调递减，,2单调递增，且x是函数的对称轴，由于

222aaaaa213a0，所以fxmaxf252a，综上fxmax22a,0a11,1a2 52a,2a3（Ⅲ）因为当x∈(0, ＋∞)时，fxmax1，故问题只需在给定区间内f(x) ≥﹣2恒成立，由

aaa2时，M(a)是方程x2ax12的较小根，即a23时，，当1f144222aa2126Ma0,22aa12a2，当12时，M(a)是方程x2ax12的较34大根，即

03时，

aa212Ma23,36，综上

aMaaa212,a232a12,0a2322 ，Ma0,36

【思路点拨】一般遇到绝对值函数，通常先分段讨论去绝对值再进行解答，求函数的最值通常结合函数的单调性进行解答.

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