人教版八年级上册 第十一章《三角形》—与三角形相关的角解答题、证明题训练(附有答案)

证明题及解答题训练

1.已知，如图D是△ABC中BC边延长线上一点，DF⊥AB交AB于F，交AC于E，∠A＝46°，∠D＝50°．求∠ACB的度数．

2.已知，如图△ABC中，三条高AD、BE、CF相交于点O．若∠BAC＝60°， 求∠BOC的度数．

3.已知，如图△ABC中，∠B＝65°，∠C＝45°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线．求∠DAE的度数．

4.已知：AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，且AD∥BC．求证：∠B＝∠C．

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5.已知，如图CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，BE是∠ABC内任一射线，交CE于E．求证：∠EBC＜∠ACE．

6.已知：如图P是△ABC内任一点，

(1)求证：AB＋AC＞BP＋PC．(2)求证：∠BPC＞∠A．

7.如图，△ABC中，∠B＝34°，∠ACB＝104°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．

8.如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，∠B=50°，∠BAD=30°，将△ABD沿AD折叠得到△AED，AE与BC交于点F. （1）填空：∠AFC=______度； （2）求∠EDF的度数.

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9.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC.若∠ABC＝°，∠AEB＝70°，求∠CAD的度数．

分线与高线的夹角的度数）

10.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC.（此题为求同一顶点的角平

(1)若∠C＝70°，∠B＝40°，求∠DAE的度数； (2)若∠C－∠B＝30°，求∠DAE的度数；

(3)若∠C－∠B＝α(∠C＞∠B)，求∠DAE的度数(用含α的代数式表示)．

11-1.如图，△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O.若∠BOC＝120°，

求∠A。（此题为求两内角平分线的夹角的度数）

11-2.如图，△ABC中，点P是∠ABC，∠ACB的平分线的交点．

(1)若∠A＝80°，求∠BPC的度数．

1

(2)求证：∠BPC＝90°+∠A．

2

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12.如图，在△ABC中，BA1平分∠ABC，CA1平分∠ACD，BA1，CA1相交于点A1.（此题为求一内角平分线与一外角平分线的夹角的度数） 1

(1)求证：∠A1＝∠A；

2

(2)如图，继续作∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；作∠A2BC和∠A2CD的平分线交于点A3，得∠A3……依此得到∠A2017，若∠A＝α，求∠A2017．

13.如图，BO平分△ABC的外角∠CBD，CO平分△ABC的外角∠BCE，

1

求证：∠BOC＝90°-∠A．（此题为求两外角平分线的夹角的度数。）

2

14.如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．

15.如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA.

(1)求证：∠EAC＝∠B；

(2)若∠B＝50°，∠CAD∶∠E＝1∶3，求∠E的度数．

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16.如图，在△ABC中，点D在BC上，点E在AC上，AD交BE于F.已知EG∥AD交BC于G，EH⊥BE交BC于H，∠HEG＝55°.

(1)求∠BFD的度数；

(2)若∠BAD＝∠EBC，∠C＝44°，求∠BAC的度数．

17.如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为BC边上一点，∠BCD=∠BDC． （1）若∠BCD=70°，求∠ABC的度数； （2）求证：∠EAB+∠AEB=2∠BDC．

18.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线

BE交AC的延长线于点E． （1）求∠CBE的度数；

（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．

19.如图，AD是△ABC边BC上的高，BE平分∠△ABC交AD于点E．若∠C=60°，∠BED=70°．求∠ABC和∠BAC的度数．

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20.如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=76°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于点D，DF⊥CE于点F，求∠CDF的度数．

21.如图：

（1）求证：∠BDC=∠A+∠B+∠C；

（2）如果点D与点A分别在线段BC的两侧，猜想∠BDC、∠A、∠ABD、∠ACD这4个角之间有怎样的关系，并证明你的结论．

22.（1）图中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= °．

（2）如图，∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F=_________°．

（3）如图，求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数 °．

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23.如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，求∠A的大小.

AFGB

EDC

24.在△ABC中，三个内角的度数均为正数，且∠A＜∠B＜∠C，4∠C＝7∠A，求∠B的度数.

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第十一章《三角形》与三角形有关的角

证明题及解答题训练

参

1.已知，如图D是△ABC中BC边延长线上一点，DF⊥AB交AB于F，交AC于E，∠A＝46°，∠D＝50°．求∠ACB的度数． 答案：94°

2.已知，如图△ABC中，三条高AD、BE、CF相交于点O．若∠BAC＝60°， 求∠BOC的度数．

答案：120°

3.已知，如图△ABC中，∠B＝65°，∠C＝45°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线．求∠DAE的度数．

答案：10°（备注：此为垂线和角平分组合，∠DAE=1/2（∠B-∠C），） 4.已知：AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，且AD∥BC．求证：∠B＝∠C． 证明略。

5.已知，如图CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，BE是∠ABC内任一射线，交CE于E．求证：∠EBC＜∠ACE．

证明：∠EBC＜∠DCE，而∠DCE＝∠ACE，∴ ∠EBC＜∠ACE．

6.已知：如图P是△ABC内任一点，

（1）求证：AB＋AC＞BP＋PC．(2)求证：∠BPC＞∠A．

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证明：（1）延长BP交AC于点D．在△BAD中，ABADBD，

即：ABADBPPD．① 在△PDC中，PDDCPC．② ①＋②得

ABADPDDCBPPDPC， 即ABACBPPC． （2）延长BP交AC于D，

∵BPCPDC,PDCA，

∴BPCA．

7.如图，△ABC中，∠B＝34°，∠ACB＝104°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．

解：由三角形内角和定理，得

BACBBAC180．

∴ BAC1803410442． 又∵ AE平分∠BAC．

∴ BAE1BAC14221．

22∴ AEDBBAE342155． 又∵ AEDDAE90，

∴ DAE90AED905535．

8.如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，∠B=50°，∠BAD=30°，将△ABD沿AD折叠得到△AED，AE与BC交于点F. （1）填空：∠AFC=______度； （2）求∠EDF的度数.

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解：（1）∵△ABD沿AD折叠得到△AED，∴∠BAD=∠DAF，

∵∠B=50°∠BAD=30°，∴∠AFC=∠B+∠BAD+∠DAF=110°；故答案为110. （2）∵∠B=50°，∠BAD=30°，∴∠ADB=180°-50°-30°=100°，

∵△ABD沿AD折叠得到△AED，∴∠ADE=∠ADB=100°， ∴∠EDF=∠EDA+∠BDA-∠BDF=100°+100°-180°=20°. 9.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC.若∠ABC＝°，∠AEB＝70°，求∠CAD的度数．

11

解：∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠ABC＝×°＝32°.

22

∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.

∵∠AEB＝70°，∴∠C＝∠AEB－∠EBC＝70°-32°＝38°， ∴∠CAD＝90°-∠C＝90°-38°＝52°

10.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC.

(1)若∠C＝70°，∠B＝40°，求∠DAE的度数； (2)若∠C－∠B＝30°，求∠DAE的度数；

(3)若∠C－∠B＝α(∠C＞∠B)，求∠DAE的度数(用含α的代数式表示)．

解：(1)由题意可得∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-70°=70°， ∠ADC=90°，∴∠CAD=90°-∠C=90°-70°=20°， 1

∠CAE=∠BAC=35°，

2

∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=35°-20°=15°. (2) ∵∠B+∠C+∠BAC=180°，

∴∠BAC=180°-∠B-∠C. ∵AE平分∠BAC，

111

∴∠CAE=∠BAC=(180°-∠B-∠C)＝90°-(∠B+∠C)．

222

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∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠CAD=90°-∠C. 1

∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=90°-(∠B+∠C)-(90°-∠C)

211

=(∠C-∠B)=×30°=15°. 22

11

(3) ∵∠C-∠B=α，由(2)中可知∠DAE=(∠C-∠B)=α

22

11-1.如图，△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O.若∠BOC＝120°，

求∠A。（此题为求两内角平分线的夹角的度数）

11-2.如图，△ABC中，点P是∠ABC，∠ACB的平分线的交点．

(1)若∠A＝80°，求∠BPC的度数．

1

(2)求证：∠BPC＝90°+∠A．

2

答案：25-1:60°

25-2:（1）130°

（2）∵BP，CP为角平分线，

111

∴∠PBC+∠PCB=(∠ABC+∠ACB)=(180°-∠A)=90°-∠A，

222

11

∴∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-(90°-∠A)＝90°＋∠A.

2212.如图，在△ABC中，BA1平分∠ABC，CA1平分∠ACD，BA1，CA1相交于点A1.（此

题为求一内角平分线与一外角平分线的夹角的度数） 1

(1)求证：∠A1＝∠A；

2

(2)如图，继续作∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；作∠A2BC和∠A2CD的平分线交于点A3，得∠A3……依此得到∠A2017，若∠A＝α，求∠A2017。

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(1)

11

证明：∵CA1平分∠ACD，∴∠A1CD＝∠ACD＝(∠A＋∠ABC)．

22

又∵∠A1CD＝∠A1＋∠A1BC， 1

∴∠A1＋∠A1BC＝(∠A＋∠ABC)．

2∵BA1平分∠ABC，

111

∴∠A1BC＝∠ABC，∴∠ABC＋∠A1＝(∠A＋∠ABC)，

2221

∴∠A1＝∠A.

2

(2)2017 2

13.如图，BO平分△ABC的外角∠CBD，CO平分△ABC的外角∠BCE，

1

求证：∠BOC＝90°-∠A

2

α

证明：如图，∵BO，CO分别是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的平分线， ∴∠DBC＝2∠1＝∠ACB＋∠A，∠ECB＝2∠2＝∠ABC＋∠A， ∴2∠1＋2∠2＝2∠A＋∠ABC＋∠ACB＝∠A＋180°， 1

∴∠1＋∠2＝∠A＋90°.又∵∠1＋∠2＋∠BOC＝180°，

21

∴∠BOC＝180°-(∠1＋∠2)＝90°-∠A.

2

14.如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．

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解：设∠A＝x，则∠C＝∠ABC＝2x.

根据三角形内角和为180°知∠C＋∠ABC＋∠A＝180°，即2x＋2x＋x＝180°，∴x＝36°，∴∠C＝2x＝72°.

在Rt△BDC中，∠DBC＝90°-∠C＝90°-72°＝18°. 15.如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA.

(1)求证：∠EAC＝∠B；

(2)若∠B＝50°，∠CAD∶∠E＝1∶3，求∠E的度数．

（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.

又∵∠EAD＝∠EDA，∴∠EAC＝∠EAD-∠CAD＝∠EDA-∠BAD＝∠B； （2）解：设∠CAD＝x°，则∠E＝3x°.

由(1)知∠EAC＝∠B＝50°，∴∠EAD＝∠EDA＝(x＋50)°. 在△EAD中，∵∠E＋∠EAD＋∠EDA＝180°，

∴3x°＋2(x＋50)°＝180°，解得x＝16.∴∠E＝48°.

16.如图，在△ABC中，点D在BC上，点E在AC上，AD交BE于F.已知EG∥AD交BC于G，EH⊥BE交BC于H，∠HEG＝55°.

(1)求∠BFD的度数；

(2)若∠BAD＝∠EBC，∠C＝44°，求∠BAC的度数．

解：(1)∵EH⊥BE，∴∠BEH＝90°.∵∠HEG＝55°， ∴∠BEG＝∠BEH－∠HEG＝35°.

又∵EG∥AD，∴∠BFD＝∠BEG＝35°；

（2）∵∠BFD＝∠BAD＋∠ABE，∠BAD＝∠EBC，

∴∠BFD＝∠EBC＋∠ABE＝∠ABC. 由(1)可知∠BFD＝35°，

∴∠ABC＝35°.∵∠C＝44°，

∴∠BAC＝180°-∠ABC-∠C＝180°-35°-44°＝101°.

17.如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为BC边上一点，∠BCD=∠BDC． （1）若∠BCD=70°，求∠ABC的度数； （2）求证：∠EAB+∠AEB=2∠BDC．

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解：（1）∵∠BCD=70°，∴∠BCD=∠BDC=70°，∴∠ABC=180°–70°–70°=40°．

（2）∵∠EAB+∠AEB=180°–∠ABC，∠BCD+∠BDC=180°–∠ABC，

即2∠BCD=180°–∠ABC， ∴∠EAB+∠AEB=2∠BDC．

18.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线

BE交AC的延长线于点E． （1）求∠CBE的度数；

（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．

解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，

∴∠ABC=90°-∠A=50°，∴∠CBD=130°．

1∵BE是∠CBD的平分线，∴∠CBE=∠CBD=65°．

2（2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，

∴∠CEB=90°-65°=25°．

∵DF∥BE，∴∠F=∠CEB=25°．

19.如图，AD是△ABC边BC上的高，BE平分∠△ABC交AD于点E．若∠C=60°，∠BED=70°．求∠ABC和∠BAC的度数．

解：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB=90°，

又∵DBEADBBED180，∠BED=70°， ∴DBE180ADBBED20．

∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠DBE=40°．

又∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，∠C=60°，∴∠BAC=180°–∠ABC–∠C=80°．

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20.如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=76°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于点D，DF⊥CE于点F，求∠CDF的度数．

解：∵∠A=40°，∠B=76°，∴∠ACB=180°-40°-76°=°，

∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE=32°，

∴∠CED=∠A+∠ACE=72°，∴∠CDE=90°，DF⊥CE，

∴∠CDF+∠ECD=∠ECD+∠CED=90°，∴∠CDF=72°． 21.如图：

（1）求证：∠BDC=∠A+∠B+∠C；

（2）如果点D与点A分别在线段BC的两侧，猜想∠BDC、∠A、∠ABD、∠ACD这4个角之间有怎样的关系，并证明你的结论．

（1）证明：延长BD交AC于点E， ∵∠BEC是△ABE的外角， ∴∠BEC=∠A+∠B．

∵∠BDC是△CED的外角，

∴∠BDC=∠C+∠DEC=∠C+∠A+∠B．

（2）猜想：∠BDC+∠ACD+∠A+∠ABD=360°． 证明：∠BDC+∠ACD+∠A+∠ABD =∠3+∠2+∠6+∠5+∠4+∠1

=（∠3+∠2+∠1）+（∠6+∠5+∠4） =180°+180°=360°．

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22.（1）图中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= °．

（2）如图，∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F=_________°．

（3）如图，求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数 °．

解：（1）∵∠1=∠C+∠D，∠2=∠E+∠F，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=∠A+∠B+∠1+∠2+∠G=0°．

(2)在四边形BEFG中， ∵∠EBG=∠C+∠D， ∠BGF=∠A+∠ABC，

∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F=∠EBG+∠BGF+∠E+∠F=360°．

(3)∵∠POA是△OEF的外角，∴∠POA=∠E+∠F． 同理：∠BPO=∠D+∠C．

∵∠A+∠B+∠BPO+∠POA=360°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．

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23.如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，求∠A的大小.

AFGBDCE

答案：80° 提示：∠A＝2∠BGC－∠BDC

24.在△ABC中，三个内角的度数均为正数，且∠A＜∠B＜∠C，4∠C＝7∠A，求∠B的度数.

4解：设∠C＝x°，则∠A＝(x)°，

711 ∠B＝180°－∠C－∠A＝180°－x°

7411由∠A＜∠B＜∠C，得x＜180－x＜x．

774解得70＜x＜84． ∵x是整数，∴ x＝77．

7故∠C＝77°，则∠A＝44°，∠B＝180°－77°－44°＝59°．

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