2020北京东城初三一模数学含答案

数 学 2020.5

学校

考生须

班级

姓名

教育ID号

1.本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟。 2.在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和教育ID号。 知 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。 5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。 一、选择题(本题共16分，每小题2分) 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1.2019年上半年北京市实现地区生产总值15212.5亿元，同比增长6.3%.总体来看，经济保持平稳运行，高质量发展.将数据15212.5用科学记数法表示应为 A.1.52125×105 C.0.152125×105

B.1.52125×104 D.152125×106

2.如图是某几何体的三视图，该几何体是

A.长方体 B.正方体 C.球 D.圆柱

3.如图，将一块含有30°角的直角三角板的顶点放在直尺的一边上.若∠1=48°，则∠2的度数是

A.48° C.92°

B.78° D.102°

4.将2𝑎2−8分解因式，结果正确的是

A.2(𝑎2−4)

B.2(𝑎−2)2

C.2(𝑎+2)(𝑎−2)

1 / 17

D.2(𝑎+2)2

5.点𝑂,𝐴,𝐵,𝐶在数轴上的位置如图所示，𝑂为原点，𝐴𝐶=1,𝑂𝐴=𝑂𝐵.若点𝐶所表示的数为𝑎，则点𝐵所表示的数为

A.−(𝑎+1)

B.−(𝑎−1)

C. 𝑎+1

D.𝑎−1

6.已知锐角∠𝐴𝑂𝐵，如图，

̂.交射线𝑂𝐵于点𝐷，（1）在射线𝑂𝐴上取一点𝐶.以点𝑂为圆心，𝑂𝐶长为半径作𝑀𝑁连接𝐶𝐷;

(2)分别以点𝐶，𝐷为圆心，𝐶𝐷长为半径作弧，两弧交于点𝑃，连接𝐶𝑃，𝐷𝑃; (3)作射线𝑂𝑃交𝐶𝐷于点𝑄.

根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是 A.𝐶𝑃//𝑂𝐵

B.𝐶𝑃=2𝑄𝐶 D.𝐶𝐷⊥𝑂𝑃

C.∠𝐴𝑂𝑃=∠𝐵𝑂𝑃

7.将4张长为𝑎、宽为𝑏(𝑎>𝑏)的长方形纸片按如图的方式拼成一个边长为(𝑎+𝑏)的正方形，图中空白部分的面积之和为𝑆1，阴影部分的面积之和为𝑆2.若𝑆1=3𝑆2，则𝑎,𝑏满足 A. 2𝑎=5𝑏

B. 2𝑎=3𝑏

C. 𝑎=3𝑏

D. 𝑎=2𝑏

5

8.党的十以来，全国各地认真贯彻精准扶贫方略，扶贫工作力度、深度和精准度都达到了新的水平，为2020年全面建成小康社会的战略目标打下了坚实基础.以下是根据近几年中国农村贫困人口数量(单位:万人)及分布情况绘制的统计图表的一部分.

2 / 17

(以上数据来源于国家统计局)

根据统计图表提供的信息，下面推断不正确的是 A.2018年中部地区农村贫困人口为597万人 B.2017-2019年，农村贫困人口数量都是东部最少 C.2016-2019年，农村贫困人口减少数量逐年增多

D.2017-2019年，虽然西部农村贫困人口减少数量最多，但是相对于东、中部地区，它的降低率最低 二、填空题(本题共16分，每小题2分)

9.若√2𝑥−1在实数范围内有意义，则实数𝑥的取值范围是

.

10.随机从1,2,3,4中任取两个不同的数，分别记为𝑎和𝑏，则𝑎+𝑏>4的概率是 11.若𝑥2+𝑥−3=0，则代数式2(𝑥−2)(𝑥+2)−𝑥(𝑥−1)的值是 . .

12.如果一个正𝑛边形的每个内角为108°，那么这个正𝑛边形的边数为

13.《九章算术》中有这样一个题:“今有醇酒一斗，直钱五十;行酒一斗，直钱一十.今将钱三十，得酒二斗.问醇、行酒各得几何?”其译文是:今有醇酒(优质酒))1斗，价值50钱;行酒(劣质酒))1斗，价值10钱.现有30钱，买得2斗酒.问醇酒、行酒各能买得多少?设醇酒为𝑥斗，行酒为𝑦斗，则可列二元一次方程组为

.

3 / 17

14.如图，半径为√3的⊙𝑂与边长为8的等边三角形𝐴𝐵𝐶的两边𝐴𝐵，𝐵𝐶都相切，连接𝑂𝐶，则𝑡𝑎𝑛∠𝑂𝐶𝐵=

15.甲、乙两队参加了“端午情，龙舟韵”赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程𝑠（米）与时间𝑡（秒）之间的函数图象如图所示，根据图象有以下四个判断： ①乙队率先到达终点； ②甲队比乙队多走了126米； ③在47.8秒时，两队所走路程相等；

④从出发到13.7秒的时间段内，甲队的速度比乙队的慢。 所有正确判断的序号是

。

16. 从−1，0，2，3四个数中任取两个不同的数（记作𝑎𝑘,𝑏𝑘）构成一个数对𝑀𝑘={𝑎𝑘,𝑏𝑘}（其中𝑘=1,2,···，𝑠,且将{𝑎𝑘,𝑏𝑘}与{𝑏𝑘,𝑎𝑘}视为同一个数对），若满足：对于任意的𝑀𝑖={𝑎𝑖,𝑏𝑖}和𝑀𝑗={𝑎𝑗,𝑏𝑗}(𝑖≠𝑗,1≤𝑖≤𝑠,1≤𝑗≤𝑠)都有𝑎𝑖+𝑏𝑖≠𝑎𝑗+𝑏𝑗，则𝑠的最大值是

。

三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 17.计算：|−√3|−(3−𝜋)0+2𝑐𝑜𝑠60°+(2)−1

2𝑥−6<3𝑥

𝑥−1 −≥0

1

18.解不等式组：{𝑥+2

19.观察下列分式方程的求解过程。指出其中错误的步骤，说明错误的原因，并直接给出正确结果.

解分式方程：1−2𝑥+2=𝑥+1

解：去分母，得2𝑥+2−(𝑥−3)=3𝑥·················步骤1 去括号，得2𝑥+2−𝑥−3=3𝑥····················· ····步骤2 移项，得2𝑥−𝑥−3𝑥=2−3······························步骤3 合并同类项，得−2𝑥=−1······················· ···········步骤4 解得𝑥=2····························································步骤5

1

𝑥−3

3𝑥

4 / 17

所以，原分式方程的解为𝑥=2····························步骤6 20.已知关于𝑥的方程𝑎𝑥2+2𝑥−3=0有两个不相等的实数根.

(1)求𝑎的取值范围;

(2)若此方程的一个实数根为1，求𝑎的值及方程的另一个实数根.

21.如图，在菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐵𝐸⊥𝐶𝐷于点𝐸，𝐷𝐹⊥𝐵𝐶于点𝐹.

（1）求证：𝐵𝐹=𝐷𝐸；

（2）分别延长𝐵𝐸和𝐴𝐷，交于点𝐺，若∠𝐴=45°，求𝐴𝐷的值。

𝐷𝐺

1

22. 如图，一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏(𝑘≠0)图象比反比例函数𝑦=

𝑚𝑥

(𝑚≠0,𝑥>0)的图象在第一象限内交于点𝐴，𝐵，

𝐶𝐷𝐶𝐸

且该一次函数的图象与𝑦轴正半轴交于点𝐶，过𝐴，𝐵分别作𝑦轴的垂线，垂足分别为𝐷，𝐸。已知𝐴(1,4),(1)求𝑚的值和一次函数的解析式;

=

4

1

(2)若点𝑀为反比例函数图象在𝐴,𝐵之间的动点,作射线𝑂𝑀交直线𝐴𝐵于点𝑁,当𝑀𝑁长度最大时,直接写出点𝑀的坐标.

5 / 17

23. 如图，直线𝑙与⊙𝑂相离，𝑂𝐴⊥𝑙于点𝐴，与⊙𝑂相交于点𝑃，𝑂𝐴=5，𝐶是直线𝑙上一点，连接𝐶𝑃并延长，交⊙𝑂于点𝐵，且𝐴𝐵=𝐴𝐶. （1）求证：𝐴𝐵是⊙𝑂的切线； （2）若𝑡𝑎𝑛∠𝐴𝐶𝐵=，求线段𝐵𝑃的长

21

24.人口数据又称为人口统计数据，是指国家和地区的相关人口管理部门通过户口登记、人口普查等方式统计得出的相关数据汇总.人口数据对国家和地区的人口状况、管理以及各项方针的制定都具有重要的意义.下面是关于人口数据的部分信息.

a.2018年中国(不含港澳台)31个地区人口数量(单位:千万人)的频数分布直方图 (数据分成6组:0≤𝑥<2,2≤𝑥<4,4≤𝑥<6,6≤𝑥<8,8≤𝑥<10,10≤𝑥≤12):

b.人口数量在2≤𝑥<4这一组的是: 2.2 2.4

2.5

2.5

2.6

2.7

3.1

3.6

3.7

3.8

3.9

3.9

c. 2018年中国(不含港澳台)31个地区人口数量(单位:千万人)、出生率(单位:%0)、死亡率(单位:%0。)的散点图:

6 / 17

d.下表是我国三次人口普查中年龄结构构成情况:

第二次人口普查 第五次人口普查 第六次人口普查 0~14岁人口比例 40.4% 22.% 16.6% 15~59岁人口比例 .1% 66.78% 70.14% 60岁以上人口比例 5.5% 10.33% 13.26% e.世界各国的人口出生率差别很大，出生率可分为五等，最高>50%0，最低<20%0.2018年我国人口出生率降低至10.94%0，比2017年下降1.43个千分点. 根据以上信息，回答下列问题:

(1)2018年北京人口为2.2千万人。我国(不含港澳台)地区中，人口数量从低到高排列，北京排在第

位。

(2)人口增长率=人口出生率-人口死亡率，我国(不含港澳台)地区中人口在2018年出现负增长的地区有

个，在这些地区中，人口数量最少的地区人数为

。

千万人(保留小数点后一位).

(3)下列说法中合理的是

①我国人口基数较大，即使是人口出生率和增长率都缓慢增长的前提下，人口总数仍然是在不断攀升的，所以我国计划生育的基本国策是不变的;

②随着我国老龄化越来越严重，所以出台了“二孩”，目的是为了缓解老龄化的压力.

25.如图，𝑃是线段𝐴𝐵上的一点，𝐴𝐵=6𝑐𝑚,𝑂是𝐴𝐵外一定点.连接𝑂𝑃，将𝑂𝑃绕点𝑂顺时针旋转120°得𝑂𝑄，连接𝑃𝑄,𝐴𝑄.

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小明根据学习函数的经验，对线段𝐴𝑃,𝑃𝑄,𝐴𝑄的长度之间的关系进行了探究.下面是小明的探究过程，请补充完整:

(1)对于点𝑃在𝐴𝐵上的不同位置，画图、测量，得到了线段𝐴𝑃,𝑃𝑄,𝐴𝑄的长度(单位:𝑐𝑚)的几组值。如下表:

𝐴𝑃 𝑃𝑄 𝐴𝑄 位置1 0.00 4.00 4.00 位置2 1.00 2.31 3.08 位置3 2.00 0.84 2.23 位置4 3.00 1.43 1.57 的长度是自变量，

位置5 4.00 3.07 1.40

位置6 5.00 4.77 1.85 的长度和

位置7 6.00 6.49 2.63 的

在𝐴𝑃，𝑃𝑄，𝐴𝑄的长度这三个量中，确定 长度都是这个自变量的函数;

(2)在同一平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，画出(1)中所确定的函数的图象;

(3)结合函数图象，解决问题:当𝐴𝑄=𝑃𝑄时，线段𝐴𝑃的长度约为

𝑐𝑚

26.在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点.直线𝑦=𝑎𝑥与抛物线𝑦=𝑎𝑥2−2𝑎𝑥−1(𝑎≠0)围成的封闭区域(不包含边界)为𝑊. (1)求抛物线顶点坐标(用含𝑎的式子表示); (2)当𝑎=2，与出区域𝑊内的所有整点坐标; (3)若区域𝑊内有3个整点，求𝑎的取值范围.

1

8 / 17

27.如图，在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=3,𝑀是𝐶𝐷边上一动点(不与𝐷点重合)，点𝐷与点𝐸关于𝐴𝑀所在的直线对称，连接𝐴𝐸,𝑀𝐸，延长𝐶𝐵到点𝐹，使得𝐵𝐹=𝐷𝑀，连接𝐸𝐹，𝐴𝐹. (1)依题意补全图1;

(2)若𝐷𝑀=1，求线段𝐸𝐹的长;

(3)当点𝑀在𝐶𝐷边上运动时.能使△𝐴𝐸𝐹为等腰三角形，直接写出此时𝑡𝑎𝑛∠𝐷𝐴𝑀的值.

̂上的所有点都在△𝐴𝐵𝐶的内部或边上，则称𝐶𝐷̂为△𝐴𝐵𝐶的中线弧. 28.在△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，如果𝐶𝐷

(1)在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°,𝐴𝐶=1.𝐷是𝐴𝐵的中点.

̂，直接写出△𝐴𝐵𝐶的中线弧𝐶𝐷̂所在圆的半径𝑟的最小①如图1，若∠𝐴=45°,画出△𝐴𝐵𝐶的一条中线弧𝐶𝐷值;

̂的弧长𝑙. ②如图2，若∠𝐴=60°，求出△𝐴𝐵𝐶的最长的中线弧𝐶𝐷

̂(2)在平面直角坐标系中，已知点𝐴(2,2),𝐵(4，0),𝐶(0,0)，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷是𝐴𝐵的中点.求△𝐴𝐵𝐶的中线弧𝐶𝐷所在圆的圆心𝑃的纵坐标𝑡的取值范围.

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2020北京东城初三一模数学

参

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

题号 答案 二、 9．x1 B 2 D 3 D 4 C 5 B 6 A 7 C 8 C 填空题（本题共16分，每小题2分） 12 10． 11． −5 12．5 2313．50x+10y=30,33○4 16．5 14． 15．○

5x+y=2.三.解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题每小题7分） 17.解：原式=3−1+1+2 -----------------4分 3+2. -----------------5分

=18．解：

1得，x＞－6. --------------2分 由○

2得，x≤13. --------------4分 由○

∴不等式的解集为－6＜x≤13. ---------------5分

19.解：错误的步骤是：第一步、第二步、第三步、第六步，理由略. --------------4分 正确的结果是x=1. ---------------5分 20.解：（1）∵关于x的方程ax+2x－3＝0有两个不相等的实数根，

∴△＞0，且a≠0.

即2-4a(−3)＞0，且a≠0．

22

1−a＞且a≠0. -----------------3分 ∴ 3 10 / 17

（2）将x=1代入方程ax+2x－3＝0， 解得a=1.

将a=1代入方程ax+2x－3＝0， 解方程得 x1=1,x2=−3.

∴ 方程的另一个根为x=−3. -----------------5分 21．

解：（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，

∴ CB=CD.

又∵ BE⊥CD于点E，DF⊥BC于点F， ∴ ∠BEC=∠DFC=90°. ∵ ∠C=∠C， ∴ △BEC≌△DFC. ∴ EC=FC.

∴ BF=DE. -----------------------------------2分 （2）设AD=2a，

∵∠A=45°，

∴△DEG和△BEC都是等腰直角三角形. ∵四边形ABCD是菱形，

2

2

∴

DGDGDE==. ADBCCE可求出CE=a,DE=(2−1)a.

∴

DG=2-1.-----------------------------------5分 ADm, x 11 / 17

22.解：（1）将点A（4，1）代入y=得 m=4 .

∴反比例函数解析式为y=4. x∵BE⊥y轴，AD⊥y轴， ∴∠CEB＝∠CDA＝90°. ∴△CDA∽△CEB.

∴

CDAD=. CEBECD1=， CE4∵

∴BE＝4AD. ∵A（1，4）， ∴AD＝1. ∴BE＝4. ∴xB＝4. ∴yB=𝑥=1. ∴B（4，1）.

将A（1，4），B（4，1）代入y＝kx+b，

4

k+b=4,得， 

4k+b=1.解得，k＝﹣1，b＝5.

∴一次函数的解析式为 y＝﹣x+5. ………………………………3分

（2）当MN长度最大时，点M的坐标为（2，2）. ………………………………5分 23. 解：(1) 证明：如图，连结OB，则OP=OB.

OBP=OPB=CPA.

AB=AC，

12 / 17

ACB=ABC.

而OA⊥l，即OAC=90.

ACB+CPA=90.

即ABP+OBP=90.

ABO=90，

OB⊥AB，故AB是⊙O的切线. ………………………………2分

2）∵ tan∠ACB=12， ∴ 在Rt△ACP中，设AP=x,AC=2x. ∵ OA=5， ∴ OP=5−x. ∴ OB=5−x.

AB=AC，

∴AB=2x. ∵ABO=90，

由勾股定理，得OB2+AB2=OA2.

即（

5-x)2+（2x）2=52. 解得 x=2. ∴ AP=2. ∴OB=OP=3. ∴AB=AC=4. ∴ CP=25.

过O作OD⊥PB于D， 在△ODP和△CAP中，

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（ OPD=CPA，ODP=CAP=90，

∴△ODP∽△CAP.

ODBPDOPOD==. PACPCAPD=OPPA3=5. CP565. ………………………………6分 5PCAlBP=2PD=24．解：

（1）6； ----------------2分 （2）2，3.8； ------------------4分 （3）①② . -----------------6分 25.解： (1)AP，PQ，AQ； ------------------3分

(2)如图所示：

-----------------5分

(3)线段AP的长度约为3.07cm．-----------------6分 26．解：（1）y=ax2 -2ax-1=a(x−1)−a−1.

∴ 抛物线顶点坐标为（1， -a-1）. -----------------2分

2（2）当a=

1112时，画出直线y=x和抛物线y=x−x−1围成的封闭区域W. 222∴ 区域W内的所有整点坐标分别为(1,0)，(2,0)，(1,-1)，(3,1). -----------------4分

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1a＞0， （3）○

当a=

1111时，区域W内的所有整点有4个；当a＞时，区域W内的所有整点多于3个；当＜a＜2232时，区域W内的所有整点有4个；当a=的所有整点多于3个. 2a＜0， ○

11时，区域W内的所有整点有3个；当0＜a＜时，区域W内33当-1≤a＜0时，区域W内的所有整点有0个；当a＜−3时，区域W内的所有整点多于3个. 2∴ 区域W内有3个整点，a的取值范围是-3a−1. 2综上，a的取值范围是 a=

13或-a−1. -----------------6分 3227. 解：（1）补全图形如图1所示. -----------------1分

（2）如图2，连接BM．

∵点D与点E关于AM所在的直线对称， ∴AE=AD，∠MAD=∠MAE． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB，∠D=∠ABF=90°.

又∵DM = BF， 图1 ∴△ADM≌△ABF. ∴AF=AM，∠FAB=∠MAD． ∴∠FAB=∠MAE.

∴∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠MAE． ∴∠FAE=∠MAB． ∴△FAE≌△MAB（SAS）． ∴EF=BM．

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∵四边形ABCD是正方形，

∴BC=CD=AB=3． 图2 ∵DM=1， ∴CM=2．

∴在Rt△BCM中，BM=CM2+BC2=13. ∴EF=13. -----------------5分

（3）当点M在CD边上运动时，若使△AEF为等腰三角形，则

tan∠DAM=1或

1. …………………………………7分 228．（1）①如图（答案不唯一）

中线弧CD所在圆的半径r的最小值为

1． -----------------2分 2②当中线弧CD所在圆与AC，AB都相切时，中线弧CD的弧长l最大．

如图，此时中线弧CD所在圆的圆心在BC上，半径为

3． 3所以最大弧长l=1203232π=π． -----------------3分 36039(2) △ABC的中弧线CD所在圆的圆心P在CD的垂直平分线上．

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如图，若中弧线CD在CD 下方，

当中弧线CD所在圆与BC相切时，可得圆心P的坐标为（0,5）．

所以△ABC的中弧线CD所在圆的圆心P的纵坐标t5． 如图，若中弧线CD在CD 上方，

当中弧线CD所在圆与AC相切时，可得圆心P的坐标为（

55，−）． 22

所以△ABC的中弧线CD所在圆的圆心P的纵坐标t−5． 2综上，△ABC的中弧线CD所在圆的圆心P的纵坐标t的取值范围为： t5或t−5． 2……………………………………………………7分

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