机械能守恒2多物体机械能守恒问题

一、轻杆连接系统机械能守恒 1、模型构建

轻杆两端各固定一个物体，整个系统一起沿斜面运动或绕某点转动或关联运动，该系统即为机械能守恒中的轻杆模型． 2、模型条件

(1)．忽略空气阻力和各种摩擦．

(2)．平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等，关联运动时沿杆方向速度相等。 3、模型特点

(1)．杆对物体的作用力并不总是指向杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒． (2)．对于杆和球组成的系统，没有外力对系统做功，因此系统的总机械能守恒．

L

例1．[转动]质量分别为m和2m的两个小球P和Q，中间用轻质杆固定连接，杆长为L，在离P球处有一个光滑固定

3轴O，如图8所示．现在把杆置于

水平位置后自由释放，在Q球顺时针摆动到最低位置时，求：

图8

(1)小球P的速度大小；

(2)在此过程中小球P机械能的变化量．

2gL4

答案 (1) (2)增加mgL

39

解析 (1)两球和杆组成的系统机械能守恒，设小球Q摆到最低位置时P球的速度为v，由于P、Q两球的角速度相等，Q球运动半径是P球运动半径的两倍，故Q球的速度为2v.由机械能守恒定律得 2111

2mg·L－mg·L＝mv2＋·2m·(2v)2，

3322

2gL

解得v＝.

3

114

(2)小球P机械能增加量ΔE＝mg·L＋mv2＝mgL

329

[跟踪训练] .如图5－3－7所示，在长为L的轻杆中点A和端点B各固定一质量为m的球，杆可绕无摩擦的轴O转动，使杆从水平位置无初速度释放。求当杆转到竖直位置时，轻杆对A、B两球分别做了多少功？

图5－3－7

解析：设当杆转到竖直位置时，A球和B球的速度分别为vA和vB。如果把轻杆、两球组成的系统作为研究对象，那么由于杆和球的相互作用力做功总和等于零，故系统机械能守恒。

1121

若取B的最低点为重力势能参考平面，可得：2mgL＝mv2A＋mvB＋mgL又因A球与B球在各个时刻对应的角速度相222同，故vB＝2vA

由以上二式得：vA＝

3gL，vB＝512gL。 5根据动能定理，可解出杆对A、B做的功。

L12

对A有：WA＋mg＝mvA －0，所以WA＝－0.2mgL。

2212

对B有：WB＋mgL＝mvB －0，所以WB＝0.2mgL。

2

1 / 7

答案：－0.2mgL 0.2mgL 例2、[平动]

图5－3－9

如图5－3－9所示，倾角为θ的光滑斜面上放有两个质量均为m的小球A和B，两球之间用一根长为L的轻杆相连，下面的小球B离斜面底端的高度为h.两球从静止开始下滑，不计球与地面碰撞时的机械能损失，且地面光滑，求：

(1)两球在光滑水平面上运动时的速度大小； (2)整个运动过程中杆对A球所做的功．

【解析】 (1)因为没有摩擦，且不计球与地面碰撞时的机械能损失，两球在光滑地面上运动时的速度大小相等，设为

v，根据机械能守恒定律有：

L12

2mg(h＋sin θ)＝2×mv

2

2

解得：v＝2gh＋gLsin θ.

(2)因两球在光滑水平面上运动时的速度v比B单独从h处自由滑下的速度2gh大，增加的机械能就是杆对B做正功的结果．B增加的机械能为

121

ΔEkB＝mv－mgh＝mgLsin θ

22

因系统的机械能守恒，所以杆对B球做的功与杆对A球做的功的数值应该相等，杆对B球做正功，对A球做负功，所以

1

杆对A球做的功W＝－mgLsin θ.

2

1

【答案】 (1)2gh＋gLsin θ (2)－mgLsin θ

2

[跟踪训练].如图8所示，在倾角θ＝30°的光滑固定斜面上，放有两个质量分别为1 kg和2 kg的可视为质点的小球A和B，两球之间用一根长L＝0.2 m的轻杆相连，小球B距水平面的高度h＝0.1 m．两球由静止开始下滑到光滑地面上，不计球与地面碰撞时的机械能损失，g取10 m/s2.则下列说法中正确的是( )

图8

A．整个下滑过程中A球机械能守恒 B．整个下滑过程中B球机械能守恒

22

C．整个下滑过程中A球机械能的增加量为 J D．整个下滑过程中B球机械能的增加量为 J

33答案 D

解析 在下滑的整个过程中，只有重力对系统做功，系统的机械能守恒，但在B球沿水平面滑行，而A沿斜面滑行时，杆的

1

弹力对A、B球做功，所以A、B球各自机械能不守恒，故A、B错误；根据系统机械能守恒得：mAg(h＋Lsin θ)＋mBgh＝

2

212

(mA＋mB)v2，解得：v＝6 m/s，系统下滑的整个过程中B球机械能的增加量为mBv2－mBgh＝ J，故D正确；A球的机械

3232

能减少量为 J，C错误．

3

例3．[联动](2015·新课标全国Ⅱ·21)(多选)如图5，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上．a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动．不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g.则( )

2 / 7

图5

A．a落地前，轻杆对b一直做正功 B．a落地时速度大小为2gh

C．a下落过程中，其加速度大小始终不大于g D．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg 答案 BD

解析 滑块b的初速度为零，末速度也为零，所以轻杆对b先做正功，后做负功，选项A错误；以滑块a、b及轻杆为研究

12

对象，系统的机械能守恒，当a刚落地时，b的速度为零，则mgh＝mva ＋0，即va＝2gh，选项B正确；a、b的先后受力

2分析如图甲、乙所示．

由a的受力情况可知，a下落过程中，其加速度大小先小于g后大于g，选项C错误；当a落地前b的加速度为零(即轻杆对b的作用力为零)时，b的机械能最大，a的机械能最小，这时b受重力、支持力，且FNb＝mg，由牛顿第三定律可知，b对地面的压力大小为mg，选项D正确． [跟踪训练].．

内壁光滑的环形凹槽半径为R，固定在竖直平面内，一根长度为2R的轻杆，一端固定有质量为m的小球甲，另一端固定有

质量为2m的小球乙，将两小球放入凹槽内，小球乙位于凹槽的最低点，如图6所示．由静止释放后

( )

图6

A．下滑过程中甲球减少的机械能总等于乙球增加的机械能 B．下滑过程中甲球减少的重力势能总等于乙球增加的重力势能 C．甲球可沿凹槽下滑到槽的最低点

D．杆从右向左滑回时，乙球一定能回到凹槽的最低点 答案 AD

解析 根据题设条件可知甲、乙两小球组成的系统满足机械能守恒定律，故A、D对，B错；由于乙球的质量大 于甲球的质量，所以甲球不可能沿凹槽下滑到槽的最低点，否则就不满足机械能守恒，C错． 二、轻绳连接系统机械能守恒

例1 .甲、乙两物体用细线相连，跨过两光滑滑轮按如图12所示方式连接，滑轮上方放置一竖直的光滑半圆形轨道，甲物体与地面接触，乙物体紧挨滑轮位置，两滑轮到地面距离与半圆轨道直径相等，且与圆心在同一水平线上。若两滑轮与甲、乙物体均视为质点，且两滑轮之间距离可视为与半圆轨道直径相等，现将乙由静止开始释放，甲物体向上运动到圆弧轨道后，恰好能沿半圆轨道做圆周运动，则甲、乙两物体质量之比为( )

图12

A.1∶7 C.1∶5

B.1∶6 D.1∶4

3 / 7

解析 设甲、乙两物体质量分别为m1、m2，轨道半径为R，当乙下落到地面、甲运动到半圆轨道下端时，由题意知，对系

1

统由机械能守恒定律可得2m2gR－2m1gR＝(m2＋m1)v2，甲球恰好能做圆周运动，则甲球在圆轨道最高点时必有m1g＝

2m1v2111

，甲由轨道下端运动到最高点过程中由机械能守恒定律可得：m1v2＝m1gR＋m1v21，联立以上各式可得：m2＝7m1，则R22A正确。

答案 A

[跟踪训练].．如图12所示，质量分别为2m和m的A、B两物体用不可伸长的轻绳绕过轻质定滑轮相连，开始两物体处于同一高度，绳处于绷紧状态，轻绳足够长，不计一切摩擦．现将两物体由静止释放，在A落地之前的运动中，下列说法中正确的是( )

图12

g

A．A物体的加速度为 B．A、B组成系统的重力势能增大

2

12

C．下落t秒时，B所受拉力的瞬时功率为mg2t D．下落t秒时，A的机械能减少了mg2t2

39答案 D

2mg－mg1

解析 A与B的加速度大小相等，根据牛顿第二定律得：对A、B整体有：a＝＝g，故A错误；A、B组成系统的

2m＋m3

4mg1

机械能不变，动能增大，重力势能减小，故B错误；B受到的拉力：F＝m(g＋a)＝，下落t秒时，B的速度：v＝at＝

3344

gt，所受拉力的瞬时功率为P＝Fv＝mg2t，C错误；对A有：2mg－FT＝2ma，得细绳的拉力FT＝mg.下落t秒时，A下落

93

1122

的高度为h＝at2＝gt2，则A克服细绳拉力做功为W＝FTh＝mg2t2.根据功能关系得知：A的机械能减少量为ΔEA＝W＝

2699mg2t2，故D正确．

多物体机械能守恒问题 (1)多物体机械能守恒问题的分析方法：

①对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒． ②注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系． ③列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp的形式． (2)多物体机械能守恒问题的三点注意： ①正确选取研究对象． ②合理选取物理过程．

③正确选取机械能守恒定律常用的表达形式列式求解．

专题训练：

1 如图5－3－2所示，质量分别为m和2m的两个小球A和B，中间用轻质杆相连，在杆的中点O处有一固定转动轴，把杆置于水平位置后释放，在B球顺时针摆动到最低位置的过程中(不计一切摩擦)( )

4 / 7

图5－3－2

A．B球的重力势能减少，动能增加，B球和地球组成的系统机械能守恒 B．A球的重力势能增加，动能也增加，A球和地球组成的系统机械能不守恒 C．A球、B球和地球组成的系统机械能守恒 D．A球、B球和地球组成的系统机械能不守恒

[解析] A球在上摆过程中，重力势能增加，动能也增加，机械能增加，B项正确；由于A球、B球和地球组成的系统只有重力做功，故系统的机械能守恒，C项正确，D项错误；所以B球和地球组成系统的机械能一定减少，A项错误。

[答案] BC 2.

图5－3－11

(多选)轻杆AB长2L，A端连在固定轴上，B端固定一个质量为2m的小球，中点C固定一个质量为m的小球．AB杆可以绕A端在竖直平面内自由转动．现将杆置于水平位置，如图5－3－11所示，然后由静止释放，不计各处摩擦与空气阻力，则下列说法正确的是( )

A．AB杆转到竖直位置时，角速度为

10g 9L4

B．AB杆转到竖直位置的过程中，B端小球的机械能的增量为mgL

9

C．AB杆转动过程中杆CB对B球做正功，对C球做负功，杆AC对C球做正功 D．AB杆转动过程中，C球机械能守恒

【解析】 在AB杆由静止释放到转到竖直位置的过程中，以B球的最低点为零势能点，根据机械能守恒定律有：

12

12

10g，A项正确．在此过程中，B端小球机械能9Lmg·2L＋2mg(2L)＝mgL＋×2m(ω·2L)2＋m(ωL)2，解得角速度ω＝142

的增量为：ΔEB＝E末－E初＝·2m(ω·2L)－2mg·(2L)＝mgL，B项正确．AB杆转动过程中，杆AC对C球不做功，杆CB29对C球做负功，对B球做正功，C项错．C球机械能不守恒，B、C球系统机械能守恒，D项错．

【答案】 AB

1

3 (多选)如图5所示，有一光滑轨道ABC，AB部分为半径为R的圆弧，BC部分水平，质量均为m的小球a、b固定在

4竖直轻杆的两端，轻杆长为R，不计小球大小。开始时a球处在圆弧上端A点，由静止释放小球和轻杆，使其沿光滑轨道下滑，下列说法正确的是( )

图5

A．a球下滑过程中机械能保持不变

5 / 7

B．a、b两球和轻杆组成的系统在下滑过程中机械能保持不变 C．a、b滑到水平轨道上时速度为2gR

D．从释放到a、b滑到水平轨道上，整个过程中轻杆对a球做的功为

mgR

2

解析：选BD 由机械能守恒的条件得，a球机械能不守恒，a、b系统机械能守恒，所以A错误，B正确。对a、b系统

11

由机械能守恒定律得：mgR＋2mgR＝2×mv2，解得v＝3gR，C错误。对a由动能定理得：mgR＋W＝mv2，解得W＝

22

mgR

，D正确。 2

4. [绳连接的系统机械能守恒]如图7，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍．当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高．将A由静止释放，B上升的最大高度是( )

图7

5R4R2R

A．2R B. C. D.

333答案 C

12

解析 设A球刚落地时两球速度大小为v，根据机械能守恒定律得，2mgR－mgR＝(2m＋m)v2，解得v2＝gR，B球继续上

23

2

vR4

升的高度h＝＝，B球上升的最大高度为h＋R＝R.

2g335.如图13所示，一轻杆两端分别固定质量均为m的小球A和B，放置于半径为R的光滑半圆轨道中，A球与圆心等高，B球恰在半圆的最低点，然后由静止释放，求在运动过程中两球的最大速度的大小．

图13

答案

2－1gR

解析 当杆处于水平状态时，A、B两球组成的系统重心最低，两球速度最大，A球下降的高度ΔhA＝R·cos 45°，B球上升的高度ΔhB＝R(1－cos 45°)

由两球角速度相等知：两球速度大小相等，设为v.

1

由机械能守恒得：mgΔhA＝mgΔhB＋·2mv2

2

解得：v＝

6、如图5所示，一半径为R的光滑半圆柱水平悬空放置，C为圆柱最高点，两小球P、Q用一轻质细线悬挂在半圆柱上，水平挡板AB及两小球开始时位置均与半圆柱的圆心在同一水平线上，水平挡板AB与半圆柱间有一小孔能让小球通过，两小球质量分别为mP＝m，mQ＝4m，水平挡板到水平面EF的距离为h＝2R，现让两小球从图示位置由静止释放，当小球P到达最高点C时剪断细线，小球Q与水平面EF碰撞后等速反向被弹回，重力加速度为g，不计空气阻力，取π≈3。求：

2－1gR

图5

(1)小球P到达最高点C时的速率vC； (2)小球P落到挡板AB上时的速率v1； (3)小球Q反弹后能上升的最大高度hmax。

6 / 7

解析 (1)取两小球及细线为系统且圆心所在水平面为零势能面，则在小球P到达最高点C的过程中，系统满足机械能守

11

恒，有－mQg××2πR＋mPgR＋(mP＋mQ)v2C＝0，解得vC＝2gR。 42112

(2)因vC＞gR，所以剪断细线后小球P做平抛运动，由机械能守恒定律知mPgR＋mPv2C＝mPv1，解得v1＝2gR。 22

11

(3)剪断细线后，小球Q做竖直下抛运动，反弹后做竖直上抛运动到最高点，满足机械能守恒，则有－mQg××2πR＋mQv2C

42

3

＝－mQg(h－hmax)，解得hmax＝R。

23

答案 (1)2gR (2)2gR (3)R

2

7、 (2015·济南模拟)半径为R的光滑圆环竖直放置，环上套有两个质量分别为m和3m的小球A和B。A、B之间用一长为2R的轻杆相连，如图5­3­6所示。开始时，A、B都静止，且A在圆环的最高点，现将A、B释放，试求：

图5­3­6

(1)B球到达最低点时的速度大小；

(2)B球到达最低点的过程中，杆对A球做的功； (3)B球在圆环右侧区域内能达到的最高点位置。 [审题指导]

(1)A、B和轻杆组成的系统机械能守恒。

(2)因OA⊥OB，两球沿杆方向的分速度相等，两球速度大小始终相同。 (3)由系统机械能守恒可知，B球一定能到达右侧区域高于O点的位置。

11

[解析] (1)释放后B到达最低点的过程中A、B和杆组成的系统机械能守恒，mAgR＋mBgR＝mAvA2＋mBvB2，

22又OA⊥OB，AB杆长＝2R，故OA、OB与杆间夹角均为45°，可得vA＝vB，解得：vB＝2gR。 (2)对小球A应用动能定理可得：

1

W杆A＋mAgR＝mAvA2，又vA＝vB

2解得杆对A球做功W杆A＝0。

(3)设B球到达右侧最高点时，OB与竖直方向之间的夹角为θ，取圆环的圆心O为零势面， 由系统机械能守恒可得： mAgR＝mBgRcos θ－mAgRsin θ， 代入数据可得θ＝30°，

所以B球在圆环右侧区域内达到最高点时，高于圆心O的高度hB＝Rcos θ＝[答案] (1)2gR (2)0 (3)高于O点

3

R处 2

3R。 2

7 / 7