班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
1． [2017·全国卷Ⅰ] 如图，一玻璃工件的上半部是半径为R的半球体，O点为球心；下半部是半径为R、高为2R的圆柱体，圆柱体底面镀有反射膜．有一平行于中心轴OC的光线从半球面射入，该光线与OC之间的距离为0.6R.已知最后从半球面射出的光线恰好与入射光线平行(不考虑多次反射)．求该玻璃的折射率．
图1 A．波长为2 m B．波速为6 m/s
图1
2． [2017·全国卷Ⅱ] [物理—选修3-4]
(1)在“双缝干涉”实验中，用绿色激光照射在双缝上，在缝后的屏幕上显示出干涉图样．若要增大干涉图样中两相邻亮条纹的间距，可选用的方法是________． A．改用红色激光 B．改用蓝色激光 C．减小双缝间距
D．将屏幕向远离双缝的位置移动 E．将光源向远离双缝的位置移动
(2)一直桶状容器的高为2l，底面是边长为l的正方形；容器内装满某种透明液体，过容器中心轴DD′、垂直于左右两侧面的剖面图如图所示．容器右侧内壁涂有反光材料，其他内壁涂有吸光材料．在剖面的左下角处有一点光源，已知由液体上表面的D点射出的两束光线相互垂直，求该液体的折射率．
图1 大值；
R
(ⅱ)距光轴的入射光线经球面折射后与光轴的交点到
3O点的距离．
4． （2016·全国卷Ⅲ） 如图1-所示，玻璃球冠的折射
3
率为3，其底面镀银，底面的半径是球半径的倍；
2
在过球心O且垂直于底面的平面(纸面)内，有一与底面垂直的光线射到玻璃球冠上的M点，该光线的延长线恰好过底面边缘上的A点．求该光线从球面射出的方向相
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3． [2017·全国卷Ⅲ](1)如图所示，一列简谐横波沿x轴正方向传播，实线为t＝0时的波形图，虚线为t＝0.5 s时的波形图．已知该简谐波的周期大于0.5 s．关于该简谐波，下列说法正确的是________．
C．频率为1.5 Hz
D．t＝1 s时，x＝1 m处的质点处于波峰 E．t＝2 s时，x＝2 m处的质点经过平衡位置
(2)如图所示，一半径为R的玻璃半球，O点是半球的球心，虚线OO′表示光轴(过球心O与半球底面垂直的直线)．已知玻璃的折射率为1.5.现有一束平行光垂直入射到半球的底面上，有些光线能从球面射出(不考虑被半球的内表面反射后的光线)．求：
(ⅰ)从球面射出的光线对应的入射光线到光轴距离的最
图1
对于其初始入射方向的偏角．
E.已知弹簧振子初始时刻的位置及其振动周期，就可知振子在任意时刻运动速度的方向
（2）如图，半径为R的半球形玻璃体置于水平桌面上，半球的上表面水平，球面与桌面相切于A点。一细束单色光经球心O从空气中射入玻璃体内（入射面即纸面），
入射角为45°，出射光线射在桌面上B点处。测得AB之间的距离为
图1-
R .现将入射光束在纸面内向左平移，求2射入玻璃体的光线在球面上恰好发生全反射时，光束在
5． （2016·全国卷Ⅰ） 如图1-，在注满水的游泳池的
上表面的入射点到O点的距离。不考虑光线在玻璃体内的多次反射。
池底有一点光源A，它到池边的水平距离为3.0 m．从点光源A射向池边的光线AB与竖直方向的夹角恰好等于
4
全反射的临界角，水的折射率为.
3
图1-
(i)求池内的水深；
(ii)一救生员坐在离池边不远处的高凳上，他的眼睛到池面的高度为2.0 m．当他看到正前下方的点光源A时，他的眼睛所接受的光线与竖直方向的夹角恰好为45°.求救生员的眼睛到池边的水平距离(结果保留1位有效数字)．
6． (2016·海南)（1）下列说法正确的是________________。
A.在同一地点，单摆做简谐振动的周期的平方与其摆长成正比
B.弹簧振子做简谐振动时，振动系统的势能与动能之和保持不变
C.在同一地点，当摆长不变时，摆球质量越大，单摆做简谐振动的周期越小
D.系统做稳定的受迫振动时，系统振动的频率等于周期性驱动力的频率
7． (2015·江苏卷)人造树脂是常用的眼镜镜片材料．如图所示，光线射在一人造树脂立方体上，经折射后，射在桌面上的P点．已知光线的入射角为30°，OA＝5 cm，AB＝20 cm，BP＝12 cm，求该人造树脂材料的折射率
n.
8． (2014·课标全国Ⅰ)一个半圆柱形玻璃砖，其横截面是半径为R的半圆，AB为半圆的直径，O为圆心，如图所示。玻璃的折射率为n＝2。
(1)一束平行光垂直射向玻璃砖的下表面。若光线到达上表面后，都能从该表面射出，则入射光束在AB上的最大宽度为多少？
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(2)一细束光线在O点左侧与O相距
3R处垂直于AB2
12．（2012海南卷）一赛艇停在平静的水面上，赛艇前端有一标记P离水面的高度为h1=0.6m，尾部下端Q略高于水面；赛艇正前方离赛艇前端S1=0.8m处有一浮标，示意如图。一潜水员在浮标前方S2=3.0m处下潜到深度为h2=4.0m时，看到标记刚好被浮标挡住，此处看不到船尾端Q；继续下潜△h=4.0m，恰好能看见Q。求 （1）水的折射率n；
（2）赛艇的长度l。（可用根式表示）
从下方入射，求此光线从玻璃砖射出点的位置。
9． (2014·新课标Ⅱ·34(2))一厚度为h的大平板玻璃水平放置，其下表面贴有一半径为r的圆形发光面.在玻璃板上表面放置一半径为R的圆纸片，圆纸片与圆形发光面的中心在同一竖直线上.已知圆纸片恰好能完全遮挡住从圆形发光面发出的光线(不考虑反射)，求平板玻璃的折射率.
10．(2013·课标全国Ⅰ)图示为一光导纤维(可简化为一长玻璃丝)的示意图，玻璃丝长为L，折射率为n，AB代表端面。已知光在真空中的传播速度为c。
13．(2011·全国卷)一半圆柱形透明物体横截面如图3－2所示，底面AOB镀银(图中粗线)，O表示半圆截面的圆心，一束光线在横截面内从M点入射，经过AB面反
(1)为使光线能从玻璃丝的AB端面传播到另一端，求光线在端面AB上的入射角应满足的条件；
(2)求光线从玻璃丝的AB端面传播到另一端面所需的最长时间。
11．(2012·海南卷)一玻璃三棱镜，其横截面为等腰三角形，顶角θ为锐角，折射率为2.现在横截面内有一光线从其左侧面上半部射入棱镜．不考虑棱镜内部的反射．若保持入射线在过入射点的法线的下方一侧(如图所示)，且要求入射角为任何值的光线都会从棱镜的右侧面射出，则顶角θ可在什么范围内取值？
射后从N点射出，已知光线在M点的入射角为30°，∠MOA＝60°，∠NOB＝30°。求：
图3－2
(1)光线在M点的折射角； (2)透明物体的折射率。
14．（2009年海南物理）如图，一透明半圆柱体折射率为n=2，半径为R、长为L。一平行光束从半圆柱体的矩形表面垂直射入，从部分柱面有光线射出。球该部分柱面的面积S。
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15．一玻璃立方体中心有一点状光源．今在立方体的部分表面镀上不透明薄膜，以致从光源发出的光线只经过一次折射不能透出立方体，已知该玻璃的折射率为 2，求镀膜的面积与立方体表面积之比的最小值．
16．(原创)如图所示，一横截面为半圆玻璃砖和一横截面为等腰直角三角形的玻璃砖紧密连接，O为半圆的圆心，AB=AC=2R,已知两玻璃砖的折射率均为n=1.5．在AC间有一束平行光垂直AC入射到玻璃砖表面上，有些光线能从球面射出(不考虑被半球的内表面反射后的光线)．试求：
设光线在半球面的入射角为i，折射角为r.由折射定律有
sin i＝nsin r ① 由正弦定理有 sin rsin（i－r）
＝ ② 2RR
由几何关系，入射点的法线与OC的夹角为i.由题设条件和几何关系有
L
sin i＝ ③
R
式中L是入射光线与OC的距离．由②③式和题给数据
6
得sin r＝ ④
205由①③④式和题给数据得 n＝2.05≈1.43 ⑤
2． 【答案】 (1)ACD (2)1.55
l
【解析】 (1)两相邻亮条纹间距Δx＝λ，因λ红>λ绿，所
d以Δx
绿，B
红>Δx绿，故改用红色激光后，干涉图样中两相邻
亮条纹的间距增大，A正确；因λ蓝<λ绿，所以Δx蓝<Δx
错误；减小双缝间距d会增大条纹间距，C正确；将屏幕向远离双缝的位置移动，l增大，会使条纹间距变大，D正确；光源与双缝间的距离不影响条纹间距，E错误．
(2)设从光源发出直接射到D点的光线的入射角为i1，折射角为r1.在剖面内作光源相对于反光壁的镜像对称点C，连接C、D，交反光壁于E点，由光源射向E点的光线反射后沿ED射向D点．光线在D点的入射角为i2，
2018光学计算题（参考答案）
一、计算题 1． 【答案】 1.43
【解析】如图，根据光路的对称性和光路可逆性，与入射光线相对于OC轴对称的出射光线一定与入射光线平行．这样，从半球面射入的折射光线，将从圆柱体底面中心C点反射．
折射角为r2，如图所示．设液体的折射率为n，由折射定律有
nsin i1＝sin r1 ① nsin i2＝sin r2 ② 由题意知 r1＋r2＝90° ③ 联立①②③式得
1
n2＝22 ④ sin i1＋sin i2由几何关系可知
l21
sin i1＝ ⑤ 2＝172l4l＋4
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(1)距离A点正弦值；
R的光线第一次从玻璃砖射出时折射角的2
(2)入射光线中能从半圆玻璃砖射出的光线占入射光线的百分比．
sin i2＝
3＝ ⑥ 9l252
4l＋
4
3l2
联立⑤⑥⑦⑧式及题给条件得 3（22＋3）OC＝R≈2.74R ⑨
54． 【答案】 150°
【解析】设球半径为R，球冠底面中心为O′，连接OO′，则OO′⊥AB.令∠OAO′＝α，有
3
O′A2Rcos α＝＝ ①
OAR即α＝30° ②
联立④⑤⑥式得 n＝1.55 ⑦
2
3． 【答案】 (1)BCE (2)(ⅰ)R (ⅱ)2.74R
3【解析】 (1)由图可以读出，波长为4 m，A错误；由λ0.52
于周期大于0.5 s，所以周期T＝ s＝ s；波速v＝＝33T4
1
6 m/s，B正确；频率f＝＝1.5 Hz，C正确；t＝1 s时，
T经过了1.5个周期，x＝1 m处质点处于波谷，D错误；t＝2 s时，经过了3个周期，x＝2 m处质点处于平衡位置，E正确．
(2)(ⅰ)如图所示，从底面上A处射入的光线，在球面上发生折射时的入射角为i，当i等于全反射临界角ic时，对应入射光线到光轴的距离最大，设最大距离为l. i＝ic ①
由题意MA⊥AB 所以∠OAM＝60°
设图中N点为光线在球冠内底面上的反射点，所考虑的光线的光路图如图所示．设光线在M点的入射角为i、折射角为r，在N点的入射角为i′，反射角为i ″，玻璃折射率为n.由于△OAM为等边三角形，有 i＝60° ④
由折射定律有sin i＝nsin r ⑤ 代入题给条件n＝3得r＝30° ⑥
作底面在N点的法线NE，由于NE∥AM，有i′＝30° ⑦ 根据反射定律，有i ″＝30° ⑧
连接ON，由几何关系知△MAN≌△MON，故有∠MNO＝60°⑨
由⑦⑨式得∠ENO＝30° ⑩
于是∠ENO为反射角，ON为反射光线．这一反射光线经球面再次折射后不改变方向．所以，经一次反射后射出玻璃球冠的光线相对于入射光线的偏角β为 β＝180°－∠ENO＝150° ⑪ 5． 【答案】 (i)2.6 m (ii)0.7 m
【解析】(i)如图，设到达池边的光线的入射角为i，依
4
题意，水的折射率n＝，光线的折射角θ＝90°，由折射
3定律有
nsin i＝sin θ ① 由几何关系有
l
sin i＝ ②
22l＋h
设n是玻璃的折射率，由全反射临界角的定义有 nsin ic＝1 ② 由几何关系有
l
sin i＝ ③
R
联立①②③式并利用题给条件，得 2
l＝R ④ 3
R
(ⅱ)设与光轴相距的光线在球面B点发生折射时的入
3射角和折射角分别为i1和r1，由折射定律有 nsin i1＝sin r1 ⑤
设折射光线与光轴的交点为C，在△OBC中，由正弦定理有
sin ∠Csin（180°－r1）
＝ ⑥ ROC由几何关系有 ∠C＝r1－i1 ⑦
1
sin i1＝ ⑧
3
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式中，l＝3 m，h是池内水的深度，联立①②式并代入题给数据得 h＝7 m≈2.6 m ③
(ii)设此时救生员的眼睛到池边的距离为x.依题意，救生员的视线与竖直方向的夹角为θ′＝45°.由折射定律有 nsin i′＝sin θ′ ④
式中，i′是光线在水面的入射角．设池底点光源A到水面入射点的水平距离为a，由几何关系有
a
sin i′＝ ⑤
22a＋hx＋l＝a＋h′ ⑥
式中h′＝2 m，联立③④⑤⑥式得 x＝3
7－1 m≈0.7 m ⑦ 23
且OP＝PB－OA2＋AB2 449(或n≈1.5) 14代入数据解得n＝8． 【答案】(1)2R (2)见解析
【解析】(1)在O点左侧，设从E点射入的光线进入玻璃砖后在上表面的入射角恰好等于全反射的临界角θ，则OE区域的入射光线经上表面折射后都能从玻璃砖射出，如图由全反射条件有
1sinθ＝ n
由几何关系有OE＝Rsinθ 最大为 l＝2OE
联立①②③式，代入已知数据得 L＝2R
(2)设光线在距O点
6． 【答案】(1)ABD(4分。选对1个给2分，选对2个给3分，选对3个给4分；有选错的给0分) （2）当光线经球心O入射时，光路图如图（a）所示。设玻璃的折射率为n，由折射定律有
由对称性可知，若光线都能从上表面射出，光束的宽度
3
R的C点射入后，在上表面的入2
nsinisin①
式中，入射角i=45°，为折射角。
△OAB为直角三角形因此
射角为α，由几何关系及①式和已知条件得 α＝60°>θ
光线在玻璃砖内会发生三次全反射，最后由G点射出，如图，由反射定律和几何关系得
sinABOA2+AB2②
发生全反射时，临界角C满足sinC=1/n③
在玻璃体球面上光线恰好发生全反射时，光路图如图（b）所示。设此时光线入射点为E，折射光线射到玻璃体球面的D点。由题意有
OG＝OC＝
3
R 2
EDOC④
在EDO内，根据正弦定理有
9． 【答案】
h21＋ R－r
【解析】 如图，考虑从圆形发光面边缘的A点发出的一条光线，假设它斜射到玻璃上表面的A′点发生折射，根据折射定律有 nsin θ＝sin α
式中，n是玻璃的折射率，θ是入射角，α是折射角.
现假设A′恰好在纸片边缘，由题意，在A′点刚好发生全反射，故
1
sin θ＝sin C＝ n
设AA′线段在玻璃上表面的投影长为L，由几何关系有
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ODOEsin(90)sinC⑤
联立以上各式并利用题给条件得OE=4497． 【答案】(或1.5) 14【解析】设折射角为r，由折射定律得sin30°＝nsinr PB－OA由几何关系知sinr＝ OP2R⑥ 2sin θ＝
LL＋h
2
2
由题意，纸片的半径应为R＝L＋r 联立以上各式得n＝ 10．【答案】(1)sini≤
1＋
2
Ln2
n－1 (2) c
h2
R－r
sin i＝nsin r① 由几何关系得 θ＝α＋r②
【解析】(1)设光线在端面AB上C点(如图)的入射角为i，折射角为r，由折射定律有：
当i＝0时，由①式知r＝0，α有最大值αm(如图)，由②式得 θ＝αm③
同时αm应小于玻璃对空气的全反射临界角，即
1
sin αm<④
n① 由①②③④式和题给条件可得，棱镜顶角θ的取值范围为
0<θ<45°⑤ 12．【答案】(1)4/3 (2)
②
247－3.8 m
7
sini＝nsinr
光线可在此光导纤维中传播，应有 α≥θ 满足 nsinθ＝1 由几何关系，得 α＋r＝90° 由①②③④式得 sini≤
n2－1
设该光线射向玻璃丝内壁D点的入射角为α，为了使该
式中，θ是光线在玻璃丝内发生全反射时的临界角，它
(1)设过P点光线，恰好被浮标挡住时，入射角、折射
s1s2③
角分别为：α、β 则： sin α＝，sin β＝，
2222s1＋h1s2＋h2
sin α④ 4/3 n＝，由①②③得：n＝sin β
⑤
(2)光在玻璃丝中传播的速度大小为 cv＝ n
⑥
(2)潜水员和Q点连线与法线之间的夹角刚好为临界角⑦
13
C，则：sin C＝＝
n4cot C＝ s1＋s2＋l由④⑤得： l＝
h2＋Δh
⑧
光线从玻璃丝端面AB传播到另一端面的时间为
LT＝
vx而vx是光速的水平分量 vx＝vsinα
最长，由以上各式得
Ln2
Tmax＝ c11．【答案】 0<θ<45°
【解析】 规范解答 设入射光线经玻璃折射时，入射角为i，折射角为r，射至棱镜右侧面的入射角为α，根据折射定律有
光线在玻璃丝界面处刚好发生全反射 ，光线传播时间
247－3.8 m
7
⑨
解决光学问题的关键要掌握全反射的条件、折射定律nsin i1c＝、临界角公式sin C＝、光速公式v＝，运用几sin rnn何知识结合解决这类问题．
6＋213．【答案】 (1)15° (2)(或1.932)
2【解析】[思路点拨]
(1)如何确定透明物体内的折射光线和反射光线？ 提示：可先找出M点关于AOB平面的对称点，再确定
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反射光线和折射光线。
(2)如何确定透明物体的折射率？
提示：根据光路图确定光线在M点的折射角，由n＝sin θ1可求出透明物体的折射率。 sin θ2
(1)如图所示，透明物体内部的光路为折线MPN，Q、M点相对于底面EF对称，Q、P和N三点共线。 设在M点处，光的入射角为θ1，折射角为θ2，∠OMQ＝α，∠PNF＝β。根据题意有 α＝30°①
由几何关系得∠PNO＝∠PQO ＝θ2，所以β＋θ2＝60°② 且α＋θ2＝β③
由①②③式得θ2＝15°。④ (2)根据折射率公式有n＝sin θ1⑤ sin θ2
6＋2
由④⑤式得n＝≈1.932。
214．【答案】πRL/3
【解析】半圆柱体的横截面如图所示，OO'为半径。设从A点入射的光线在B点处恰好满足全反射条件，由折射定律有
假设A点是上表面面积最小的不透明薄膜边缘上的一
π
点．由题意，在A点刚好发生全反射，故αA＝②
2设线段OA在立方体上表面的投影长为RA，由几何关系有 sin θA＝
RA2RA＋
a2
2
③
式中a为玻璃立方体的边长．由①②③式得RA＝
a
④ 2
2 n－1
a
由题给数据得RA＝⑤
2由题意，上表面所镀的面积最小的不透明薄膜应是半径为RA的圆．所求的镀膜面积S′与玻璃立方体的表面积
S′6πR2A
S之比为＝2⑥
S6aS′π
由⑤⑥得＝.⑦
S416．【答案】 (1)0.75 (2)66.7% 【解析】 (1)由几何关系有：i=30°① 由折射定律有：nsin i＝sin r ② 解得sin r=0.75③
式中，θ为全反射临界角。由几何关系得
②
③
带入题给条件得15．【答案】
π 4
④
（2）由全反射临界角的定义有 nsin C＝1 ④ 由几何关系有：
【解析】 如图，考虑从玻璃立方体中心O点发出的一条光线，假设它斜射到玻璃立方体上表面发生折射．根据折射定律有
2R ; 3RBD=R-OD= ⑤
3OD=Rsin C＝
根据对称性可知，距A点
RR以内及距C点以内的入33射光线不能从半圆玻璃砖射出，所以能射出的光线占比为：
2R-
nsin θ＝sin α①
式中，n是玻璃的折射率，入射角等于θ，α是折射角．现
2R
3=2=66.7% ⑥
32R
评分：①⑤各1分；②③④⑥各2分
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