压力管道强度理论及校核
实际工程中，很少有管子仅承受单一的拉压、剪切、扭转或弯曲载荷，而多是两种或多种载荷同时作用，这样就使得应力的求解变得复杂起来。与简单的拉压、剪切、扭转和弯曲相比，它的难点主要是表现在以下两个方面：其一是管子中各点的应力求解困难。此时因涉及的未知变量较多，建立的相应静力平衡方程、物理方程和几何方程较多，求解这些方程的计算工作十分浩繁;其二是管子中的各点可能同时承受三个方向的主应力和六个面上的剪应力，这些应力对材料的强度都将产生影响。此时如何建立与许多应力有关的强度校核公式是十分棘手的，它既不能象简单变形形式那样用单一的强度指标进行判断，又不能对各个应力分别施以判断，这样做也是不现实的。
下面就针对上述两个问题的解决方法进行介绍。
(一)复杂应力状态下的应力求解
对于几何形状比较规则的管子，无论它受力多么复杂，都可以按前面所介绍的步骤和方法进行求解。即首先从管子中取一微元，然后根据受力情况、几何形状、边界条件等分别建立其静力平衡方程、物理方程和几何方程，然后联解方程。
复杂应力状态下的静力平衡方程、物理方程和几何方程型式如下：
1、静力平衡方程： ΣFx=0; ΣFy=0; ΣFz=0
ΣMx=0; Σmy=o; ΣMz=0
2、物理方程：
3、几何方程：
很显然，对于空间几何形状、受力和边界条件复杂的管道系统，要想对每个管道元件建立并求解上面的联合方程确实不是一件容易的事。但随着电子计算机的应用，这样的计算就不再是难事了。事实上，目前计算机已广泛应用于这类问题的计算。
对于形状不规则的管道元件，尤其是管道元件局部形状不规则时(如三通分支的根部、对焊法兰颈部弯曲过渡处等)，有时很难通过其平衡方程、物理方程和几何方程求出能满足边界条件的方程解，也就是说其应力将无法通过方程进行求解，此时往往作出一些假设，或根据试验找出一些修正系数来简化计算，从而求出一些工程上尚可使用的近似解。值得
一提的是，随着有限元技术的发展，它在求解复杂情况下的应力分析计算中得到了应用。有限元法是借助于固体变形力学(主要是结构力学和弹性力学)的一些基本原理，通过对被研究体的离散化，将弹性力学的微分(偏微分)求解问题转化为求解大量线性代数方程组的问题，从而得出各点应力的近似解。由于电子计算机的广泛应用，使得大量的线性代数方程组的求解已变得十分容易，故有限元法在工程上的应用正日趋广泛，并且目前已经出现了许多相关的应用程序，有兴趣的读者可查阅有关文献或专著，在此不再赘述。
(二)直管元件受内压情况下的应力求解
工程上，大多数压力管道都是在承受介质的内压下工作的，因此研究直管受内压作用的应力问题在工程上具有实际意义。
首先介绍厚壁管子的受力情况。所谓厚壁管是指外径与内径之比大于等于1.2¶的管道，反之，若外径与内径之比小于1.2时，则称之为薄壁管。
注¶：关于厚壁管的定义在GB150《钢制压力容器》的1998年版中已进行了调整，因相应的管道设计规范(如SH3059
)尚未调整，因此这里仍沿用旧的定义。调整后的定义参见GB150-1998。
设直管的内、外半径分别为Ri和Ro，沿壁厚任意处的半径为r，管道承受均匀的介质压力(内压力)为P，那么直管中各点的应力计算表达式如下(推导过程略)：
式中：σr----径向应力
σa----周向应力，或环向应力;
σz----轴向应力。
引入径比
，代入上面的公式可以得到：
………………………………………………………(6-6a)
…………………………………….…………………(6-6b)
…………………………………………….……………………(6-6c)
从式6-6a~c中可以看出以下规律：
a、径向应力σr和周向应力σθ沿管道壁厚分布是不均匀的，且内壁上的值最大。轴向应力σz沿管道壁厚均匀分布。各应力沿壁厚的分布示意图，见图6-9所示;
b、在管道内壁上的各应力值中以周应向力σθ
的值最大，且大于操作压力;
c、周向应力σθ和径向应力σr沿壁厚的分布情
况因径比k的不同而不同。K值越大，内外壁的差值
越大，此时内外壁的应力比为：
当K=1.2时，由上式可以求得内外壁的应力比值为
1.22。其物理意义是：若取平均应力作为强度校核
值时，即取σm≤[σ]=σs/1.5时，那么有：
1.5σm≤σs
即其最大应力仍然不会超过屈服极限，也就是说此 图6-9 内压作用下管道应力沿壁厚分布图
时管道中各点均处于弹性变形状态，管道是安全的。
此结论对于薄壁管道是非常有用的，因为薄壁管道是以平均应力作为校核值的。由此也可以知道，薄壁管道应力计算公式中常限制Ro/Ri<1.2或管子壁厚S
前面给出了厚壁管道的应力计算公式，下面再来推导一下薄壁直管在受内时的应力求解公式。
图6-10给出了薄壁管道受内压时的受力示意图。设管道内径为Di，壁厚为S，承受的内压力为P。假想利用几个截面将管子剖开以显示其轴向内力Nz和轴向应力σz，见图6-10(b)所示。假想利用m-m、n-n和o-o三个截面从管子上剖取一长度为l的半园，以显示其周向内力Nθ和周向应力σθ，见图6-10(C)所示。因为为薄壁管道，故σr=0。
(a) (b)
(c) (d)
图6-10 薄壁管道受内压时的受力示意图
从图6-10(b)可知，其轴向内力为：
……………..…………..…………..…………….….(a)
由前面的讨论可知，轴向应力是沿壁厚均匀分布的。又由于管道沿轴向受拉伸截荷，故其应力为：
，或者写成：Nz=σz.Az……………………………………(b)
根据力的平衡法则将式(a)和(b)合并可以得到：
由于Az=πDiS，将其代入上式可得：
………………………………………………(c)
工程上在求解管道在内压下的应力时，常以管子的平均直径(D=Di+S或D=Do-S，
Do为管子外径)代替上式中的Di进行计算。即有：
………………………………………………(6-7)
不难看出，以D代替Di求得的应力值更大，或计算出的管子壁厚值更保守。
从图6-10(C)中可知，其周向内力为：
Nθ=P.Aθ………………………………………………………………(d)
式中Aθ为半园在y方向上的投影面积，即Aθ=l.Di，Aθ也可以通过下面的积分求得：
将Aθ代入式(d)可得：
Nθ=P.l.Di………………………………………………………………(e)
因为是薄壁管道，故可认为σθ沿壁厚是均匀分布的，根据图6-10(C)可得：
，或写成
……………………………(f)
根据力的平衡法则ΣY=0，得：
P.l.Di
对上式进行变换可得到：
……………………………………………………………(g)
同理，以管子的平均直径D代替上式中的Di，即有：
……………………………………………………………(6-8)
比较式6-7和式6-8可以看出，此时周向应力是轴向应力的2倍。
(三)强度理论
从上面的例子中可以看出，管子中各点已不再处于单一的应力状态，尤其是对厚壁管来说，各点的应力不但为多向应力，而且各点的应力值也是变化的。此时如果再依照单向拉伸那样用实验的方法确定其许用应力，从而建立其强度判定条件，就需要对各种应力及其组合一一试验，并确定出相应的许用应力。显然这是不现实的。为建立复杂应力状态下的强度判断条件，工程上常常利用判断推理的方法，提出一些假说，建立其简单、近似而且适用的强度判断条件。
通过长期的实践和总结，材料的破坏可以近似地认为都是由某一主要因素引起的，无论是简单应力状态，还是复杂应力状态，都认为是同一因素引起的。于是便可以利用简单应力状态下的试验结果，建立复杂应力状态下的强度条件。这样的一些假说通常称其为强度理论。
常用的强度理论有最大主应力理论、最大变形理论、最大剪应力理论和能量理论四种。
1、最大主应力理论(第一强度理论)
这一强度理论认为，无论是简单应力状态还是复杂应力状态，最大主应力σ1是引起材料破坏的主要因素。即当σ1=σb时，材料就发生破坏。脆性材料在单向拉伸时的破坏情况与该理论比较吻合。该理论无法应用于剪切变形情况。
2、最大变形理论(第二强度理论)
这一理论认为，最大伸长线应变ε1是引起材料破坏的主要因素。即当ε1符合下式所表示的关系时，材料将发生破坏。
ε1=σb/E………………………….………………………(a)
根据广义虎克定律公式可知：
将式(b)代入式(a)可得：
σ1-μ(σ2-σ3)=σb……………..…………..…………(c)
因为该强度理论认为材料断裂前，其应力和应变均符合虎克定律，故它较适用于混凝土等脆性材料的压缩情况。
3、最大剪应力理论(第三强度理论)
这一理论认为，无论是简单应力状态，还是复杂应力状态，最大剪应力τmax是引起材料破坏的主要因素，而且只要最大剪应力达到材料屈服极限的二分之一就引起材料的屈服。即有：
τmax=
σs………..………..………..………..……(d)
可以证明，最大剪应力τmax出现在与最大主应力σ1轴线成45°的斜截面上，而且总存在如下关系式：
τmax=
(σ1-σ3)..………..………..………..…(e)
将式(e)代入式(d)可得：
对于塑性材料，这一理论的计算结果与试验较吻合。由于压力管道所用的材料多为塑性材料，故第三强度理论在工程上应用的最广，众多的压力容器规范和压力管道规范都采用了第三强度理论。
4、能量理论(第四强度理论)
该理论认为，材料发生形状改变时，其比能(单位体积的变形能)是引起材料破坏的主要因素。根据有关理论，同样可以推导出其强度条件为：
………..…(g)
对于塑性材料，在二向应力状态下，其计算结果与试验较吻合。
(四)直管强度判断条件
根据第三强度理论，可以推导出受内情况下厚壁直管和薄壁直管的强度判断条件和壁厚计算公式。
1、厚壁直管强度判断条件和壁厚计算公式
对于厚壁管道，由于沿壁厚存在一个应力梯度，故众多的压力容器设计规范都将强度条件分成平均应力和应力梯度两部分分别进行限制。设许用应力
，n为安全系数。那么按第三强度理论其平均应力
应符合下式要求：
由式6-6(a、b、c)的分析中已经知道，厚壁管道的最大应力发生在内壁上。根据安定性分析的理论，最大应力达到材料的屈服极限时，管子并不发生破坏，故对它可取较大的许用应力(3
)，详见后面所述。根据第三强度理论则有：
………..…………..…………..…(i)
将式6-6(a、b、c)、式6-7和式6-8分别代入式(h)和式(i)，同时引入焊缝系数f和壁厚附加余量C，不难推导出厚壁管道的壁厚计算公式和最大应力校核公式为：
………..…………..…………..……………..…(6-9a)
………..…………..…………..……(6-9b)
式6-9a、b即为著名的中径公式。
2、薄壁直管强度判断条件和壁厚计算公式
由第三强度理论可知：
由薄壁直管的强度计算公式(式6-8)的推导分析中可知：
将它们代入前面的第三强度理论条件可得：
由于D=Do-S，代入式(j)可得：
取[σ]为设计温度下的许用应力[σ]t，同时引入焊缝系数Φ和壁厚附加余量C。代入式(k)可得到薄壁管道的壁厚计算公式为：
关于式6-10的适用范围见第四章所述。
式6-9(a、b)、6-10代号解释：
S----管道的设计壁厚，mm;
P----管道设计压力，MPa;
Di----管道内径，mm;
Do----管道外径，mm;
D----管道中径，mm;
[σ]t----设计温度下管材的许用应力，MPa;
σt----设计温度下管道的最大周向应力，MPa;
Φ----管道的纵向焊缝系数;
C----管道壁厚附加量，mm。
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