您好,欢迎来到爱go旅游网。
搜索
您的当前位置:首页正四面体性质及其应用

正四面体性质及其应用

来源:爱go旅游网
正四面体的性质及其应用

正四面体是四个面都是等边三角形的凸多面体,它是一个很规则的几何体,因此具有一些特有的性质,设正四面体的棱长为a,则 (1) 全面积S全= 3 a2; (2) 高h=

6 a; 3

D A 2 a; 2

2

(3) 体积V= 12

a;

3

(4) 对棱中点的连线是对棱的公垂线,其长为d= 1(5) 相邻两面所成的二面角α=arccos;

3(6) 棱与其相交的面所成的角 β=arctan2 ;

C B (7) 正四面体的内切球和外接球的球心重合,内切球半径 r=

6 6 a,外接球半径R=a,r︰R=1︰3; 124

(8) 正四面体内任一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高)。

将正四面体置于正方体中,结合正方体的性质以上诸性质容易得到证明。考查正四面体的性质多出选择或填空题,熟记以上性质对快速求解相关问题有很大帮助,例如:

π

例1:已知半径为1的球面上有A、B、C三个点,且它们之间的球面距离都为,则球心O到平面ABC的

3

O 距离为( ) A

3 6 121 B C D 2327解析:如右图所示,OA=OB=OC=1 又AB⌒A B C BCCA⌒⌒3,球的半径r=1

∴∠AOB=∠BOC=∠COA=,则AB=BC=CA=1

3

所以O-ABC为棱长为1的正四面体,则由正四面体的性质得球心O到平面ABC的距离即其高为

案B。

例2:(05年湖南省十所示范校联考)已知棱长为a的正四面体ABCD有内切球O,经过该棱锥A-BCD的中截面为M,则O到平面M的距离为( )

6

,答3

π

a6 A B a 46

C 12a D 8a

6 6

a,中截面到底面的距离为高的一半a,则O到126

A 6 2

解析:直接运用正四面体的性质,内切球的半径r=平面M的距离为

6 6 6

a-a=a,因此选C。 61212

例3:(06年陕西卷)将半径为R的四个球两两相切地放在桌面上,则上面一个球的球心到桌面的距离为 。

解析:注意分析四个球的球心的位置关系。设四个球心分别为 A、B、C、D,因为四个球两两相切,则ABCD是棱长为

C B D 2R的正四面体,A到面BCD的距离为(1+

26

)R。 3

26 26

R,则上面一个球的球心A到桌面的距离为R+R=33

例4:(06年山东卷)如图1,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,∠DAB=60,E为AC的中点,将△

ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起,使A、B重合于点P,则三棱锥P-DCE的外接球的体积为( )

6 43 6 6 D C A 27π B 2π C 8π D 24π 解析:三棱锥P-DCE实质上是棱长为1的正四面体, 则其外接球的体积为

V= 3πR3= 3π(4)3= 8π。

则图中三角形(正四面体的截面)的面积是( )

446 6

A E B 例5:(06年湖南卷)棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一球面上,若过该球球心的一个截面如图1,

2

3

A 2

B 2

C 2 D 3 M 解析:由截面图形可知,正四面体恰好有两个顶点在球面上, 且截面圆经过其外接球的球心(正四面体的中心),由 正四面体的对称性可知M为AB对棱CD的中点,M 到AB的距离即为正四面体对棱公垂线的长

2

a,所以 2

A B S△ABC= 2×2×2 ×2=2 。

例6:(07年安徽卷)半径为1的球面上的四点A、B、C、D是正四面体的顶点,则A与B两点间的球面距离为( )

A arccos(1

36) B arccos() 33 C arccos(11) D arccos() 3426

,根据余3

解析:由题意可知,此球O为正四面体的外接球,且外接球的半径为1,则正四面体的棱长为

26 2

1+1-()

311

弦定理得cos∠AOB==-,所以∠AOB=arccos(-),因此A与B两点间的球面距离为l=αR= 332×1×1

arccos(-3)×1= arccos(-3)。

11

因篇幅问题不能全部显示,请点此查看更多更全内容

Copyright © 2019- igat.cn 版权所有 赣ICP备2024042791号-1

违法及侵权请联系:TEL:199 1889 7713 E-MAIL:2724546146@qq.com

本站由北京市万商天勤律师事务所王兴未律师提供法律服务