正四面体性质及其应用

正四面体是四个面都是等边三角形的凸多面体，它是一个很规则的几何体，因此具有一些特有的性质，设正四面体的棱长为a，则 （1） 全面积S全= 3 a2； （2） 高h=

6 a； 3

D A 2 a； 2

2

（3） 体积V= 12

a；

3

（4） 对棱中点的连线是对棱的公垂线，其长为d= 1（5） 相邻两面所成的二面角α=arccos；

3（6） 棱与其相交的面所成的角 β=arctan2 ；

C B （7） 正四面体的内切球和外接球的球心重合，内切球半径 r＝

6 6 a，外接球半径R＝a，r︰R=1︰3； 124

（8） 正四面体内任一点到四个面的距离之和为定值（等于正四面体的高）。

将正四面体置于正方体中，结合正方体的性质以上诸性质容易得到证明。考查正四面体的性质多出选择或填空题，熟记以上性质对快速求解相关问题有很大帮助，例如：

π

例1：已知半径为1的球面上有A、B、C三个点，且它们之间的球面距离都为，则球心O到平面ABC的

3

O 距离为（ ） A

3 6 121 B C D 2327解析：如右图所示，OA=OB=OC=1 又AB⌒A B C BCCA⌒⌒3，球的半径r=1

∴∠AOB=∠BOC=∠COA=，则AB=BC=CA=1

3

所以O-ABC为棱长为1的正四面体，则由正四面体的性质得球心O到平面ABC的距离即其高为

案B。

例2：（05年湖南省十所示范校联考）已知棱长为a的正四面体ABCD有内切球O，经过该棱锥A-BCD的中截面为M，则O到平面M的距离为（ ）

6

，答3

π

a6 A B a 46

C 12a D 8a

6 6

a，中截面到底面的距离为高的一半a，则O到126

A 6 2

解析：直接运用正四面体的性质，内切球的半径r=平面M的距离为

6 6 6

a－a=a，因此选C。 61212

例3：（06年陕西卷）将半径为R的四个球两两相切地放在桌面上，则上面一个球的球心到桌面的距离为 。

解析：注意分析四个球的球心的位置关系。设四个球心分别为 A、B、C、D，因为四个球两两相切，则ABCD是棱长为

C B D 2R的正四面体，A到面BCD的距离为（1+

26

）R。 3

26 26

R，则上面一个球的球心A到桌面的距离为R+R=33

例4：（06年山东卷）如图1，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60，E为AC的中点，将△

○

ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P-DCE的外接球的体积为（ ）

6 43 6 6 D C A 27π B 2π C 8π D 24π 解析：三棱锥P-DCE实质上是棱长为1的正四面体， 则其外接球的体积为

V= 3πR3= 3π(4)3= 8π。

则图中三角形（正四面体的截面）的面积是（ ）

446 6

A E B 例5：（06年湖南卷）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一球面上，若过该球球心的一个截面如图1，

2

3

A 2

B 2

C 2 D 3 M 解析：由截面图形可知，正四面体恰好有两个顶点在球面上， 且截面圆经过其外接球的球心（正四面体的中心），由 正四面体的对称性可知M为AB对棱CD的中点，M 到AB的距离即为正四面体对棱公垂线的长

2

a，所以 2

A B S△ABC= 2×2×2 ×2＝2 。

例6：(07年安徽卷)半径为1的球面上的四点A、B、C、D是正四面体的顶点，则A与B两点间的球面距离为（ ）

A arccos(1

36) B arccos() 33 C arccos(11) D arccos() 3426

，根据余3

解析：由题意可知，此球O为正四面体的外接球，且外接球的半径为1，则正四面体的棱长为

26 2

1+1－()

311

弦定理得cos∠AOB==－,所以∠AOB=arccos(－)，因此A与B两点间的球面距离为l=αR= 332×1×1

arccos(－3)×1= arccos(－3)。

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