正四面体是四个面都是等边三角形的凸多面体,它是一个很规则的几何体,因此具有一些特有的性质,设正四面体的棱长为a,则 (1) 全面积S全= 3 a2; (2) 高h=
6 a; 3
D A 2 a; 2
2
(3) 体积V= 12
a;
3
(4) 对棱中点的连线是对棱的公垂线,其长为d= 1(5) 相邻两面所成的二面角α=arccos;
3(6) 棱与其相交的面所成的角 β=arctan2 ;
C B (7) 正四面体的内切球和外接球的球心重合,内切球半径 r=
6 6 a,外接球半径R=a,r︰R=1︰3; 124
(8) 正四面体内任一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高)。
将正四面体置于正方体中,结合正方体的性质以上诸性质容易得到证明。考查正四面体的性质多出选择或填空题,熟记以上性质对快速求解相关问题有很大帮助,例如:
π
例1:已知半径为1的球面上有A、B、C三个点,且它们之间的球面距离都为,则球心O到平面ABC的
3
O 距离为( ) A
3 6 121 B C D 2327解析:如右图所示,OA=OB=OC=1 又AB⌒A B C BCCA⌒⌒3,球的半径r=1
∴∠AOB=∠BOC=∠COA=,则AB=BC=CA=1
3
所以O-ABC为棱长为1的正四面体,则由正四面体的性质得球心O到平面ABC的距离即其高为
案B。
例2:(05年湖南省十所示范校联考)已知棱长为a的正四面体ABCD有内切球O,经过该棱锥A-BCD的中截面为M,则O到平面M的距离为( )
6
,答3
π
a6 A B a 46
C 12a D 8a
6 6
a,中截面到底面的距离为高的一半a,则O到126
A 6 2
解析:直接运用正四面体的性质,内切球的半径r=平面M的距离为
6 6 6
a-a=a,因此选C。 61212
例3:(06年陕西卷)将半径为R的四个球两两相切地放在桌面上,则上面一个球的球心到桌面的距离为 。
解析:注意分析四个球的球心的位置关系。设四个球心分别为 A、B、C、D,因为四个球两两相切,则ABCD是棱长为
C B D 2R的正四面体,A到面BCD的距离为(1+
26
)R。 3
26 26
R,则上面一个球的球心A到桌面的距离为R+R=33
例4:(06年山东卷)如图1,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,∠DAB=60,E为AC的中点,将△
○
ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起,使A、B重合于点P,则三棱锥P-DCE的外接球的体积为( )
6 43 6 6 D C A 27π B 2π C 8π D 24π 解析:三棱锥P-DCE实质上是棱长为1的正四面体, 则其外接球的体积为
V= 3πR3= 3π(4)3= 8π。
则图中三角形(正四面体的截面)的面积是( )
446 6
A E B 例5:(06年湖南卷)棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一球面上,若过该球球心的一个截面如图1,
2
3
A 2
B 2
C 2 D 3 M 解析:由截面图形可知,正四面体恰好有两个顶点在球面上, 且截面圆经过其外接球的球心(正四面体的中心),由 正四面体的对称性可知M为AB对棱CD的中点,M 到AB的距离即为正四面体对棱公垂线的长
2
a,所以 2
A B S△ABC= 2×2×2 ×2=2 。
例6:(07年安徽卷)半径为1的球面上的四点A、B、C、D是正四面体的顶点,则A与B两点间的球面距离为( )
A arccos(1
36) B arccos() 33 C arccos(11) D arccos() 3426
,根据余3
解析:由题意可知,此球O为正四面体的外接球,且外接球的半径为1,则正四面体的棱长为
26 2
1+1-()
311
弦定理得cos∠AOB==-,所以∠AOB=arccos(-),因此A与B两点间的球面距离为l=αR= 332×1×1
arccos(-3)×1= arccos(-3)。
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