不定积分基本公式

Integral and Direct Integral）

课 题：1. 不定积分的基本公式 2. 不定积分的直接积分法 课堂类型：讲授

教学目的：熟练掌握不定积分的基本公式，对简单的函数能用直接积分法进行积分。 教学重点：不定积分的基本公式 教学难点: 直接积分法 教 具：多媒体课件 教学方法： 教学内容：

一、不定积分的基本公式

由于不定积分是求导的逆运算，所以由导数的基本公式对应地可以得到不定积分的基本公式。 导数的基本公式 不定积分的基本公式

(C)0x1(x1)1x(ex)ex(ax)axlna1(lnx)x(sinx)cosx(cosx)sinx(tanx)sec2x(cotx)csc2x(secx)secxtanx(cscx)cscxcotx(arcsinx)11x21(arctanx)1x2

1(arccosx)1x21(arccotx)1x21(logax)xlna0dxCdxxCx1xdx1Ca1edxexxxCaxadxlnaCdxxln|x|CcosxdxsinxCsinxdxcosxCsecxdxtanxCcscxdxcotxCsecxtanxdxsecxCcscxcotxdxcscxC22dx21x dxarctanxC1x2dx1x2arccosxCdx1x2arccotxC1xlnadxlogaxCarcsinxC二、不定积分的直接积分法

利用不定积分的性质和基本公式，可以求出一些简单函数的不定积分，通常把这种求不定积分的方法叫做直接积分法。

例１ 求2x3dx

x311Cx4C 解 2xdx2xdx2xdx2312333

例２ 求3x2cosx5xdx

 解

3x2cosx5xdx3x2dxcosxdx5xdxx3x23sinx53C32x3sinx103x2C33

(x1)3dx 例３ 求x2 解

(x1)3x33x23x1dxx2dxx231 (x32)dxxx 73210 x2x2C73x21 3x3ln|x|C2x1例４ 求2dx 2sinxcosx解

1sin2xcos2x11dxdxdxsin2xcos2xsin2xcos2xcos2xsin2xdx

sec2xdxcsc2xdxtanxcotxC

例５ 求2xexdx 解

xdx 2x1cosx解 sin2

221cosx112xsindxdxxsinxC 22222edx2exxx2edxxln2eC2ex1ln2C

例６ 求sin2例７ 求解

dx 22x1x111 2222x1xx1x11111dxdxdxdx2222x21x2x1xx1x1arctanxCx

例８ 已知物体以速度v2t21m/s沿Ox轴作直线运动，当t1s时，物体经过的路程为3m，求物体的运动方程。 解 设物体的运动方程为xxt

于是有 xtv2t21

2 xt2t21dtt3tC

3

由已知条件t1s时，x3m，代入上式得

3

24所以物体的运动方程为xtt3t33241C,即C 33