新课标高中数学必修4知识点总结经典

新课标高中数学必修4知识点总结经典

正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角

零角:不作任何旋转形成的角2、角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．

第一象限角的集合为k360k36090,k 第二象限角的集合为k36090k360180,k 第三象限角的集合为k360180k360270,k 第四象限角的集合为k360270k360360,k 区域角怎么表示： 终边在x轴上的角的集合为

k180,k 终边在y轴上的角的集合为k18090,k

终边在坐标轴上的角的集合为k90,k

3、与角终边相同的角的集合为k360,k 4、已知是第几象限角，确定

n所在象限的方法：先把各象限均分n等份，再从x轴的正半轴的上方起，依次将各n*区域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．

n终边所落在的区域．

6、半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，则角的弧度数的绝对值是7、弧度制与角度制的换算公式：28、若扇形的圆心角为lr．

360，1，118057.3．

18021 为弧度制，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则lr，C2rl， S1lrr．

229、三角函数概念：（一）设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么:(1)（2）x叫做siny；

的余弦,记做cos,即cosy叫做的正弦,记做sin,即

x；（3）

y叫做x的正切,记做tan,即tany(x0)。 x（二）设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是

x,y，它与原点的距离是rrx2y20，则

sinyxy，cos，tanx0． rrx10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：sin三角函数线作用：

12、同角三角函数的基本关系式：

，cos，tan．

yPTOMAx1sin2cos21sin21cos2,cos21sin2；

2

- 1 -

sintancossinsintancos,cos．

tan学习数学要多做习题，边做边思考，先知其然而后知其所以然，实事求是，循序渐进，不怕艰难，持之以恒。 —— 苏步青 13、三角函数的诱导公式：

1sin2ksin，cos2kcos，tan2ktank． 2sinsin，coscos，tantan． 3sinsin，coscos，tantan． 4sinsin，coscos，tantan．

口诀：函数名称不变，符号看象限． （3）和（4）能得到什么结论?

5sincoscos，sin2214、图像变换的两种方式： （一）函数

．

6sincos2，cossin． 2口诀：函数名改变，符号看象限．(5)能得到什么结论?

ysinx的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数

ysinx的图象（>0是左移；<0

1倍（纵坐标不变），得到函数

是右移）；再将函数

ysinx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

，ysinx的图象；再将函数ysinx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变）得到函数

ysinx的图象0,0．

ysinx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

（二）函数

1倍（纵坐标不变），得到函数

ysinx的图象；再将

函数ysinx的图象上所有点向左（右）平移

图象；再将函数

个单位长度（>0是左移；<0是右移）；得到函数ysinx的

，得到函数ysinx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变）

ysinx的图象0,0．

函数

ysinx0,0的性质：

2①振幅； ②周期：函数

； ③频率：

f12； ④相位：x； ⑤初相：．

ysinx，当xx1时，取得最小值为ymin ；当xx2时，取得最大值为ymax，则

11yyyyx2x1x1x2． ，，maxminmaxmin222

- 2 -

学习数学要多做习题，边做边思考，先知其然而后知其所以然，实事求是，循序渐进，不怕艰难，持之以恒。 —— 苏步青 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

函

性 质

数

ysinx

ycosx ytanx

图象

定义域

R R

xxk,k

2值域

1,1

当x1,1

2R

2kk时，

2

当x2kk时，

既无最大值也无最小值

最值

ymax1；当x2kymax1；当x2k

k时，ymin1．

周期 奇偶性

k时，ymin1．

2

2



奇函数

奇函数 在

偶函数

2k,2k 22在

k上是增函数；在

单调性

2k,2kk上是增

2k,2k

在k函数；在

2,k 232k,2k 22k上是减函数．

k上是增函数．

k上是减函数．

对称中心

对称性

对称轴xk,0k

k2对称中心kk

0）

,0k 2对称中心无对称轴

k,0k 2对称轴xkk

16.三角函数奇偶性规律总结（A0,函数yAsin(x)为奇函数的条件为k,kZ 函数yAsin(x)为偶函数的条件为k,kZ

22函数yAcos(x)为奇函数的条件为k,kZ. 函数yAcos(x)为偶函数的条件为k,kZ 函数yAtan(x)为奇函数的条件为k,kZ它不可能是偶函数．

2

- 3 -

学习数学要多做习题，边做边思考，先知其然而后知其所以然，实事求是，循序渐进，不怕艰难，持之以恒。 —— 苏步青 17．向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量．

单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量． 规定：零向量与任一向量平行．

相等向量：长度相等且方向相同的向量． 相反向量：长度相等且方向相反的向量． 18、向量加法：⑴三角形法则的特点：首尾相连．⑵平行四边形法则的特点：共起点．

⑶三角形不等式：

ababab．

⑷运算性质：①交换律：ab②结合律：

ba； C

abcabc； ③a00aa．

x1,y1，bx2,y2，则abx1x2,y1y2．

a

b

⑸坐标运算：设a

19、向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向减向量的终点指向被减向量终点．（见上图） ⑵坐标运算：设a

abCC

x1,y1，bx2,y2，则abx1x2,y1y2．

设、两点的坐标分别为20、向量数乘运算：

x1,y1，x2,y2，则x1x2,y1y2．

⑴实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a． ①

aa；②当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，

a0．0a=0 ⑵运算律： ①aa； ②aaa； ③

abab． ⑶坐标运算：设ax,y，则ax,yx,y．

(4)

a0,则aa表示与a同方向的单位向量，-表示与a反方向的单位向量。 aa21向量共线条件：(1)向量a(2)共线的坐标表示，设a线．

a0与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba．

x1,y1，bx2,y2，其中b0，则当且仅当x1y2x2y10时，向量a、bb0共

如图， OA、 OB 不共线,且 APt AB (tR), 用 OAOB， 表示 OP ； OP OA=t(OBOA)，则OP=(1-t)OAtOB 结论：已知O、A、B三点不共线， 若点 P 在直线 AB 上，则

OPmOAnOB, 且 mn1.- 4 -

学习数学要多做习题，边做边思考，先知其然而后知其所以然，实事求是，循序渐进，不怕艰难，持之以恒。 —— 苏步青 22、平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、

2，使a1e12e2．（不共线的向量e1、e2叫做这一平面内所有向量的一组基底）

小结论：（1）若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，xe1（2）若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，xe1ye2me1ne2,则x=m，y=n

ye20,则x=y=0

23、分点坐标公式：设点是线段12上的一点，1、2的坐标分别是的坐标是x1x2,y1y21124、平面向量的数量积：

x1,y1，x2,y2，当12时，可推出点．（会写出向量坐标，会运算。）

⑴定义：ababcosa0,b0,0180．零向量与任一向量的数量积为0．

acos：a在b方向上的投影= bcos：b注意：务必要算对两个非零向量的夹角：设两个非零向量a在a方向上的投影=

OA与bOB, 称 AOB为向量a与b的夹角

(0180)，注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的。

⑵性质：设a和b都是非零向量，则①a②当a与b同向时，abbab0．

ab；当a与b反向时，ab． ③

ab；

aaa2a2或

aaaabab．

⑶运算律：①abba；②ababab；③abcacbc． ⑷坐标运算：设两个非零向量a（5）若ax1,y1，bx2,y2，则abxx12y1y2．

x,y，则a222x2y2，或axy．

（6）设ax1,y1，bx2,y2，则abx1x2y1y20．

（7）设a、b都是非零向量，ax1,y1，bx2,y2，是a与b的夹角，则cosabx1x2y1y2xy2121．

22abxy2225、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：

⑴coscoscossinsin；⑵coscoscossinsin； ⑶sinsincoscossin；⑷sinsincoscossin； ⑸tantantan 变形：（tantantan1tantan）；

1tantan⑹tan

tantan 变形：

（tantantan1tantan）．

1tantan- 5 -

学习数学要多做习题，边做边思考，先知其然而后知其所以然，实事求是，循序渐进，不怕艰难，持之以恒。 —— 苏步青 26、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin2⑵cos22sincos． 变形： sincos1sin2

2cos2sin22cos2112sin2(cossin)(cossin)

变形得到降幂公式：

cos21cos2， 21cos2． tan21cos2

sin1cos222⑶tan22tan．

1tan222sin，其中tan．tansin21cos2

1cos2sin227、sincos[2014高考题解析，规范解题步骤]

已知函数fx1sin2xsincos2xcos1sin0＜＜，其图象过点（π,1）．

62222（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）将函数求函数gyfx的图象上各点的横坐标缩短到原来的

1，纵坐标不变，得到函数yfx的图象，2x在[0,

π]上的最大值和最小值． 411sin2xsincos2xcossin() (0) 22222解：（Ⅰ）因为f(x) 所以 f(x)1sin2xsin1cos2xcos1cos

211sin2xsincos2xcos22

1(sin2xsincos2xcos)21cos(2x)2又 函数图像过点(又

1,) 所以 6211cos(2) 即 226cos()1

30 所以 3

（Ⅱ） 由（Ⅰ）知 f(x)1cos(2x)，将函数

23yf(x)的图像上各点的横坐标缩短到原来的

312，纵坐标不变，得到函数

yg(x)的图像，可知 g(x)f(2x)1cos(4x)

2因为

x[0,]

4所以 4x[0,] 因此 4x[,2]

333故 1cos(4x)1 所以 yg(x)在[0,]上的最大值和最小值分别为

234

11和 24 - 6 -