人教版九年级上《第21章一元二次方程》单元测试题含答案解析

一．选择题（共10小题）

1．方程(m1)x22mx30是关于x的一元二次方程， 则( ) A ．m1

B ．m1

C ．m1

D ．m1

2．一元二次方程3x26x10的二次项系数、一次项系数分别是( ) A．3，6

B．3，1

C．6，1

D．3，6

3．下列方程中有一个根为1的方程是( ) A ．2x2x0

B ．3x22x50 C ．x25x40 D ．2x23x50

4．关于x的方程(x2)21m无实数根， 那么m满足的条件是( ) A ．m2

B ．m2

C ．m1

D ．m1

5．一元二次方程y24y30配方后可化为( ) A ．(y2)27 B ．(y2)27

C ．(y2)23

D ．(y2)23

6．一元二次方程x2x10的根是( ) A．x15 B．x15 2C．x15 D．x15 27．一元二次方程(x1)(x2)2的解是( ) A ．x10，x23

B ．x11，x22 C ．x11，x22D ．x10，x23

50的根的情况是( ) 48．一元二次方程x22xA ． 有两个不相等的实数根 C ． 没有实数根

B ． 有两个相等的实数根 D ． 无法判断

9．方程x22x40和方程x24x20中所有的实数根之和是( ) A ． 2

B ． 4

C ． 6

D ． 8

10．某超市一月份的营业额为 40 万元， 一月、 二月、 三月的营业额共 200 万元， 如果平均每月增长率为x，则由题意列方程为( )

A ．40(1x)2200 C ．40403x200 二．填空题（共8小题）

B ．40402x200 D ．40[1(1x)(1x)2]200

11．若x3m12x10是关于x的一元二次方程， 则m的值为 ． 12．已知m是关于x的方程x24x50的一个根， 则2m28m 13．一元二次方程x2mxn0的两实根是x12，x23，则m ，n ． 14．一个三角形的两边长分别为 3 和 5 ，第三边长是方程x26x80的根， 则三角形的周长为 ．

15．已知关于x的一元二次方程mx2x10有实数根， 则m的取值范围是 ． 16．若关于x的一元二次方程(m2)x23xm240有一个根为 0 ，则另一个根为 ．

17．如图所示， 点阵M的层数用n表示， 点数总和用S表示， 当S66时， 则n ．

18．如图， 在长为10m，宽为8m的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路， 剩余部分进行绿化， 要使绿化面积为48m2，则道路的宽应为 m．

三．解答题（共8小题） 19．解下列方程 （1）x26x40 （2）2x2x30 （3）3x(x2)105x

20．已知关于x的一元二次方程x2(2k1)xk20有两个不相等的实数根， 求k的取值范围 ．

21．小强看见九年级的哥哥在做这样一道题“解方程：(x3)2(x2)(x2)5”，他看了看后，发现可以用《整式的乘法》知识来去括号，然后转化为一元一次方程来解答．试按照小强的思路完成此题的解答． 22．已知方程(m2)xm2(m3)x10．

（1）当m为何值时，它是一元二次方程？ （2）当m为何值时，它是一元一次方程？

23．小刚在做作业时， 不小心将方程3x2bx50的一次项系数用墨水覆盖住了， 但从题目的答案中， 他知道方程的一个解为x5，请你帮助小刚求出被覆盖住的数 ． 24．已知关于x的一元二次方程x2(k2)xk10． （1） 若方程的一个根为1，求k的值和方程的另一个根； （2） 求证： 不论k取何值， 该方程都有两个不相等的实数根 ．

25．某天猫店销售某种规格学生软式排球， 成本为每个 30 元 ． 以往销售大数据分析表明： 当每只售价为 40 元时， 平均每月售出 600 个；若售价每上涨 1 元， 其月销售量就减少 20 个， 若售价每下降 1 元， 其月销售量就增加 200 个 ． （1） 若售价上涨m元， 每月能售出 个排球 （用m的代数式表示） ．

（2） 为迎接“双十一”， 该天猫店在 10 月底备货 1300 个该规格的排球， 并决定整个 11 月份进行降价促销， 问售价定为多少元时， 能使 11 月份这种规格排球获利恰好为 8400 元 ． 26．列一元二次方程解应用题

某公司今年 1 月份的纯利润是 20 万元， 由于改进技术， 生产成本逐月下降， 3 月份的纯利润是 22.05 万元 ． 假设该公司 2 、 3 、 4 月每个月增长的利润率相同 ． （1） 求每个月增长的利润率；

（2） 请你预测 4 月份该公司的纯利润是多少？

2018年秋人教版九年级上册数学 第21章 一元二次方程 单

元测试题

参与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．方程(m1)x22mx30是关于x的一元二次方程， 则( ) A ．m1

B ．m1

C ．m1

D ．m1

【分析】根据一元二次方程的定义， 得到关于m的不等式， 解之即可 ． 【解答】解： 根据题意得：

m10，

解得：m1， 故选：D．

【点评】本题考查了一元二次方程的定义， 正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键 ．

2．一元二次方程3x26x10的二次项系数、一次项系数分别是( ) A．3，6

B．3，1

C．6，1

D．3，6

【分析】找出所求的二次项系数、一次项系数即可．

【解答】解：一元二次方程3x26x10的二次项系数，一次项系数分别是3，6． 故选：A．

【点评】考查了一元二次方程的一般形式：ax2bxc0(a，b，c是常数且a0)特别要注意a0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．

3．下列方程中有一个根为1的方程是( ) A ．2x2x0

B ．3x22x50 C ．x25x40 D ．2x23x50

【分析】利用一元二次方程解的定义对各选项分别进行判断 ．

【解答】解： 当x1时，2x2x212，所以x1不是方程2x2x0的解； 当x1时，3x22x53256，所以x1不是方程3x22x50的解； 当x1时，x25x415410，所以x1不是方程x25x40的解； 当x1时，2x23x52350，所以x1是方程2x23x50的解 ． 故选：D．

【点评】本题考查了一元二次方程的解： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解 ．

4．关于x的方程(x2)21m无实数根， 那么m满足的条件是( ) A ．m2

B ．m2

C ．m1

D ．m1

【分析】方程左边是一个式的平方， 根据平方的非负性， 得关于m的不等式， 求解不等式即可 ．

【解答】解： 当1m0时， 方程无解 ． 即m1． 故选：C．

【点评】本题考查了一元二次方程的直接开平方法， 运用直接开平方法， 等号的另一边必须是非负数 ．

5．一元二次方程y24y30配方后可化为( ) A ．(y2)27 B ．(y2)27

C ．(y2)23

D ．(y2)23

【分析】先表示得到y24y3，再把方程两边加上 4 ，然后把方程左边配成完全平方形式即可 ．

【解答】解：y24y3，

y24y47， (y2)27． 故选：A．

【点评】本题考查了解一元二次方程配方法： 将一元二次方程配成(xm)2n的形式， 再利用直接开平方法求解， 这种解一元二次方程的方法叫配方法 ．

6．一元二次方程x2x10的根是( ) A．x15 B．x15 2C．x15 D．x15 2【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义可判断方程根的情况． 【解答】解：△124(1)50，

方程有两个不相等的两个实数根，

即x15． 2故选：D．

【点评】本题考查了公式法解一元二次方程，用公式法解一元二次方程的前提条件有两

0． 个：①a0；②b24ac…7．一元二次方程(x1)(x2)2的解是( ) A ．x10，x23

B ．x11，x22 C ．x11，x22D ．x10，x23

【分析】先把方程化为一般式， 然后利用因式分解法解方程 ． 【解答】解：x23x0，

x(x3)0，

x0或x30，

所以x10，x23． 故选：A．

【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法： 就是先把方程的右边化为 0 ，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式， 那么这两个因式的值就都有可能为 0 ，这就能得到两个一元一次方程的解， 这样也就把原方程进行了降次， 把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了 （数 学转化思想） ． 8．一元二次方程x22x50的根的情况是( ) 4A ． 有两个不相等的实数根 B ． 有两个相等的实数根

C ． 没有实数根 D ． 无法判断

【分析】根据方程的系数结合根的判别式， 可得出△90，进而可得出方程

50有两个不相等的实数根， 此题得解 ． 45【解答】解：△2241()90，

45方程x22x0有两个不相等的实数根 ．

4x22x故选：A．

【点评】本题考查了根的判别式， 牢记“当△0时， 方程有两个不相等的实数根”是解题的关键 ．

9．方程x22x40和方程x24x20中所有的实数根之和是( ) A ． 2

B ． 4

C ． 6

D ． 8

【分析】根据方程的系数结合根的判别式， 可得出两方程均有两个不相等的实数根， 再利用根与系数的关系可求出每个方程的两根之和， 将其相加后即可得出结论 ． 【解答】解：方程x22x40的根的判别式△(2)241(4)200，

方程x22x40有两个不相等的实数根， 两根之和为 2 ；

方程x24x20的根的判别式△(4)241280，

方程x24x20有两个不相等的实数根， 两根之和为 4 ．

246，

两方程所有的实数根之和是 6 ．

故选：C．

【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系， 牢记两根之和等于关键 ．

10．某超市一月份的营业额为 40 万元， 一月、 二月、 三月的营业额共 200 万元， 如果平均每月增长率为x，则由题意列方程为( ) A ．40(1x)2200 C ．40403x200

B ．40402x200 D ．40[1(1x)(1x)2]200

b是解题的a【分析】设平均每月增长率为x，由一月、 二月、 三月的营业额共 200 万元， 即可

得出关于x的一元二次方程， 此题得解 ． 【解答】解： 设平均每月增长率为x， 根据题意得：40[1(1x)(1x)2]200． 故选：D．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程， 找准等量关系， 正确列出一元二次方程是解题的关键 ． 二．填空题（共8小题）

11．若x3m12x10是关于x的一元二次方程， 则m的值为 1 ．

【分析】本题根据一元二次方程的一般形式， 即可得到3m12，即可求得m的值 ． 【解答】解： 依题意得：3m12， 解得m1． 故答案是： 1 ．

【点评】本题利用了一元二次方程的概念 ． 只有一个未知数且未知数最高次数为 2 的整式方程叫做一元二次方程， 一般形式是ax2bxc0（且a0)． 12．已知m是关于x的方程x24x50的一个根， 则2m28m 10 【分析】利用一元二次方程的解的定义得到m24m5，再把2m28m变形为，然后利用整体代入的方法计算 ． 2(m24m)【解答】解：m是关于x的方程x24x50的一个根，

m24m50， m24m5，

2m28m2(m24m)2510． 故答案为 10 ．

【点评】本题考查了一元二次方程的解： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解 ．

13．一元二次方程x2mxn0的两实根是x12，x23，则m 5 ，n ． 【分析】根据根与系数的关系结合方程的两实根是x12，x23，可求出m，n的值，

此题得解 ．

【解答】解：一元二次方程x2mxn0的两实根是x12，x23，

mx1x25，nx1x26． 故答案为： 5 ；6．

【点评】本题考查了根与系数的关系， 牢记“两根之和等于解题的关键 ．

14．一个三角形的两边长分别为 3 和 5 ，第三边长是方程x26x80的根， 则三角形的周长为 12 ．

【分析】先利用因式分解法解方程得到x12，x24，然后利用三角形三边的关系得到三角形第三边的长为 4 ，从而得到计算三角形的周长 ． 【解答】解：x26x80，

(x2)(x4)0，

bc，两根之和等于”是aax20或x40，

所以x12，x24， 而235，

所以三角形第三边的长为 4 ， 所以三角形的周长为34512． 故答案为 12 ．

【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法： 就是先把方程的右边化为 0 ，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式， 那么这两个因式的值就都有可能为 0 ，这就能得到两个一元一次方程的解， 这样也就把原方程进行了降次， 把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了 （数 学转化思想） ． 也考查了配方法解一元二次方程 ． 也考查了三角形三边的关系 ．

15．已知关于x的一元二次方程mx2x10有实数根， 则m的取值范围是 m„m0 ．

1且4【分析】由于关于x的一元二次方程有实数根， 计算根的判别式， 得关于m的不等式， 求解即可 ．

【解答】解：关于x的一元二次方程mx2x10有实数根，

0，且m0． 则△14m…1且m0． 41故答案为：m„且m0．

4解得m„【点评】本题考查了根的判别式、 一次不等式的解法及一元二次方程的定义 ． 题目难度不大， 解题过程中容易忽略m0条件而出错 ．

16．若关于x的一元二次方程(m2)x23xm240有一个根为 0 ，则另一个根为

3 ． 4【分析】先把x2代入方程(m2)x23xm240得到满足条件的m的值为2，此时方程化为4x23x0，设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得到0t然后求出t即可 ．

【解答】解： 把x2代入方程(m2)x23xm240得方程m240，解得m12，

3，4m22， 而m20， 所以m2，

此时方程化为4x23x0， 设方程的另一个根为t，则0t所以方程的另一个根为

3故答案为．

43． 433，解得t，

44【点评】本题考查了根与系数的关系： 若x1，x2是一元二次方程ax2bxc0(a0)的

bc两根时，x1x2，x1x2．

aa17．如图所示， 点阵M的层数用n表示， 点数总和用S表示， 当S66时， 则n 11 ．

【分析】由等差数列的求和公式结合S66，即可得出关于n的一元二次方程， 解之取其正值即可得出结论 ． 【解答】解： 根据题意得：化简得：n2n1320，

解得：n111，n212（舍 去） ． 故答案为： 11 ．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用， 找准等量关系， 正确列出一元二次方程是解题的关键 ．

18．如图， 在长为10m，宽为8m的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路， 剩余部分进行绿化， 要使绿化面积为48m2，则道路的宽应为 2 m．

n(n1)66， 2

【分析】设道路的宽为xm，则剩余部分可合成长为(10x)m，宽为(8x)米的长方形， 根据矩形的面积公式结合绿化面积为48m2，即可得出关于x的一元二次方程， 解之取其较小值即可得出结论 ．

【解答】解： 设道路的宽为xm，则剩余部分可合成长为(10x)m，宽为(8x)米的长方形，

根据题意得：(10x)(8x)48， 整理得：x12，x216．

8x0， x8， x2．

故答案为： 2 ．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用， 找准等量关系， 正确列出一元二次方程是解题的关键 ． 三．解答题（共8小题） 19．解下列方程 （1）x26x40 （2）2x2x30 （3）3x(x2)105x

【分析】（1） 利用配方法得到(x3)25，然后利用直接开平方法解方程； （2） 利用因式分解法解方程；

（3） 先变形为3x(x2)5(x2)0，然后利用因式分解法解方程 ． 【解答】解： （1）x26x4，

x26x95，

(x3)25， x35，

所以x135，x235； （2）(2x3)(x1)0，

2x30或x10，

所以x13，x21； 2（3）3x(x2)5(x2)0，

(x2)(3x5)0，

x20或3x50， 5所以x12，x2．

3【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法： 就是先把方程的右边化为 0 ，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式， 那么这两个因式的值就都有可能为 0 ，这就能得到两个一元一次方程的解， 这样也就把原方程进行了降次， 把

解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了 （数 学转化思想） ． 也考查了配方法解一元二次方程 ．

20．已知关于x的一元二次方程x2(2k1)xk20有两个不相等的实数根， 求k的取值范围 ．

【分析】计算根的判别式△， 由题意得到关于k的不等式， 求解即可 ．

【解答】解：关于x的一元二次方程x2(2k1)xk20有两个不相等的实数根，

△[(2k1)]241k20

即4k10，

k1． 4【点评】本题考查了根的判别式， 题目比较简单 ． 根的判别式△b24ac． 21．小强看见九年级的哥哥在做这样一道题“解方程：(x3)2(x2)(x2)5”，他看了看后，发现可以用《整式的乘法》知识来去括号，然后转化为一元一次方程来解答．试按照小强的思路完成此题的解答．

【分析】将原方程去括号化成方程的一般形式后求解即可． 【解答】解：去括号得：

x26x9x245，

移项、合并同类项得：

6x18，

解得：x3．

【点评】本题考查了方程的解法，解题的关键是能够利用完全平方公式和平方差公式化简，难度不大． 22．已知方程(m2)xm2(m3)x10．

（1）当m为何值时，它是一元二次方程？ （2）当m为何值时，它是一元一次方程？ 【分析】（1）根据一元二次方程的定答本题； （2）根据一次方程的定义可解答本题．

【解答】解：（1）方程(m2)xm(m3)x10为一元二次方程，

2m22， m20解得：m2，

所以当m为2或2时，方程方程(m2)xm(m3)x10为一元二次方程； （2）方程(m2)xm(m3)x10为一元一次方程，

22m20或m21 m30解得，m2或m1，

故当m为2或1时，方程方程(m2)xm(m3)x10为一元一次方程．

【点评】本题考查了一元一次方程的定义、一元二次方程的定义，能理解一元一次方程的定义和一元二次方程的定义是解此题的关键，尤其是要注意一元一次方程的各种情况要考虑全面．

23．小刚在做作业时， 不小心将方程3x2bx50的一次项系数用墨水覆盖住了， 但从题目的答案中， 他知道方程的一个解为x5，请你帮助小刚求出被覆盖住的数 ． 【分析】把x5代入方程3x2bx50，得到关于b的一元一次方程， 解之即可 ． 【解答】解： 把x5代入方程3x2bx50得：

3525b50，

2解得：b14，

答： 被覆盖住的数是 14 ．

【点评】本题考查一元二次方程的解， 正确找出等量关系， 列出一元一次方程是解题的关键 ．

24．已知关于x的一元二次方程x2(k2)xk10． （1） 若方程的一个根为1，求k的值和方程的另一个根； （2） 求证： 不论k取何值， 该方程都有两个不相等的实数根 ． 【分析】（1） 把x1代入方程可求得k的值， 再解方程可求得另一根；

（2） 根据方程的系数结合根的判别式， 即可得出△k280，由此可证出不论k取

何值， 方程必有两个不相等的实数根 ．

【解答】（1） 解： 把x1代入方程可得1(k2)k10， 解得k1，

当k1时， 原方程为x2x20， 解得x11，x22， 即方程的另一根为 2 ；

（2） 证明：a1，b(k2)，ck1，

△b24ac[(k2)]241(k1)k280， 不论k取何值， 该方程都有两个不相等的实数根 ．

【点评】本题考查了根与系数的关系 ． 一元二次方程ax2bxc0(a0)的根与系数

bc的关系为：x1x2，x1x2． 也考查了根的判别式 ．

aa25．某天猫店销售某种规格学生软式排球， 成本为每个 30 元 ． 以往销售大数据分析表明： 当每只售价为 40 元时， 平均每月售出 600 个；若售价每上涨 1 元， 其月销售量就减少 20 个， 若售价每下降 1 元， 其月销售量就增加 200 个 ． （1） 若售价上涨m元， 每月能售出 60020m 个排球 （用m的代数式表示） ． （2） 为迎接“双十一”， 该天猫店在 10 月底备货 1300 个该规格的排球， 并决定整个 11 月份进行降价促销， 问售价定为多少元时， 能使 11 月份这种规格排球获利恰好为 8400 元 ．

【分析】（1） 由销售数量60020上涨价格， 即可得出结论；

（2） 设每个排球降价x元， 则 11 月份可售出该种排球(200x600)个， 根据月利润

单件利润月销售数量， 即可得出关于x的一元二次方程， 解之取其较小值即可得出结论 ．

【解答】解： （1） 根据题意得：60020m． 故答案为：60020m．

（2） 设每个排球降价x元， 则 11 月份可售出该种排球(200x600)个，

根据题意得：(40x30)(200x600)8400， 解得：x13，x24．

当x3时， 销量为12001300，适合题意； 当x4时， 销量为14001300，舍去 ．

40x37．

答： 每个排球的售价为 37 元 ．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用， 找准等量关系， 正确列出一元二次方程是解题的关键 ．

26．列一元二次方程解应用题

某公司今年 1 月份的纯利润是 20 万元， 由于改进技术， 生产成本逐月下降， 3 月份的纯利润是 22.05 万元 ． 假设该公司 2 、 3 、 4 月每个月增长的利润率相同 ． （1） 求每个月增长的利润率；

（2） 请你预测 4 月份该公司的纯利润是多少？

【分析】（1） 设每个月增长的利润率为x，根据 1 月份及 3 月份该公司的纯利润， 即可得出关于x的一元二次方程， 解之取其正值即可得出结论；

（2） 根据 4 月份该公司的纯利润3月份该公司的纯利润(1增长率） ，即可求出 4 月份该公司的纯利润 ．

【解答】解： （1） 设每个月增长的利润率为x， 根据题意得：20(1x)222.05，

解得：x10.055%，x22.05（不 合题意， 舍去） ． 答： 每个月增长的利润率为5%．

（2）22.05(15%)23.1525（万 元） ． 答： 4 月份该公司的纯利润为 23.1525 万元 ．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用， 找准等量关系， 正确列出一元二次方程是解题的关键 ．