数轴相反数绝对值有理数的大小比较

一、教案目的

1 、掌握数轴的三要素，能正确画出数轴 2 、会用数轴上的点表示整数和分数 3 、会比较数轴上数的大小

4 、通过对数轴的学习，把有理数和数轴建立联系，使学生认识到 \" 数\" 与\" 形 \" 的相互统一和转化。

5 、理解相反数的概念，会求一个数的相反数。 6 、了解两个互为相反数在数轴上的特征。 7 、能根据相反数的意义进行多重符号的化简。 8 、理解绝对值的几何定义和代数定义。 9 、给一个数，能求出它的绝对值。 10 、会利用绝对值比较两个负数的大小。 二、教案要求

1 、掌握数轴的三要素是：原点、正方向和单位长度，并能正确画出数轴 2 、能将已知数在数轴上表示出来，能说出数轴上已知点所表示的数 3 、会比较数轴上数的大小 三、例题分析

第一阶梯

例 1、我们都见过温度计，在温度计上有刻度，刻度上标有读数，根据温度计 的液面的不同位置就可以读

出不同的数，从而得到所测的温度，像这样在一条直线上画出刻度， 用这些刻

度来表示量的大小的

例子很多，你能举出一些实例吗？

提示：

想想用什么工具可测量课本的宽度，教室的长度？ 参：

直尺，M尺，带有水平刻度的杆等等。 说明：

实际生活中这样的例子还有很多，它们都是在直线上画出刻度，标出读 数，用直

线上的点来表示正数， 负数和0。 例2、

与温度计类f必可以在一条直线上画出刻度，标出读数，用直线上的点来表示正数, 0

和负数，具体■做法如下匕画一条直线(一股水平旅置)，在这条直线上任取一点作原点. 用这电表示庆规定直竝上从庾点向右为正肓向，那么相反的方向，即从癡点向左为负方向 (相当于温度计DC以上为正，冗以下为负) --------

J ---- >选取适当的长度作为单位

长度(相当于温度计每占一小格的长度)，在直线上，从原点向右，每隔一个单位长匿 取一点*依次表亦2> 3 ..... ，从原点向左.每隔— 单位长度®—点，依次表乔亠 2门

如图!

像这样，规定了康点，正右向和单位长度的直线叫做数轴. 练：指出下列数轴的错误，并加以改正

_Jj_— 上* _ J\"- 一上

提示

数轴的三要素是什么? 数轴是一

条直线、射线还是一

1)( 2)( 3)( 4)题缺了哪些要素？另外,

条曲线?

答案:

(1)无正方向 的位置错误

(4)无原点

(2)无单位长度 (3)— 1, 2,— 3

(5)数轴画成了曲线 (6)数轴画成了射线

正确作图:

说明：

(1) 数轴是一条直线，画图时不能把它画成射线，线段或曲线 (2) 数轴的三要素--原点，正方向和单位长度，三者缺一不可

(3) 画单位长度时，注意各刻度一定要统一长短，并注意从原点向左依次 表示-1， -2， - 3 .

(4) 数轴的三个要素都是规定的，所以可根据具体情况灵活选定原点位 置；正方向的指向(通常自左

向右为正方向)；单位长度的大小也可根据不同需要选择。但这三要素一经确 定，就不能随意变更。

(5) 从数轴上可看出，0是特殊位置的点，它是正数和负数的分界点。 例3、填空题：

(1) __________________________ 2的相反数的绝对值是 ; (2) 绝对值等于5的数是 __________ ;

(3) ______________________________ 绝对值不大于2的整数是 。 思路分析：

求一个数的绝对值，用代数定义比较方便，求绝对值等于 义比较直观，不大于即小于或等

于，绝对值不大于2的整数即在数轴上到原点距离小于或等于 2的整数点 表示的数。

5的数用几何定

解：(1) 2; 例4、工 几 J

思路分析：

(2)± 5; (3) -2 , -1 , 0, 1, 2

；「工\"再确定它的符号。

'11

.<■ 的相反数的相反数，或理解为 a的相反数的相反

数再取相反的数，最后结果为-a，

当 a<0 时，-a>0。 解：:匕

例5、若-a>a,则a为 （）

A、正数 思路分析：

由-a> a,可知一个数的相反数大于或等于这个数本身，而由相反数的 代数定义

可知：负数的相反数

大于本身，0的相反数等于本身，故a应为负数或0。 答案：D

第二阶梯

例1、有了数轴，我们可看到正有理数可用原点右边的点来表示，如 轴右边距离原点3个单位的点

+3可用数

B、负数

C、非负数

D、非正数

-11

来表示；负有理数可用原点左边的点来表示，如

::

可用数轴上

-1- 原点左边距离原点’个单位的点

来表示；数“ 0”可用原点表示，事实上，所有的有理数都可以用数轴上的点来 表示。

画出一条数轴，并在上面标出表示下列各数的点一

5, — 3.5, +2.5 ,

-11 :+4

0, , ［提示］

数轴的三要素是什么？画数轴时，除注意数轴三要素缺一不可，还应注 意什

么？正、负有理数应该用

原点哪边的点来表示？数“ 0”可用什么点表示？ ［参］

乍点 0

卄

叮叮* ■勺町*1 9 I J- i I f ［说明］

整数在数轴上容易找出表示它的点；但分数用数轴上的点表示时，特别 注意负

分数的表示，如-3.5它

应该用数轴左边距离原点3.5个单位的点来表示，它应该在-3，-4中间，而不 是在-2与-3之间。用数轴上

的点表示整数与分数时，应（1）明确方向；（2）距离原点几个单位长度。

例2、我们知道，所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，反过来，数轴上 的每一个点就可以表示一

个数，如距离原点左边2.1个单位的点就可表示一2.1这个数，距离 4丄

原点右边•:个单位的点表示数

4丄

二，原点表示数“ 0”。指出下面数轴上 A B、C、D E各点分别表示什么有 理数。

［提示］

点A、C在原点左边，表示的是正数还是负数？它们分别距离几个单位 长度？点

B,即原点，它表示的 是什么数?

点D E在原点右边，它们表示的是正数还是负数？它们分别距离原点 几个单位

长度？ ［参］

C、一 1 D、+5.5 E、4

［说明］

已知数轴上的点求有理数时：(1)先确定符号是正数、负数或 0;

(2)观察距离原点几个单位长度

另外，所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，反之，不能说数轴上 所有的

点都表示有理数，实际

上，我们所讲的数轴，是实数轴，实数与数轴上的点才是一一对应的，这在今 后的学习中就知道了。

例3、利用温度计，可以很容易比较两个温度的高低。相应地，禾U用数轴，也 可以不太困难地进行比较有

理数的大小。从温度计可看出，3C在一4C上边，3C的温度高于一 4C； -2C

在一5C上边，2C的

温度高于一5C，与温度计类似，在数轴上表示的两个数，右边的数 总比左边

的数大，3在一4右边，

二 3> -4， — 2 在一5 右边，二一2> — 5。 利用数轴比较一4，0，3的大小。

［提示］

先画出数轴，-4 , 0, 3可分别用数轴上的哪个点来表示？这三个点哪 个在最

右边，哪在中间，哪在左

边，数轴上的点表示的两个数，哪边的大？ ［参］

［说明］

（1） 由正负数在数轴上的位置，可以得出：

正数都大于0,负数都小于0;正数大于一切负数。

（2） 用“〉”或“V”号顺次连接 3个数时，不等号的方向一定要一致。

3>0> — 4 不能写成 3> — 4V0 或 0< 3> — 4 但可以写成一4< 0< 3。

例4、正式排球比赛，对所使用的排球的重量是有严格规定的。检查 的重量，超过规定重量的克数

记作正数，不足规定重量的克数记作负数，检查结果如下表： +15 -10 +30 -20 -40

指出哪个排球的质量好一些（即重量最接近规定重量）？你怎样用学过 的绝对

值知识来说明这个问

题？

解：第二只排球质量好一些，利用这些数据的绝对值的大小来判断排球的 质量，绝对值越小说明越接近

规定重量，因此质量也就好一些。

例 5、（1）k- 3| 二 0,那么\" _____ ,

5个排球

⑵比较大小:-加 - 314 (填入\"y £或丁)

11

思路分析：利用绝对值比较两个负数的大小和绝对值的化简。 答案：(1)3；

( 2)<

例6求下列各数的相反数：- 2.3,

,

0,

a,

x-y+z

1/5

解：一2.3的相反数是2.3 ;

1/5 是0; a的相反数是一a； x— y+z的相

反数是

—(x — y+z)= — x+y — Zo

第三阶梯

例1、观察数轴，然后回答下列问题:

(1) 有没有最小的正整数？有没有最大的正整数？如果有，把它指出来? (2) 有没有最小的负整数？有没有最大的负整数？如果有，把它指出来? ［提示］

整数可分为几类？正整数和负整数分别是原点哪边的整数？ 数轴上的点所表示的数，哪边的较大？

［参］

(1) 有最小的正整数，是+ 1;没有最大的正整数。 (2) 没有最小的负整数；有最大的负整数，即一 1 ［说明］

的相反数是

-1/5

；0的相反数

叮呻巧J 4 r

观察数轴

可知正整数即：1, 2，3, 4，5

负整数即：一1,— 2,— 3,— 4,— 5……

因为数轴是一条直线，两边可无限延伸，所以

(1) 对于正整数1, 2, 3, 4, 5……来说，右边无限延伸，没有最大的正 整数，而1在最左边，所以有 最小的正整数。

(2) 对于负整数来说，数轴向左边无限延伸，而- 最小的负整数，最大的负整数 是一 1 0

£

例2、 (1)把一2二,0, 1按从大到小的顺序用“〉”号连接起来。

1在最右边，所以没有

2 3

(2) — ■ , — ■ , 2按从小到大的顺序用“V”号连接起来。

［提示］

可利用数轴比较大小，数轴上表示的两个数，哪边的大？哪边的小？用

\" >\"或\"V\"号顺次连接3个数 时，应注意什么？ ［参］

1.

(1) 1>0>— 2 ::

3

:

2

(2)— V— V 2 ［说明］

(1) 把几个数按从大到小的顺序排列，用“〉”连接，按从小到大的顺序 排列，用“V”连接。

(2) 可利用结论“正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数”进行 比较，当两个数均为负数时，

再利用数轴上的“右边的数总比左边的数大”

2

3

如（1）小题，直接利用结论即可，（2）小题只需比较一•和一•，•••表示 2

3

- 的点在表示一的点的

3 2

右边。二—<-； 例3、在数轴上找出到原点的距离小于 2的整数所表示的点。 ［提示］

根据条件找点时，应先确定方向，再确定离开原点距离，本题没明确指 明方

向，有几种可能？小于2 的整数有哪些？ ［参］

［说明］

本题没明确指明方向，因此有两种可能：原点向右或向左。

因为小于2的正整数只有1, 0,再结合方向，就能得出到原点的距离 小于2的

整数只能是一1, 0, 1。 四、测试卷

A

组

）

C.在

（1 •数轴上一3的点在原点的哪侧？（规定向右方向为正方向）（ A. 原点 法确定

（2 •一个点从数轴上的原点开始，先向右移动 单位长度，经过两次移动后到

右侧 D.无

B.左侧

2个单位长度，再向左移动3个

达的终点表示的是什么数？（） A. + 5

B. + 1 C. — 1 D. — 5

（3 •下列各式正确的是（）

A. — 3>— 1

B. — 3> 1

1_ 1

D. — V—；

C. — 1>

（4 •— 4,— 1, 2的大小顺序是（） A. — 4> 2>— 1 4>— 1V 2

B. — 4V— 1V 2

D.2 > — 4V— 1

C.—

答案：1— 4 B , C, D, B

B组

1、 数轴的三要素是 ___________ 、 ____________ 、 _______________ 。 2、 在数轴上表示的两个数 _______ 边的数总比 _________ 边的数小。 3、 正数都 _________ 0，负数都 _______ 0,正数 _____________ 一切负数。 4、 最小的正整数是 ________________ 。最大的负整数是 ________________ 。 5、 ⑴在下面数轴上，A、B、C、D E各点分别表示什么数？

建 $ 乙

-i B A P

r x

11

⑵先画出数轴，然后在数轴上画出表示-4、-2.5、0、…、+2的点

6、 在下面数轴上，A点表示什么数，它到原点的距离是多少？数轴上还有无 到原点的距离与A点到原点距

离相同的点？如有这样的点，则此点表示什么数？

4

4 d ——* 亦十Z q $I2 4 4 f

虫 ■

史

7

答案:

1、 原点，正方向，单位长度 2、 左，右

3、 大于，小于，大于 4、 +1, -1 5、 ⑴A: 1

E : -1.25 ⑵

B : -0.5

C: 0

D:

“ ■‘

0 tj fl _ r- ■ _____ ——

诈 r J T D / 』

丄

-2 $

■ _______________ L

2 i 6、A点表示+3,它到原点的距离是3,数轴上还有到原点的距离是 3的点, 此点表示

数-3

C组

1、 一个数的倒数是它本身，这个数是 ________ ，一个数的相反数是它本身，这个 数是 _______ O

2、 若a-2的相反数是5,则a的值为 ___________ 。 3、 有理数中所有的整数之和为 _________

O

4、 关于相反数的意义，说法正确的是（ ）

A、 一正一负的两个有理数（零除外）称之相反数。 B、 具有相反意义的两个数称之相反数。

C、 在数轴原点的两旁，离开原点距离相等的点所表示的两数。 D符号不同的两个数。 5、 下列语句正确的是（

）

A、一个数的相反数一定是负数。 B、一个数的绝对值一定是正数。

C、一个数的绝对值一定不是负数。 D —个数的绝对值一定是负数。

6、 一个数的绝对值比这个数大，那么这个数必是（ ）

A、正数 B、负数

C、非负数

D任何有理数

7、 判断题：

（1）-3 是相反数； （

）

（2） 符号不同的两个数互为相反数；

（

）

（3） 和原点距离相等的两个点所表示的数一定是互为相反数； （ （4）互为相反数的两个数一定不相等。 （）

8、 下列说法错误的是（

）

A、一个正数的绝对值一定是正数。 B、一个负数的绝对值一定是正数C、任何数的绝对值都是正数。 D任何数的绝对值都不是负数。

9、 下列说法不正确的是（

）

A、如果a的绝对值比它本身大，则a

定是负数。

B、如果两个数相等，那么它们的绝对值也必不相等。 C、两个负有理数，绝对值大的离原点远。 D两个负有理数，大的离原点近。 答案

1 、± 1， 0 2 、 -3 3、 0 4、 C 5、 C 6、 B 7、 ( 1)X

( 2)X

( 3)V (4)X

）

8、C

9 、B