圆锥曲线小题经典例题

圆锥曲线小题经典例题-2020年4月

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x2y2222Δ1. 过双曲线221（ba0）的左焦点Fc,0（c0）作圆xya的切线，设切点为E，

ab延长FE交抛物线于点P，O为坐标原点，若E为PF的中点，则双曲线的离心率为 .

解析：512. 如图，设PFF2，则FPP1.

在POE中，cosb2aac，在FPP1中，cos2bb， 所以bcab，acb2c2a2，等式两边同时除以a2得，e21e，

125e24，e5122，又双曲线e1，所以e512.

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x2y2Δ2. （有难度）设F是双曲线221（ba0）的一个焦点，过F作双曲线的一条渐近线的垂线，

abuuuruuur与两条渐近线分别交于P，Q两点，若FP3FQ，则双曲线的离心率为 .

解析：3. 不妨设Fc,0，依题意作图，双曲线的渐近线为y在直角三角形FOQ中，OFc，tanFOQbx， auuuruuur（用到条件：点Q在渐近线上）又FP3FQ，所以FP3b.

过点P作PMx轴于点P，则由OQF:PMF得（点P处作辅助线） OQFQOF3b23b23b2c23abcc，FM，OM ，解得PMccccPMFMPF3b在直角三角形PMO中，tanPOMb，所以FQb，OQa. ab（用到条件：点P在渐近线上） a3abb所以2c2，3a23b2c23c2a2c2，c3a，所以离心率e3. 3bcac解法二：利用模型求解----“正弦定理”，

设FOQPOM，OFQ，则2.在POF中

bcsinsincoscossinbbaa3b22，所以c3b2ba，

csin3bsinccccc所以c23b2a23c22a2，c3a，所以离心率e3. 第 3 页

x2y2Δ3.（洛阳市高三18年第一次统考）已知双曲线221（ba0）的左右焦点为F1，F2，在其右支

ab上取一点Px0,y0，连接PF1，并过F1作PF1的垂线交双曲线的左支于R，Q两点，其中Rx0,y0，QF1P为等腰三角形，则双曲线的离心率为 .

解析：102.（定义的使用体现的很精彩） 设F1PF1Qm（m2a），则PF2m2a，QF2m2a RF2PF1m,RF1PF2m2a，

在QRF222中，m2ammm2a2，解得m3a.

PF13a，PF2a，

在PF21F2中，2c3a2a210a2，所以c252a2. c2离心率e510a222.

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22x2y2a，Δ4. 椭圆C：221（ab0）中，F1，F2为左右焦点，O为原点，点P为椭圆上一点，OP3ab且PF1、F1F2、PF2成等比数列，则椭圆的离心率为 .

2. 32记PF，（，），由题知，，mnFF4c2 m0n0mn2amPFn1212解析：

m2n2mn2mn4a28c2.

又在PF1F2中，O为F1F2的中线，有mn22222161222OPF1F2a22c2， 9216222c22222a2c，ca，离心率e所以4a8c. 299a93 第 5 页

x2y2Δ5. 设椭圆E：221（ab0）的右顶点为A，右焦点为F ，B为椭圆在第二象限的点，直线BO

ab（O为坐标原点）交椭圆E于点C，若直线BF平分线段AC于M，则椭圆E的离心率为 .

1OM1.连接OM，则OM为ABC中位线，，又由OMF:ABF得， 解析：

3AB2OFFAOMAB12,即cac12，a3c，离心率e13.

解法二：因为点F为中线BM与AO的交点，所以点F为ABC的重心，有

x13x111FAxBxC3xA，c3a，离心率e3.

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x2y2Δ6. 双曲线221的左右焦点分别为F1，F2，P是双曲线右支上一点，I为PF1F2的内心，PI交x轴

ab于Q点，若FQPF2，且PI:IQ1:2，则双曲线的离心率的值为 . 13.内心的性质应用. 2设PFn，F2Q2cFQ2cn，mn2a，① 1m，PF2n，则FQ11解析：

在PF1Q中，因为F1I为QF1P的角平分线，所以在PF1F2中，因为PQ为F1PF2的角平分线，所以

PF1PI2，m2n ，② QF1IQPF1FQmn，③ 1，n2cnPF2F2Qc33联立①②③，解得m4a，n2a，，所以双曲线的离心率为.

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