山东省青岛胶州市2021学年上学期高一年级期中考试数学试卷

本试卷4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置；

2．作答选择题时：选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上；非选择题必须用黑色字迹的专用签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效；

3．考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，请将答题卡上交．

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若函数f(x)A．[4,) C．[4,5)

x4的定义域为集合A，则A（ ）

|x|5B．(5,) D．[4,5)2

(5,)

2．下列函数中与函数yx是同一函数的是（ ） A．uv B．yx|x|

2x3C．y

xD．y(x)4

3．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若ab0，则下列结论正确的是（ ）

11A．

abB．ambm C．ab

1212D．22

ab4．专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间t（单位：天）与病情爆发系数f(t)之间，满足函数模型：f(t)约为（ ）参考数据：eA．38

211e0.22(t50)，当f(t)0.1时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时t1.13

C．45

D．47

B．40

5．若关于x的方程xax10(aR)有两个正根x1,x2，则a的最小值为（ ） A．1

B．2

C．3

D．4

2x, x06．若函数f(x)是(,)上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（ ）

xa, x0A．(0,1]

B．[0,1)

C．(,1]

D．(,1)

7．已知a2,b0.3,c0.3，则a,b,c的大小关系为（ ） A．abc

B．cba

C．bca

D．acb

0.130.18．已知奇函数f(x)在(,)上单调递减，若f(1)2，则满足f(x1)2的x的取值区间是（ ） A．[0,)

B．(,0]

C．[2,)

D．(,2]

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。 9．下列说法正确的是（ ）

A．“对任意一个无理数x，x2也是无理数”是真命题 B．“xy0”是“xy0”的充要条件

2C．命题“xR,x10”的否定是“xR,x10”

2D．若“1x3”的必要不充分条件是“m2xm2”，则实数m的取值范围是[1,3]

10．“双11”购物节中，某电商对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额满一定额度，可以给与优惠： （1）如果购物总额不超过50元，则不给予优惠；

（2）如果购物总额超过50元但不超过100元，可以使用一张5元优惠劵； （3）如果购物总额超过100元但不超过300元，则按标价给予9折优惠；

（4）如果购物总额超过300元，其中300元内的按第（3）条给予优惠，超过300元的部分给予8折优惠． 某人购买了部分商品，则下列说法正确的是（ ） A．如果购物总额为78元，则应付款为73元

B．如果购物总额为228元，则应付款为205.2元 C．如果购物总额为368元，则应付款为294.4元

D．如果购物时一次性全部付款442.8元，则购物总额为516元 11．下列函数是偶函数且在(0,)上具有单调性的函数是（ ） A．f(x)x 2

B．f(x)x,xR C．f(x)1|x|,xR

1 当x为有理数时f(x)D． 0 当x为无理数时12．若a,b(0,)，则下列选项成立的是（ ） A．a(6a)9 C．a2

B．若abab3，则ab9 D．若ab2，则

4的最小值为1 a231232 ab2三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。

13．已知集合A{1,2,3},BA, 1B，则集合B的个数为 个．

214．已知关于x的不等式ax6x80的解集为(2,4)，则a ．

15．222 ．

16．一位少年能将圆周率准确记忆到小数点后面200位，更神奇的是提问小数点后面的位数时，这位少年都能准确地说出该数位上的数字．记圆周率小数点后第n位上的数字为y，则y是n的函数，设yf(n)，

3（2）函数yf(n)与函数yn的交点nN*．则（1）yf(n)的值域为 ；

323有 个．（第一空2分，第二空3分）

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（10分）

已知全集UR，集合A{xR|32x31}，集合B{xR|（1）求A（2）求(R12x2}． 4B；

A)B；

a（3）设集合C{xR|ax2}，若CB，求实数a的取值范围． 18．（12分）

已知函数f(x)的定义域为(2,0)(0,2)，当x(0,2)时，函数f(x)a1． xx2（1）若a0，利用定义研究f(x)在区间(0,2)上的单调性； （2）若f(x)是偶函数，求f(x)的解析式． 19（12分）

某地区上年度电价为0.8元/(kWh)，年用电量为akWh，本年度计划将电价下降到0.55元/(kWh)至0.75元/(kWh)之间，而用户期望的电价为0.4元/(kWh)．经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为k）．该地区的电力成本价为0.3元/(kWh)．

（1）写出本年度电价下调后电力部门的收益y（单位：元）关于实际电价x（单位：元/(kWh)）的函数解析式；（收益实际电量（实际电价成本价））

（2）设k0.2a，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20% 20．（12分）

已知函数f(x)xaxa1，aR．

（1）若f(x)在[1,)上单调递增，求实数a的取值区间； （2）求关于x的不等式f(x)0的解集． 21．（12分）

2a2x2x已知函数f(x)是奇函数，aR．

2x2x（1）求a的值，并求关于x的不等式f(x)3的解集； 52x1（2）求函数g(x)x图象的对称中心．

22x22．（12分） 已知函数h(x)x1． x12（1）直接写出h(x)在[,2]上的单调区间（无需证明）； （2）求h(x)在[,a](a121)上的最大值； 2（3）设函数f(x)的定义域为I，若存在区间AI，满足：x1A，x2IA，使得f(x1)f(x2)，则称区间A为f(x)的“区间”．已知f(x)x实数b的最大值．

111（x[,2]），若A[,b)是函数f(x)的“区间”，求x22参考答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1—8: D A C B B C C A

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

9．CD; 10．ABD; 11． BC; 12．ABD; 三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。 13 4； 14 1； 15

1； 16 （1）{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}；（2）1； 2四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17（10分）

解：（1）由题解得，A{x|0x2}，B{x|2x1} ·········· 2分 所以A························· 3分 B{x|0x1}

（2）所以(RA){x|x2或x0} ···················· 5分 所以(RA)B{x|x2或x1} ····················· 6分

a（3）因为CB，所以a2且21 ··················· 8分 所以a的取值范围为：2a0 ····················· 10分 18（12分）

解：（1）当a0时，f(x)1 ····················· 1分 2x设x1,x2(0,2)且x1x2 ························· 2分 则f(x1)f(x2)11 ····················· 3分 2x12x2x1x2 ···························· 5分

(2x1)(2x2)因为0x1x22

所以x1x20，2x10,2x20···················· 6分 所以f(x1)f(x2)0， 即f(x1)f(x2)

所以f(x)在区间(0,2)为单调递增函数 ··················· 7分 （2）令x(2,0)，则x(0,2)， ···················· 8分 所以f(x)a11a··················· 10分 xx2x2x因为f(x)是偶函数 所以f(x)f(x)a11a ··············· 11分 xx2x2x(0,2)上的解析式为：

所以函数f(x)在x(2,0)1a,0x2xx2f(x) ······················ 12分

1a,2x0x2x19．（12分） 解：（1）y(ka)(x0.3)，x[0.55,0.75] ············· 4分

x0.40.2aa)(x0.3) ··········· 6分

x0.4（2）由（1）知：k0.2a时，y(依题意得：(0.2aa)(x0.3)[a(0.80.3)](120%)且0.55x0.75 ·· 9分

x0.4化简得x21.1x0.30 ························ 10分 解得0.60x0.75 ·························· 11分 所以当电价最低定为0.60元/(kWh)时，

仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20% ··············· 12分 20（12分）

解：（1）因为函数f(x)的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线xa ··· 1分 2由二次函数图象可知，f(x)的单调增区间为[,) ·············· 2分 因为f(x)在[1,)上单调递增，所以

a2a4分 1 ·················

2所以a2，所以实数a的取值区间是(,2] ················· 5分 （2）由f(x)xaxa10得：(x1)[x(a1)]0 ·········· 7分

2x11或x2a1 ···························· 8分

①当a2时，a11，不等式的解集是[a1,1] ············ 9分 ②当a2时，a11，不等式的解集是{1} ············· 10分 ③当a2时，a11，不等式的解集是[1,a1] ··········· 11分 综上，①当a2时，不等式的解集是[a1,1] ②当a2时，不等式的解集是{1}

③当a2时，不等式的解集是[1,a1] ················· 12分 21（12分）

解：（1）由题意得，函数f(x)的定义域为R ················· 1分 因为函数f(x)是奇函数，所以f(0)f(0)，f(0)0 ··········· 2分 所以f(0)a10，解得a1 2检验可知，当a1时，函数f(x)为奇函数，满足题意 ············· 3分

32x2x3 由f(x)得，x22x554x13， 即5(4x1)3(4x1) ················ 所以x5分 415所以4x4，解得x1，所以该不等式的解集为(1,) ············ 6分

2x12x2x2x2xf(x)1 （2）由题知：g(x)x········· 9分 xxx2222所以函数g(x)的图象是由f(x)的图象向上平移一个单位得到的 ········ 10分 因为f(x)为奇函数，所以其图象的对称中心为(0,0) ············ 11分

2x1所以g(x)x图象的对称中心是(0,1) ················ 12分

22x22（12分）

解：（1）h(x)在区间[,1]上单调递减 ··················· 2分 4分 h(x)在区间[1,2]上单调递增 ························ （2）由题意知，h()h(2)①若

12125 ····················· 5分 211156分 a1，则h(x)在[,a]上单调递减，所以h(x)的最大值为h() ··

2222②若1a2，则h(x)在[,1]上单调递减，在[1,a]上单调递增 因为此时h(a)h(2)h()1212515，所以h(x)的最大值为h() ······· 8分 222③若a2，则h(x)在[,1]上单调递减，在[1,a]上单调递增 因为此时h(a)h(2)h()，所以h(x)的最大值为h(a)a综上知：若

12121 ······· 10分 a15a2，则h(x)的最大值为； 22若a2，则h(x)的最大值为a（3）由（1）（2）知： ①当

1 a11155b1时，f(x)在[,b)上的值域为(b,]，f(x)在[b,2]上的值域为[2,]， 22b2211552，所以(b,][2,] bb22因为b满足x1[,b)，x2[b,2]，使得f(x1)f(x2)

所以此时[,b)是f(x)的“区间” ··················· 11分 ②当1b2时，f(x)在[,b)上的值域为[2,]，f(x)在[b,2]上的值域为[b1212125215,]， b2因为当x11[1,b)时，f(x1)f(b)bb， 所以x1[1,b)，使得f(x11)(bb,52]， 即x1[1,b)，x2[b,2]，f(x1)f(x2) 所以此时[12,b)不是f(x)的“区间”

所以实数b的最大值为1 ·························

分 12