维普资讯 http://www.cqvip.com ２００８年第７期 中学数学月刊 ・ １５ ・ 勾股定理逆定理的教学及反思 潘波（江苏省苏州立达学校２１５００２） 笔者在教初三《数学》第九册（下）“逆命 题、逆定理”（华东师大版）这一节时，其中一 个重要的环节是对勾股定理的逆定理进行证 明．勾股定理的证明方法很多，有４００多种， 教材也提供了多种证法，而勾股定理逆定理 的证明，教材的编写却相当“简洁”，即先用 “构造法”构造一个直角三角形，再利用三角 形全等得以证明．笔者在上课之前曾想过，学 生能想到这种方法吗？是否还有别的证明方 法？笔者带着这些疑问走进教室，孰料学生精 彩纷呈的构思、美妙的证法让我的内心得以 释然、震撼，由此引发的教学活动令人难忘． 笔者把这一教学片段实录下来和同仁交流、 探究． １教学片段实录 教师勾股定理的逆定理：如果三角形 的一条边的平方等于另外两条边的平方和， 那么这个三角形是直角三角形． 我们将它写成已知、求证的形式： 已知：如图１，在 △ＡＢＣ中，ＡＢ＝ｃ，ＢＣ＝口， ＣＡ＝６，且 ６ ． 求证：ＡＡＢＣ是直角 三角形． 教师对于勾股定 曰 Ｃ 理我们已知道很多种证 图１ 明方法，然而对它的逆定理的证明却少得可 怜，说明这个问题肯定很有挑战性，同学们愿 意尝试一下吗？ 学生（齐）愿意． 学生积极思考，教室里非常安静．我尽量 给学生提供更多的思考空间，令我很吃惊，不 一会儿有一位基础一般的学生举手了． 学生１很显然，ＡＡＢＣ的边Ａ 所对 的角 Ｃ是最大的，只要说明 Ｃ是直角即 可．于是我的想法就是将 Ｃ分成两个角，使 这两个角分别与厶４， 曰相等，然后利用三 角形内角和是１８０ｏ及相似三角形的知识进 行证明． 教师你的想法很好，具体说说． 学生１（证法１）如 图２，在ＡＡＢＣ的边ＡＢ 上取一点Ｄ，并使ＬＢＣＤ＝ Ａ．在ＡＢＣＤ和△鲋Ｃ 中， 由 … Ｃ 图２ 知ＡＢＣＤ＂＂Ａ Ｃ， 故 ＝等御ＣＢ２＿＝ＢＤ伽． 在边ＡＢ上取一点Ｄ ，并使厶４ＣＤ ＝ ＬＢ， 同理可证ＣＡ２＿＝ＡＤ，．ＡＢ． 于是Ａ Ｃ＋ＣＡ ＝ＢＤ・ＡＢ＋ＡＤ ・ＡＢ＝ＡＢ（ＡＤ ＋ＢＤ）， 所以ＡＢ＝ＡＤ ＋ＢＤ． 又ＡＢ＝ＡＤ＋ＢＤ。 故ＡＤ＝ＡＤ ，从而点Ｄ与Ｄ 重合， 所以ＬＢＣＤ＝ＬＡ， ＡＣＤ＝ 及 在ＡＡＢＣ中，由三角形的内角和为 １８０。，得 ＋ Ａ＋ＬＢＣＤ＋ＬＡＣＤ＝１８０￣。 所以２（ＬＢＣＤ＋ＬＡＣＤ）＝１８０ｏ， 故２ ＡＣＢ＝１８０。，即 ＡＣＢ＝９０ｏ， 因此，ＡＡＢＣ是直角三角形． 证完之后，其他同学投之以钦佩的目光， 可以看出学生１显得特别自豪，毕竟这种构 思是相当大胆的． 教师还有其他方法吗？ 学生２我的思路跟学生１的差不多， 但我作的辅助线及证明过程要比他的简洁 维普资讯 http://www.cqvip.com ・ ｌ６・ 中学数学月刊 ２００８年第７期 些． 教师很好，你具体地说说． 学生２（证法２）如 图３，作ＣＤ＿ＬＡＢ于点Ｄ． 设ＢＤ：ｍ，ＡＤ＝ｎ， ６ ＣＤ＝ｈ． 在Ｒｔ△ＢＤＣ中，ｈ２＝ ｍ２一，即 ＝ ＋ｍ ． Ｂ ａ Ｃ 在Ｒｔ ＡＡＤＣ中，ｈ２＝ 图３ ｂ２－ｎ ，即ｂ２＝ｈ２＋ｎ ． 所以ａ２＋ｂ ＝ｍ ＋ｎ２＋２ｈ （ ） ＝（，ｎ＋ｎ） 一２ｍｎ＋２ｈ ． 因为ａ２＋ｂＺ＿＝ｃ ，ｃ＝ｍ＋ｎ， 所以ｃ￣－．ｃ２－２ｍｎ＋２ｈ２，即ｈＺ＝ｍｎ，即一ｈ＝旱＿． ｍ 凡 又／ＢＤＣ＝／ＣＤＡ＝９０。， 故／ＸＢＤＣ＇．＇－＇／ＸＣＤＡ， 所以／ＢＣＤ＝／＿Ａ， ＡＣＤ＝ ． 在△ＡＢＣ中，由三角形的内角和为 １８０。，得 Ｂ＋ Ａ＋Ｚ＿ＢＣＤ＋ ＡＣＤ＝１８０。， 所以２（／＿＿ＢＣＤ＋／－ＡＣＤ）＝１８０。， 故２ ＡＣＢ＝Ｉ８０。，即 ＡＣＢ＝９０。， 所以△ＡＢＣ是直角三角形． 由于学生２对（ ）式施以巧妙的变形，利 用三角形相似说明两对角相等，整个证明过 程相当简洁．其他学生再也按捺不住敬佩之 情，报之以热烈的掌声．还没等掌声平息下 来，又有一位学生举手了． 教师（很激动）请讲． 学生３我跟他俩的证法不一样，我先 构造一个直角三角形，然后利用三角形相似 解决的． 在学生３讲思路的过程中我也不断地思 考，难道是跟教材的证法类似？但此时我知道 学生才是学习的主人，不能“武断”地介入学 生的想法，教师是数学学习的组织者、引导者 与合作者，但更是倾听者，教师应该随学生的 思维而思． 学生３（证法３）如图４，在边ＡＢ上取 点Ｄ，边ＡＢ的延长 线上取点Ｅ，并使 ＢＥ＝ＢＤ＝ＢＣ＝ａ，连结 ＣＤ，ＣＥ， 显 然 ／＿．ＥＣＤ＝９０ｏ， ＡＤ＝ ，一 ｃ一０．Ａ Ｅ：ｃ＋０． Ｅ 图４ 因为ａ％ｂ ＝１３ ，所以ｂ２＝ｃ 一（１２， 所以ｂ２＝（ｃ一０）（ｃ＋０）， 从而 ＝ ＝ ， Ｃ一０ Ｄ ＾ ＾乙 或 ＝ ，Ｚ￣Ａ： 所以△ＡＣＥ”△ＡＤＣ， 故 ＡＣＤ＝／＿．ＢＣＥ＝ Ｅ， 于是 Ａ ＣＢ＝ ＢＣＤ＋ ＡＣＤ＝ Ｅ＋ ＤＣＢ＝９０。． 故△Ａ ＣＢ是直角三角形，命题得证． 此时，同学们又鼓起掌来，班级彻底沸腾 了．因为，学生３先是创造性地构造一个直角 三角形，然后再进行证明．应该说他的做法似 乎离要证的目标更近一些，我也清楚了他构 造的直角三角形和教材不一样，也为自己没 有“介入”他的思维而暗自庆幸． 教师（本节课已过大半，该作个小结和 点评，准备讲预设的内容）同学们给出了这个 命题的多种精彩证明方法，这时，需要停下 来，回首刚刚走过的道路，进行分析、总结、提 高． 话音刚落，一位学生举手了． 教师你想阐述从他们的证明方法中获 得哪些启发还是作分析、小结呢？ 学生４老师，我不是作小结，我还有一 种证法． 教师（惊愕，还有证法呀）请讲． 学生瞬间平静了下来，目光齐刷刷聚焦 在学生４的身上，屏住呼吸准备聆听她的讲 解． 学生４前面几位同学是通过直接证明 的方法进行证明的，对我来说这些做法还是 维普资讯 http://www.cqvip.com ２００８年第７期 中学数学月刊 ２对教学过程的几点思考 ２．１对教材编写者的建议 ・ ｌ７ ・ 比较困难，老师您不是说过正面考虑问题困 难时就从其反面考虑嘛，于是我就用“正难则 反”即“反证法”进行了尝试，结果成功了． 教师你分析得很有道理，我怎么就没 在学生给出的勾股定理逆定理的几种证 明方法中，没有教材上提供的方法，也验证了 笔者上课之前的预测．就是说，学生将很难想 到用“构造法”（老教材讲过，也叫同一法）构 造一个直角三角形，再利用三角形全等来证 有想到呢！（真诚地“降低”自己的思维水平， 会给学生以巨大的鼓励）那请你具体谈谈． 学生４（证法４）假设 Ｃ≠９Ｏ。，则 Ｃ 为锐角或钝角． Ｂ ａ Ｃ ｎ Ｄ 图５ 图６ （１）当 ｃ为锐角时，如图５，作ＡＤ上ＢＣ 于点Ｄ． 设ＡＤ＝ｈ，ＣＤ＝ｍ（ｍ＞Ｏ），则ＢＤ＝ａ—ｍ． 在ＲｔＡＡＤＢ中，ｃ ＝＾ ＋（０一，ｎ） ． 在ＲｔＡＡＤＣ中，＾ ：６ 一 ， 所以ｃ ＝６ 一， ＋ 一２ａｍ＋ｍ２． 又 ６ ，故ａｍ＝０． 因为ａ＞０，所以ｍ＝０，这与ｍ＞０矛盾， 故 Ｃ不可能为锐角． （２）当 Ｃ为钝角，如图５，作ＡＤ上ＢＣ 交ＢＣ的延长线于点Ｄ，设ＡＤ＝ｈ，ＣＤ＝ｎ（ｎ＞ Ｏ），则ＢＤ＝ａ＋ｎ． 以下仿（１）可得ｎ＝Ｏ，这与ｎ＞０矛盾， 故／＿Ｃ不可能为钝角． 由（１）（２）可知，假设不成立，原命题成 立，即△ ＣＢ是直角三角形 整个证明过程表达清楚、推理严密．同学 们再也抑制不住兴奋之情，又一次爆发出热 烈的掌声．此时，下课铃声响起，我已无话可 说，也不必将教材上的证明方法强塞给他们， 在离开教室之前又一次看看黑板上同学们的 精彩纷呈的证明过程，内心发出由衷的感叹： 这些证明方法真美，这些孩子真棒！课后很长 时间我的内心不能平静，待我平静之后我作 了如下思考，与同行交流、探讨． 明 ｃ是直角．编者为什么要把这种方法写 进教材呢？笔者推测两点原因：一是这种证法 的典型性，学生应该知道或掌握；二是编写者 没有找到既适合教材又让初中学生容易接受 的方法．基于第一点，笔者认为编者对这种方 法的编写用墨太少，达不到学生应该知道或 掌握的程度．如果编者认为写多了会增加学 生的负担，那么能否将它放在本章后的课题 中让老师和学有余力的学生进行研究．基于 第二点，笔者查阅了老教材和现行的其他版 本新教材，也咨询了有经验的老师，他们提供 的方法也都和华师大版教材上的证法一样， 也从侧面说明对这个命题的证法不多．对此， 笔者认为编写者可以向一线教师征集这个命 题的证法或编写意见． ２．２要给学生更多的思维时间和空间 经常见到这种情况，教师把题目在黑板 上刚写完，没等学生把条件和结论弄清楚，就 开始头头是道地分析起来，或者没等学生进 行比较充分的思考就开始提问，剥夺了学生 思维的时间与空间．这样做只能用教师的思 维和被提问同学的思维填补其他同学的思 维．破坏了多数学生思维的自主性、独立性， 长期下去有碍于学生的思维发展．要相信学 生的思维丰富多彩，有奇思妙想，教师可能始 料未及．本节课中学生１、学生２、学生３的方 法笔者都是没有想到的，就很好地说明了这 一点．让学生暴露思维过程，教师要学会倾 听，让学生把话讲完，不要扑灭学生思维的 “火花”．尊重学生的思维过程，就要敢于挑战 自我，不怕“挂黑板”，丢面子，让自己活动在 能力的边缘．尊重学生的思维过程，还要有耐 维普资讯 http://www.cqvip.com ・ ｌ８・ 中学数学月刊 ２００８年第７期 心，学会等待，注意推迟判断，不能图省事，把 中，学生是“演员”，要让每个学生演出不同的 角色，提出自己不同的观点，教师是“导演”， 适时的关注学生的数学水平，关注每个学生 的活动变化和最近发展，这要求教师掌握数 学定理、公式和习题的背景，做到心里有数， 结果“抛”给学生．必须要给学生更多的独立 思维时间和空间，“重结果，轻过程”不可取． ２．３要转变教师的角色 《全日制义务教育数学课程标准（实验 稿）》（以下简称《标准》）的一个基本理念就是 以人为本，突出学生的发展，因此，《标准》提 倡知识与技能、过程与方法（在过程中培养能 力、形成意识）、情感态度价值的有机整合，强 调过程与结果的有机结合．教师要把学生看 成发展中的人，关注学生全面和谐的发展，每 个学生都有其发展的潜力，数学教育的最终 目的是育人，利用数学的学科特点提高学生 使教学真正落实到培养学生的数学素养和创 新能力上去．这也是新课程基本理念下，数学 教学对教师的自然要求，是我们教师成长发 展的一条必经之路． 参考文献 ［１］陶维林．数学教学是思维教学【Ｊ］．数学通报．２００８ （３）． 的数学素养，提高整体素质．因而，课堂教学 ［２］周斌．意外设问精彩迭现【Ｊ】．数学通报．２ｏｏ８（３）． 理 例题教 有效悭曲策略 孔帮新（江苏省丹阳市第五中学２１２３００） 例题教学是数学教学的重要部分，提高 例题教学的有效Ｉ生是提高数学教学质量的关 键．实践表明，例题教学中，精心选题，精心设 计问题情境，注重一题多解、一题多变，优化 解题思路是有效培养学生创新意识和实践能 力的重要途径． 到数学的应用价值，提高学生运用数学的意 识，激发他们去探索、研究、创造，从而使他们 自觉去接触自然、了解社会、参加课外实践活 动． ２选题要能多变 依据建构主义理论，知识是学习者在一 １选题要恰当 恰当的选题是提高例题教学有效性的重 要环节．选题时应注意以下几个原则： 定情境下，借助他人的帮助，利用必要的学习 资料，通过意义建构的方式而获得的，从而使 学习者能适应不同的问题情境，并在实际生 活中能更广泛地迁移．因此选题要有利于创 （１）题目应有利于学生掌握相关基本知 识和基本技能，最好要在知识交汇点处设计 题目． 设不同的情境，一题多变：改变题设背景、设 问方式，引申新问题等． ｆ０≤ ≤１， （２）题目应能综合其他知识点，能举一反 三、触类旁通，有一定的综合性． （３）题目应有一定的发展空间和研究价 值，并能体现一定的数学思想． （４）题目要有一定的现实意义，强调科学 知识同生活实践的交流，理性认识同感性经 验的融合，要让学生在解决问题过程中，能看 例１设二 咄，其中ｘ，ｙ满足｛Ｉ０≤），≤２， ２ｘ－Ｄ，￣２， 求 的最大值． 变式１变目标函数分别为 ， ，， ＝ 求 的最大值．
