浙教版八年级数学下册一元二次方程的解法教案

2.2 一元二次方程的解法

教学目标

会利用因式分解法、开平方法、配方法、公式法解一元二次方程；能利用一元二次方程根的判别式判断一元二次方程根的情况．

重难点

重点：四种一元二次方程的解法和一元二次方程根的判别式的意义. 难点：用因式分解法和配方法解一元二次方程． 教学过程 一、探究新知

上节课我们学习了一元二次方程的有关概念，同学们还记得吗？谁能说一说？ 教师：我们知道“能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（或根）”，那么我们怎么求一元二次方程的解呢？

学生思考，教师引入新课. 二、例题导学 1.因式分解法 例1 解下列方程:

(1)x-3x=0. (2)25x=16.

解：（1）将原方程的左边分解因式，得x（x-3）=0，则x=0，或x-3=0，解得x1=0，x2=3. （2）移项，得25x2-16=0.将方程的左边分解因式，得（5x-4）（5x+4）=0，则5x-4=0， 或5x+4=0，解得x1=

44，x2=. 552

2

像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法.这种方法把解一个一元二次方程转化为解两个一元一次方程.

例2 解下列一元二次方程： (1)(x-5)(3x-2)=10. (2)(3x-4)2=(4x-3)2.

学生完成，教师巡视、指导. 2.开平方法

一般地，对于形如x=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义，可得x1=a，x2=-a.这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.

例3 用开平方法解下列方程： (1)3x2-48=0. (2)(2x-3)2=7.

解：（1）移项，得3x2=48.方程的两边同除以3，得x2=16.解得x1=4，x2=-4.

2

（2）由原方程，得2x-3=7，或2x-3=-7，解得x1=3.配方法

3737，x2=. 22将一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负数，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.

例4 用配方法解下列一元二次方程： (1) x2+6x=1. (2)x2+5x-6=0.

2

解：（1）方程的两边同加上9，得x2+6x+9=1+9，即（x+3）=10.则x+3=10，或x+3=-10，

解得x1=-3+10，x2=-3-10.

22

（2）移项，得x+5x=6.方程的两边同加上()2，得x+5x+()2=6+()2，即(x)25252525249. 4则x5757，或x，解得x1=1，x2=-6. 22224.公式法

(1)ax－7x+3 =0. (2)ax+bx+3=0.

(3)如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学完成下面这个问题．

2

2

bb24ac问题：已知ax+bx+c=0(a≠0)，试推导它的两个根x1=，x2=

2a2

bb24ac(这个方程一定有解吗？什么情况下有解？)

2a解：移项，得ax+bx=-c. 二次项系数化为1，得x2+配方，得x2+

2

bcx=-. aab2cb2bx+()=-+()，

2aaa2ab2b24ac即(x+)=. 22a4ab24ac∵4a>0，当b-4ac≥0时，≥0, 24a2

2

b2b24ac2

∴(x+)=()，

2a2abb24acbb24ac直接开平方，得x+=±，即x=，

2a2a2a

bb24acbb24ac∴x1=，x2=. 2a2a由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a，b，c而定，因此： (1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a，

bb24acb，c代入式子x=就得到方程的根．(公式所出现的运算，恰好包括了所学过

2a的六种运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性)

(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式． (3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法. 例5 用公式法解下列一元二次方程： (1)2x2-5x+3=0； (2)4x2+1=-4x； (3）

2

321x-2x-=0. 422

2

解：（1）对方程2x-5x+3=0，a=2,b=-5,c=3,b-4ac=（-5）-4×2×3=1，∴x=

51351(5)151，x2=1. ，∴x1=424224（2）移项，得4x+4x+1=0，则a=4,b=4,c=1,b-4ac=4-4×4×1=0，∴x ∴x1x21. 22

2

222

401 ，

242（3）方程的两边同乘4，得3x-8x-2=0.则a=3,b=-8,c=-2,b-4ac=（-8）-4×3×（-2）

=88，∴x888422422422，∴x1，x2. 233332

2

从一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的求根公式的推导过程中不难看出，方程的根的情况由代数式b-4ac的值来决定.因此b-4ac叫做一元二次方程的根的判别式，它的值与一元二次方程的根的关系是：

2

2

b2-4ac＞0则方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根； b2-4ac=0则方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根； b2-4ac＜0则方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根.