第４Ｏ卷第５期 内蒙古师范大学学报（自然科学汉文版） Ｖｏ１．４０ Ｎｏ．５ ２０１１年９月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｉｎｎｅｒ Ｍｏｎｇｏｌｉａ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｓｅｐｔ．２０１１ 晚清三角学的稳定与变迁 特古斯 （内蒙古师范大学科学技术史研究院，内蒙古呼和浩特０１００２２） 摘要：探讨了晚清三角学的稳定与变迁，分析了晚清三角学的数理化历程，认为该进程相对迟缓．它的稳 定与中体西用有关．结构变化则与教育改革有关． 关键词：割圆术；三角数理；晚清数学史 中图分类号：０ １ｉ 文献标志码：Ａ 文章编号：ｉ００１—８７３５（２０１１）０５—０５２８—０８ ｌ９世纪７Ｏ年代，代数化的三角学传人中国，此前中算家的三角术建基于割圆术．由于无法判定三角数 理是否总能符合现象，因此晚清学者只取其结果而禁传其数理，直到２Ｏ世纪初三角学仍然中学为体．废除科 举以后，三角学的结构发生了变化，新版教材开始西体西用，在内容和形式上均与国际接轨，从而全盘西化． １ 割圆八线 第一次中西数学会通使三角学独立于天文学，物理的弧矢概念进化为几何的八线概念，从而使数学对象 多样化、特殊结果一般化、近似关系精确化．至第二次西学东渐时，中算家的三角术已建基于割圆术，古代的 面积变换方法已被线段关系所取代． 古代的弧矢概念是物理的，三角学的基本概念则是几何的，中算家通过数学会通接受了割圆八线概念． 八线取决于某弧，弧是通过角来定义的［１］，因此弧度与半径有关， ｋ口一ｒＯ． 其中：忌为常数；ａ， ，ｒ分别为弧度、角度和半径，八线在０＜ａ＜ 丌上有定义． 厶 相似勾股形的性质表明，割圆八线有相当之理： 全数为正弦、余割线两率之中率…全数为余弦、正割线之中率…全数为正、余两切线之中率…正弦与 余弦若全数与余切线，余弦与正弦若全数与正切线．［２ 梅文鼎（１６３３—１７２１）的观点表现出清初学者的犹豫态度，他认为古法通于西法，而且更为基本，因为古 法涉及正弦，而“正弦为八线之主”．无论如何，物理的弧矢概念不久即被放弃，割圆八线取而代之．《数理精 蕴》重新定义了八线［３］，接受了三率法及“相当比例四率”，这是数学会通的结果．古法建基于面积关系，《数 理精蕴》代之以线段关系，这是八线概念取代弧矢概念的结果．八线概念“其类稍广”，和较关系随之而广． 西法建基于“六宗、三要、二简法”，它们只是三角学的一些特殊结果．清初学者由此出发，找到了和较关 系的理论基础．简法二 ‘ｓｉｎ（ａ± ）一ｓｉｎａ ｃｏｓｆｌ±ＣＯＳａ ｓｉｎ／？ （１） 具有一般性，但它缺乏证明，而完备的和较关系还需要 ＣＯＳ（ｄ±Ｊ９）一ＣＯＳｄ ｃｏｓ／？Ｚ７ ｓｉｎａ ｓｉｎ／７． （２） 王锡阐（１６２８—１６８２）最先给出式（１）和式（２）的证明Ｌ４］，梅文鼎随后为等价形式提供证明．它们是引用 新概念的结果，“六宗、三要、二简法”的一般原理由此得到说明． 弧矢概念未能成为古代学者专门研究的对象，是由于缺少必要的几何概念，他们无从探讨边角关系．八 收稿日期：２０１１－０７—０４ 基金项目：内蒙古自然科学基金资助项目（２００８０４０４ＭＳ０１１２） 作者简介：特古斯（１９５６一），男（蒙古族），内蒙古呼伦贝尔市人，内蒙古师范大学教授，主要从事数学史研究． 第５期 特古斯：晚清三角学的稳定与变迁 线的引进则使数学对象多样化，边角关系开始成为中算家的研究目标，而和较关系也为此提供了必要条件． 《大测》之“根法”涉及边角关系，其关键是角与平行的概念，清初学者为之提供了证明．《数理精蕴》下编卷 １７专论边角关系，并同时运用西法与古法．例如余弦定理，先以传统方式解释为面积关系，然后归结为线段 关系．这表明，边角关系虽能解释为面积关系，却并不依赖于这样的解释． 在此基础上，项名达（１７８９—１８５０）进一步研究边角关系，撰成《三角和较术》．根据正弦定理与比例的性 质，他得到很多新的结果．例如， ‘ （ａ－－６＋ｃ） ＋６ ＿ｔａｎ导：ｔａｎ ． 其中：Ｃ与Ｂ分别为已知角与所求角；ａ，ｂ，ｃ为三角所对三边．这些结果没有图解，可能是形式推导的结果． 事实上，它们只需用到八线的和差与积的关系，以及其他一些简单的三角关系．项名达具有形式化的思想倾 向，并且了解和掌握所有必需的三角知识，所以他有条件也有能力展开形式推导． 古代的勾股算术研究的是边与边的关系，项名达将角的概念引入其中，从而发展出包含边角关系在内的 “勾股和较术”，它同样没有图解，但是可由三角和较术导出，只需令 ｓｉｎＣ—ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ）一１． 例如，两角可由勾股和较求出，因为 ａ—ｂ ． Ａ—Ｂ Ａ＋Ｂ ， 一协ｎ Ｔ，ｔａｎ Ｌ 反之，已知ａ—ｂ，ｎ＋ｂ，Ｃ与Ａ，Ｂ中任一项，其余各项均可求出，因为 一 ｓｉｎ ， 一 ｃｏｓ ． ｃ Ｌ ｃ 厶 但是因为边与角并未被作为变量关系来进行研究，所以割圆八线无法走向三角函数． 缀术曾被用于天象历度①，由于它们“不可以形察”，古代的学官“废而不理”，不久便失传．从此，天文常 数的计算排除了无穷的概念，只满足于近似关系．直到杜氏三术传人以后，人们才又想起无限分割，尝试由此 推出割圆八线缀术．他们的努力在一定范围内取得了显著的成效，尤其是近似关系得以精确化，这归功于传 统的无穷小方法． 清代学者称 分弧法为割圆连比例法，所谓割圆连比例是有递归结构的线段集，其线段均由弦矢构成． 弦矢与弧背的精确关系取决于割圆连比例解，而割圆连比例解的关键在于给定递归关系的通项，这实质上是 有理二项式的展开问题．有理二项式的系数称为“递加数”，它被视为“割圆连比例之法所由立”，这表现出缀 术“不可以形察”的特征．由于排斥纯粹的形式推导，割圆连比例未能走向韦达式大小弦矢的关系，尽管“递 加法”为其提供了条件．割圆连比例解立足于率的概念，清代学者由此引出明安图变换．它是多项式空间基 变换下的一种坐标变换，割圆连比例解均由该变换导出． 清代无穷小方法表达了古代的极限观念：“数而求穷之者，谓以情推，不用筹算”［８］．通过“情推”，中算家 由割圆连比例解得到弦矢与弧背的关系．他们把有限和的性质推移到无限和，却把序列的极限等同于它的末 项，因为这与经验感觉相符．由于坚持古代的观念，中算家的无穷小分析未能达至精确的概念，这主要是由两 方面的原因造成的：一方面，古代的学者对于涉及无穷的结果“废而不理”；另一方面，“万物化生”的机理 “正在于奇零不齐之处”，因此古代学者放弃了无穷的概念．清代学者重新引进无穷小方法，以精确结果取代 了古代的近似结果，这是三角学独立于天文学的重要标志． ２ 三角数理 １９世纪７０年代，代数化的三角学传人中国，中算家称之为“八线数理”或“三角数理”．三角形的几何解 ①根据沈括的记载，“求星辰之行、步气朔消长谓之缀术，谓不可以形察，但以算术缀之而已”［６］，又据《隋书》记载，古代的学官“莫能究 其深奥，是故废而不理”［ ． 内蒙古师范大学学报（自然科学汉文版） 第４Ｏ卷 法“只得大略而已，欲求精密不可得也”，惟代数方法得数最密①，即三角数理不需要几何解释②，所有结果“俱 能以算术核之”，故“用处最广”．由此基本概念进化为三角比例数，比例数只涉及直角三角形而与割圆术 无关． 无论何角，若从其为界之两条直线上任取一点，自此点作线与彼线为垂线、或与彼线引长之线为垂线，则 能成直三角形．有界说三则如左：对正角之边与对本角之边比为斜／高，是谓本角之正弦；本角所倚之底边与 本角所对之边比为底／高，是谓本角之正切；本角所倚之底边与对正角之边比为底／斜，是谓本角之正割．… 余角之正弦、正切、正割即本角之余弦、余切、余割．Ｌ９］ 设直角三角形的斜边为ｒ，本角ａ的邻边为ｚ，对边为Ｙ，则 ｓｉｎ口＝＝＝ ，ｔａｎ口＝ ， ｓｅｃ 一 ． ，． 令卢一号一ａ，则 ｃ。ｓａ ｓｉｎ卢一手，ｃ咖一ｔａｎ卢 ，ｃｓｃ ａ—ｓｅｃ１９＝争 显然，ｚ与Ｙ实为“八线之主”，比例数与八线的关系由此得到说明． 常用的正弦、余弦与正切为“第一类比例数”，其余３种为“次类比例数”，再次为正矢与余矢．余弦、余切、 余割作为正割、正切、正弦的倒数，均由定义得到说明，其他基本关系则归因于“条段之理”或者数值分析③， 虽然它们可由定义直接导出．《三角数理》说明了任意角的比例数，列出特殊角的比例值，并探讨了值的“改 变之法”．新概念的要点在于角度与比例数取值的范围及其对应关系，任意角的比例数有一定的符号法则，这 样八线变号曾经引起的问题得到了解决．与割圆八线相比，三角比例数具有更加广泛的用途，“无论何种算学 中皆可用”，这是代数化的结果． 代数化的途径是命题与证明，其关键是形式定义，“虚式之根号”尤其重要④．命题与证明具有公理化特 征，前提是自明的，而结论“几无遁形”，只需形式推理⑤．通过形式定义，可使三角学独立于几何学，棣美弗给 出关键公式． 命题 对于任何有理数 ， （ＣＯＳｚ＋ｉｓｉｎ ） ＝ＣＯＳ ＋ｉｓｉｎｎＸ （３） 均成立．这是“棣美弗之例”，其中ｉ可变号，效果相当于ｚ变号．’ 证明 令．厂（ ）一ＣＯＳ，２ ＋ｉｓｉｎｎＸ，则厂（Ｏ）＝＝＝１，因此 厂（ ）＝，（１）ｆ（ｎ一１）一尸（１）． 这是《代数术》的证明，《三角数理》的证明与此不同，其依据是“代数之常理”． 欧拉更进一步，他把三角比例数与指数函数联系起来，给出 ｅｉ ＝ｃｏｓｘ＋ｉ ｓｉｎｚ． （４） 这是“至要之式”，又称为欧拉公式，是得自无穷级数的形式运算⑥．欧拉公式较为一般，它不仅说明了公式 （３），还说明了一般和较关系．八线的和较关系依赖于割圆术的几何直观，因而发展相对缓慢．比例数的和较 关系却并不依赖于几何解释，基本公式可由 ｅｉａｅ土ｉ ＝＝＝ｅｉ（口士ｐ ① 已知三角形数个边、角，从几何之理，有法可画成其全形．惟因最精之厕图器亦不能无差，且不能辨其毫厘之数，故以画法作三角形只 得大略而已，欲求精密不可得也．是以算学家设立各种算法，以代画图之规矩，则得数最密……凡角度大小之理、各角之数所有彼此相关之理、 并角与他几何相关之理俱能以算术核之，且能显明直线与角度相关之故，从此得各种测量之公法［ ． ②所有对象“无论其所设、所求之数为线、为角……，俱可以数目之字明之”，各题“但用代数之法解之已可极其明白”，而“不必作多线之 图’，［１ ． ③这与“数理”观念相背，恐怕不合底本意愿，大概属于翻译问题． ④ 虚式之根号ｉ＝／＝ｒ在考八线数理中实有大用处［－ ． ⑤所以其推算之初，所用之几何最简而设数亦不繁，只需如法人之而题理娥悉必见、几无遁形［ ］． ⑥这不同于“代数之常理”，表现出１８世纪欧洲典型的形式主义风格． 第５期 特古斯：晚清三角学的稳定与变迁 得到说明．王锡阐曾对式（１）和式（２）中的“二角之限”作出几何说明，但是“角之和较变态甚多，用图明之不 足以尽其变”，而代数则“无论角之大小正负，无不可通”．一切和较关系皆可从式（３）和式（４）“变化而成”，它 们只需恒等变形，无需任何几何证据． 边角关系以正弦定理为基本，依次推出余弦定理、半角公式与正切定理．除正弦定理仍有赖于几何直观 外，其他边角关系都是代数的．由于尽可能地采用了代数方法与符号，正弦定理表现为更一般的形式．八线的 边角关系依赖于几何直观，并有赖于割圆术，因而论证相对复杂，三角数理则用代数方法简化了证明．《三角 数理》表明，三角知识虽然可有几何解释，但是并不依赖于这样的解释①． 欧拉公式灵活易用，它说明了很多结果，例如“古累固里所设之级数”．在某些情况下，欧拉公式还可用于 级数求和，例如， 刍 ｍ蛐一 －、 ． ｚ Ｓｌｎａ ‘ 代数方法的优点是“不必深求其理”，却能“穷究其情状”，可以逻辑地得出给定前提的种种结论②．晚清 学者乐于接受“代数之各种变法”，因为它们省力而高效．但是出于安全性的考虑，他们对形式推理持有保留 态度． 割圆八线可以中体西用，因为正弦古已有之，它是八线之主，割圆缀术的发展及其范围由此得到说明．三 角级数论是由形式主义引起的一个新方向，但它难以中学为体，因此几乎无人问津．无论如何，三角学由此走 向函数论，这是独立于几何学的结果． ３ 中西会通 三角数理是否总能符合现象，人们对此心存疑虑．变动三角术的基础事关重大，中算家必须格外谨慎．他 们接受了符号代数，但拒绝了形式主义．虽然清末学者引进了“三角函数”，但是废除科举以前，函数概念并未 真正建立起来． 卢靖（１８５５—１９４８）汇集古今中外的三角公式，著《割圆术辑要》，附长泽氏“三角法公式一览表”．《割圆 术辑要》的内容主要是弧矢弦径的关系，这些关系取决于八线和较关系，转而依赖于有理二项式．后者已被 戴煦（１８０５—１８６０）归结为形式结构，却归之于割圆术．八线互求及其与弧背的关系皆然，无不归之于割圆 术，虽然它们可由三角数理得到说明．弧角关系中给出弪与度的关系，这与《三角数理》相同，不同的是，它们 并非用于几何概念数理化，而是用于数理概念几何化［１¨．中算家的三角术出自割圆术，于是将数理概念几何 化，将西法归人割圆术．但是西算新法表明，它们只需三角数理，并不依赖于割圆术． 《三角法公式》译自《长泽氏三角书》，附于《割圆术辑要》之后作为补充材料，近代日本学者的三角知识 与特点由此可见一斑．其基本概念是“三角函数”，主要内容是基本关系、和较关系与边角关系，都是数理结 果．长泽氏三角书不是为了“西学为用”，而是为了初等数学教育．《三角法公式》不涉及弧背术，也不涉及任 何无穷展开式，作为最基本的数理化结果，它在内容和形式上均与《割圆术辑要》存在很大差异． 《割圆术辑要》与《三角法公式》的基本概念有所不同，结构存在差异，前者中体西用而后者全盘西化．后 者西学为用的意义不大，为何悉数照搬，卢靖似乎另有深意．《割圆术辑要》以中国古代的弧矢算术为体，西 算新法为用．有些公式注明“三角数理术”，表明他读过《三角数理》，但他取其结果而去其数理．例如，“圆径求 周第十术”注明“三角数理术”，但它并非《三角数理》原术．原术系由古累固里术所得，根据《三角数理》，古累 固里术由欧拉公式所确立，纯属数理关系．不过，古累固里术也可由杜氏术导出，杜氏术则有割圆连比例的解 释．因此原术可以中学为体，只需乘以“四径”．类似地，各种各样的和较关系也可建基于割圆连比例，因而也 被纳人割圆术，以备“中学为体，西学为用”．虽然，根据《三角数理》，它们与割圆术并不相干． 中体西用在文化上固然可以防微杜渐，在数学上则难免混淆概念，甚至逻辑不清、结构失调．例如“三角 ①弧三角的数理化也很可观，但是缺乏典型意义，因此本文没有涉及． ② 其妙处在不必深求其理，而可从最浅之理，专籍代数之各种变法，以穷究其情状［ ． 内蒙古师范大学学报（自然科学汉文版） 第４Ｏ卷 函数”，卢靖通过数理概念几何化，使其回到割圆八线，在此基础上，将角度等同于弧度①，又回到弧矢算术． 《割圆术辑要》并未力求精确关系，这与中学为体有关，也与实用目的有关．实用算术往往满足于近似关系， 古代的《弧矢算术》如此，西方的《算式辑要》亦然．卢靖发现了两者共同的实用性，这为中体西用提供了便 利，而代价则是数理结构的错失．根据八线数理，三角学的内容至少包括基本关系、和较关系及边角关系，不 然结构不算完整．《割圆术辑要》涉及八线的基本关系，但是既不完备，也没有独立出来，因为古代的弧矢算 术也是如此．古代的弧矢算术涉及倍角的弦矢公式，而不涉及一般的和较关系，八线数理将前者归于后者，而 中算史上的顺序则恰好相反．《割圆术辑要》汇集各种和较关系却没有涉及边角关系，因为前者均可纳入清 代割圆术而后者无法纳入割圆术或弧矢术，前者可以中学为体而后者难以中学为体． 数学的全盘西化没有毁灭日本文化，却使日本数学脱胎换骨，迅速走上数学强国之路．《三角法公式》在 内容和形式上均不同于《割圆术辑要》，其内容虽然不及《三角数理》全面，形式上却与之完全一致．书中的基 本概念是三角函数，不是线段而是比例数，包括三角函数的基本关系、和较关系与边角关系，对于这些关系的 确立，作为“三角公式一览表”，它没有提供具体过程．不过，基本关系可由定义直接导出，和较关系可由两角 和的正弦、余弦公式导出，边角关系可由正弦定理导出．根据三角数理，它们虽然是由直观所引导的，但不是 由直观所支配的．第一次西学东渐未使中国数学全盘西化，不是由于概念不进步，只是因为它的几何传统不 利于形式化．随着西方数学的第二次传人 传统数学再无发展余地，也许感到中体西用无法实行、西体西用亦 无不可，卢靖才把全盘西化的三角公式表作为附录．事实上，这样做既能说明《割圆术辑要》的主要内容，也 能说明《三角数理》的主要内容． 《割圆术辑要》的结构表明，清末学者不再坚决排斥全盘西化的结果．不过，中体西用是洋务官僚的基本 原则，作为朝廷命官，卢靖不得不然．全盘西化存在风险，废除科举以前，人们不得不在中西体用之间继续 徘徊． 薛光镝（公元１９世纪）是中算西化的先锋②．他发现三角书“多详于理论而略于布算”，唯佛国可林森的 教科书寓理于算，能“显明古义，阐发新理”，乃取书中习题“布式详解”，并整理出“正解”３００余篇，他是以几 何为体、代数为用． ．《新三角问题正解》冠以“测角”，殿以“极限”，共ｌｌ编．测角法涉及弪与度的关系，系引“《三角数理》第 五、九两款”；第二编讨论“一角之三角函数”，涉及倍角的正弦公式，对此第三编给出代数解释，第四编则给 出几何解释；第三编“多角之三角函数”，讨论各种和较关系及其应用，皆本《三角数理》第３７款；第四编探讨 “三角函数之几何”，涉及和较关系与边角关系，但未论及和角公式与正弦定理；第五编“三角形各角之关 系”，讨论内角的三角函数关系，是在第三编的基础上令内角和为１８０。所得；第六编“三角形边角之关系”，是 在和较关系中引入正弦定理所得③；第七编“相消法”，化简三角关系，用到三角函数的各种关系；第八编“反 函数之要例”，讨论反三角函数的恒等式；第九编论“圆函数方程式之解法”，圆函数包括三角函数与反三角 函数，方程的解为“同数”；第十编为“级数求和”，其中仅有一例无限和，用到反正切公式；最后一编“不等式 与极大极小”，论及函数与极限，但没有涉及连续变量的概念． 在中西体用之间，晚清学者无法接受数理作为原理，虽然他们接受了数理作为方法．数理不等同于原理， 三角公式还需“作图以明其理”，以便中学为体．例如 ｓｉｎ２ａ：ｒ＝－２ｓｉｎｄ ＣＯＳａ， ＣＯＳ２ｄ＝ｃｏｓ。ａ—ｓｉｎ２ ． 薛氏未用欧拉公式，因为欧拉公式无法中学为体，他认为数理不能确立命题，只有几何直观才能说明三角学 的基本原理④，《新三角问题正解》的结构由此限定．和较关系的基本公式未经论证，基本概念未经定义，这是 体用分离的结果．无论如何，基本概念进化为三角函数，虽然它没有明确的定义．薛光镝在代数演算时用比例 ①根据文献［ｕ］，“本弧之角度（即圆心角）亦名弧度”． ② 江南高等学堂杨冰称“无锡薛君仲华算学界中改良之先驱也”［ ］． ’③ 至于正弦定理的证明，则与《三角数理》完全相同． ④ 这表现了华衡芳本人对数理的模糊观念．除了基本前提之外，三角数理无需任何几何证据，这使他感到数理未能“深求其理” 第５期 特古斯：晚清三角学的稳定与变迁 ・５３３・ 的概念，在几何论证时则用线段的概念，并保留了割圆术基础．可见他接受了代数方法，但拒绝了形式主义， 没有采用欧拉公式，这是中体西用的另外一种选择． 三角数理虽然是由几何直观所引导的，但不是由几何直观所支配的，因而“用处最广”．中算家承认代数 结果的一般性，同时感到形式推理并未“深求其理”，对于纯形式定义他们仍然心存疑虑．不过，清末学者接受 了“同数”的概念与用法，为符号的广泛使用提供了方便．不久以后，中国人走出国门，为三角级数论作出了 自己的贡献． ４ 全盘西化 中算家的三角术直到２０世纪初仍然中学为体，１９０５年以后情况开始发生变化，变化是由数学活动的新 规则引起的．随着数学教育的改革，三角学的结构发生了变化，新版教材开始西体西用，在内容和形式上均与 国际接轨，进而全盘西化． 陈文（公元２０世纪）的《平面三角法》注明为“中等教科”，由上海科学会编译部刊行，东京印刷，其资料 可能来源于日本．该书内容是三角函数的概念、性质与应用，包括基本关系、和较关系与边角关系，均为西体 西用．表现形式也与国际接轨，三角函数记法由原来的汉字改为各国“通用之记号”，分数亦由上法下实改为 通用记法．《平面三角法》也未涉及欧拉公式，但这不是“中学为体”而是“中等教科”所限．事实上，他认为数 理足以确立命题，因此《平面三角法》的体用是统一的，皆为代数，有关概念都有明确的定义，所有公式都有 严格的论证．论证方法虽然有别于《三角数理》，形式上却与之完全一致．例如加法定理（１）、（２），证明方法是 归纳，论证形式却是代数．和差与积的关系由加法定理“作和及差”所得，这说明了割圆连比例法的基本原 理．陈文不仅实现了三角知识的数理化，而且完成了西化，这是卢靖想到而没有做到的．由角度引起的函数变 化涉及“三角法之高等部分①”，因其“理论高尚，运算繁杂”，故“本书不具论②”． 《平面三角法》的结构与《三角法公式》一脉相承，内容虽然不及《三角数理》全面，但是基本概念的建设 有过之而无不及．但是他全盘西化的主张并没有被普遍接受，仍有人迷恋图解，有关概念的发展依然任重 道远． 清末学者曾以为“三角函数即八线”，实际上无论八线还是比例数都不是函数，三角函数概念在废除科举 以前并未真正建立起来③．在清末三角学中，八线与比例数的概念同时得到运用，并且后者逐渐取代了前者， 这是三角学代数化的结果．然而代数化并未立即引出三角函数概念，清末三角学虽然逐渐摆脱了割圆术，接 受了符号代数，但代数方程的未定元是对应于常量而非变量．直到清末最后几年，比例数作为函数的概念才 建立起来． １９世纪末三角学的基本概念还是八线，同文馆１８９５年的考题如此，求志书院１８９８年的考题亦然［１ ． ２Ｏ世纪初“三角函数”成为基本概念，不过，教育体制改革以前三角函数有名无实．薛光铸没有区分三角函数 与割圆八线，代数演算时他用三角函数概念，几何论证时则用割圆八线概念，关于函数极限的讨论也没有涉 及连续变量的概念，例如， 已知口＝０，求—ｓｌｎ—ａ之同数（《新三角问题正解》第ｌ１编２题Ｅ１２］）． 求解 由ｓｉｎａ＜ａ＜ｔａｎａ，有 １＜ ｓｉｎ ＜—ｌ－． ＣＯＳ口 因为ＣＯＳ０—１，所以 ｓｉｎＩ—ｌ —ｓｌｎ—ａ ｌ一１． ａ １ ０ 口 ｌ ０ ①②譬如定理：“角之小变化与其各三角函数应此之变化，殆成比例”［１ ． 论此定理之由来及界限，不适于本书之程度，故略之［ ． ③ 函数概念建基于变量概念，三角函数的要点在于比例值与角度的对应关系．因此，角度作为连续变量的概念必不可少．三角函数在概 念上往往被等同于线段或比例，这与它起源于割圆八线或比例数有关，但是无论线段还是比例，都不是真正的三角函数． 内蒙古师范大学学报（自然科学汉文版） 第４Ｏ卷 极限问题被归结为代数问题，其中ａ对应于常量而非变量． 随着Ｅｌ本教科书的影响Ｅｌ渐增强，１９０７年，陈文引进“三角函数之普通定义”． 由同点引甲乙二直线，则其一线如乙，由甲之方位起，绕同点题转至本方位．此王垩空转之量，谓之乙与甲所 成之角．又乙称为翅线，甲称为本线．而翅线之运动，或与时针之运动反对或与时针之运动同样，从而其所作 之角或为正或为负．［ 胡 角度是由“翅线之运动”生成的“翅转之量”，因此“角之值无制限”，可正可负，它是整个区间上连续的变 量．“三角函数之方向”则取决于“次之规则”： 斜边常取于翅线上，其符号恒为正． 底边在本线上者为正，在本线之延长线上者为负． 垂线在本线之上方者为正，在本线之下方者为负． 陈文通过直角坐标系说明了“三角函数之变化”，２ｎＴｒ＋ａ与ａ之“二边相合”，所以该三角函数具有周期 Ｌ一 性．设Ａ一 －－５－ ±ａ，若ｋ为偶数（或为奇数），则Ａ的三角函数可归结为ａ的同名函数（或余函数），若 为锐角， 厶 “其符号依象限定之”．三角函数经过重新定义之后基本关系依然成立，因而在此基础上的其他结果“亦皆合 理”．至此三角函数概念才算真正建立起来，陈文的贡献就是引进两个连续的变量，要点在于变量取值的范围 及其对应关系．他以“翅线之运动”保证自变量的连续性，为三角函数论的进一步发展指出了新方向，虽然运 动学的观点此时在西方已被新观点所取代． 第二次西学东渐以前，中算家的三角知识取决于割圆术，那时三角学的基本特征便是展开形式，这种形 式保持到夏鸾翔（１８２３—１８６４）乃至卢靖．第二次西学东渐改变了三角学的结构，清末学者最终放弃了无穷级 数，这与研究方法的选择有关． 有些三角问题通过分析可以更好地得到解决，例如微分学有助于三角函数论，积分学有助于三角级数 论，但在长达半个世纪里微积分没有得到有效利用．这与《三角数理》的影响不无关系，也与晚清学者对微积 分的理解程度有关．《三角数理》表明，三角学的基本概念不是函数而是比例数，基本方法不是分析而是代数， 基本形式不是展开而是封闭的．对于微积分，畴人往往“探索经年而不得其方”，因为有关的译著“愈讲微分为 何物，愈令人迷惑恍惚而不可捉摸，，［ ］．于是，在清末三角学中，人们常用代数方法说明等价关系，并用图解 说明“几何之理”，他们保留了割圆术基础，以便中学为体．在中西体用之间，中算家没有接受欧拉公式作为级 数处理方法，三角函数又恢复了割圆八线最初的封闭特征．根据当时的国情，上海科学会发现，西化道路应当 分两步走，“三角法之高等部分”并非急务，应当率先西化初等部分，于是《平面三角法》摆脱了割圆术，用代数 取代了图解．至于纯粹的形式关系以及新型的分析方法，则有待于教育改革进一步深化． １９世纪８Ｏ年代，总理衙门尝试以科学渗透科举，但是未能实现口 ．甲午战争之后，教育改革顺理成章， 然而改革并不顺利．癸卯学制要求各类学堂以国学为基、中体为本，待学生心术归于纯正再讲西学知识，在此 规则下三角学自然中体西用为宜．废除科举后三角学开始西体西用，然而此时帝国已是风雨飘摇，改革的机 遇已同帝国命运一道葬送了．直到清末，由于数学教育改革不力，三角学未能有效利用微积分．根据李善兰的 “对数求真数之级数”不难得出欧拉公式，只需引进虚式之根号．华蘅芳（１８３３—１９０２）曾经指出，虚式之根号 “在考八线数理中实有大用处”，但它无法中学为体，清末学者并未接受．虚式之根号建立在能使存在独立于 现象的概念之上，隐含天人对立的思想，这与天人合一的传统观念根本不相容．直到清末，由于思想观念未能 与时俱进，三角学未能利用欧拉公式完成形式化． Ｅｌ本的改革势力在中Ｅｌ竞争中抢得先机，使数学迅速全盘西化．清末留学Ｅｌ本的人数逐年增加，２Ｏ世纪 初有些人专攻数学，回国以后发挥了作用①．陈建功是“我国函数论研究的开拓者之一＇，Ｌ¨］，他曾先后３次东 渡Ｅｌ本，１９２９年写成《三角级数论》②．同年，国内有人出版《图解三角术》，仍在“绘图详解”三角函数③． ① 冯祖苟１９０４年留学日本专攻数学，后来北京大学数学系成立时由他主持． ② 著者于１９２９年遵指导教师藤原松三郎先生的嘱咐，用日文写成《三角级数论》，并于１９３０年在东京岩波书店出版［ ． ③据王锡恩称，“坊间三角书皆云直角三角形斜线分之垂线为某角正弦，令读者茫然不解其意．甚有读毕平、弧三角术终不知弦切割矢为 何物者”，为此“凡三角形之公式及应用”，他都“作图证之”．原文引自文献Ｄ９Ｉ． 第５期 ｆ＝１幻 刀 ｎ Ｍ 特古斯：晚清三角学的稳定与变迁 ＂ ・ ５３５ ・ 对于几何直观与经验证据，国人总是难以割舍．无论如何，受到日本数学的影响，清末三角学全盘西化， 至民国走向现代函数论．三角级数论的发展与经验证据无关，结果却与更广泛的经验相符合，这是大清学者 始料未及的． 参考文献： 邓玉函．大测［Ｃ］ｌｌ崇祯历书：第７册．上海：上海古籍出版社，２００６：１１１卜１２５７． 罗雅谷．测量全义［Ｍ］．崇祯历书：第８册．上海：上海古籍出版社，２００６：１２５９—１４３４． 数理精蕴下编：ｌ６卷［ｃ］／／中国科学技术典籍通汇：数学卷三．郑州：河南教育出版社，１９９３：５４５—５７９． 梅荣照．王锡阐的数学著作——圆解ＥＣ］ｌｌ明清数学史论文集．南京：江苏教育出版社，１９９０：ｇ７—１１３． 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ｄｏ ｗｉｔｈ ｔｈｅｉｒ ｔｒａｄｉ— ｔｉｏｎａｌ ｓｙｓｔｅｍ，ａｎｄ ｔｈｅ ｓｙｓｔｅｍ ｒｅｆｏｒｍ ｌｅｄ ｔｏ ｗｅｓｔｅｒｎｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ Ｃｈｉｎｅｓｅ ｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｙ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｃｙｃｌｏｔｏｍｙ；ｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｙ；ｈｉｓｔｏｒｙ ｏｆ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｉｎ ｌａｔｅ Ｑｉｎｇ Ｄｙｎａｓｔｙ 【责任编辑金淑兰】
