胡不归问题解法通法

第一步：在速度快的线段与起点相异的一侧，过终点作一射线，使之与该线段构成的角满足：sin1； V第二步：过起点作该射线的垂线；

第三步：该垂线与线段的交点即为所求．

例题解析： 例1、（2016•宜兴市一模）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且tan∠EBA=，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是 s．

【解答】解：过点E作y轴的平行线，再过D点作y轴的平行线，两线相交于点H，如图， ∵EH∥AB，

∴∠HEB=∠ABE， ∴tan∠HED=tan∠EBA=

=，

设DH=4m，EH=3m，则DE=5m， ∴蚂蚁从D爬到E点的时间=

=4（s）

=4（s），

若设蚂蚁从D爬到H点的速度为1单位/s，则蚂蚁从D爬到H点的时间=

∴蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等，

∴蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点所用时间等于它从A以1单位/s的速度爬到D点，再从D点以1单位/s速度爬到H点的时间，

作AG⊥EH于G，则AD+DH≥AH≥AG， ∴AD+DH的最小值为AQ的长，

当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，则A（﹣1，0），B（3，0）， 直线BE交y轴于C点，如图， 在Rt△OBC中，∵tan∠CBO=∴OC=4，则C（0，4），

设直线BE的解析式为y=kx+b，

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=，

把B（3，0），C（0，4）代入得，解得，

∴直线BE的解析式为y=﹣x+4，

解方程组得或，则E点坐标为（﹣，），

∴AQ=，

∴蚂蚁从A爬到G点的时间=即蚂蚁从A到E的最短时间为故答案为

．

=s．

（s），

例2、（2014成都）如图，已知抛物线yk(x2)(x4)（k为常数，且k0）与x轴83xb与抛物线3从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y的另一交点为D．

（1）若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式； （2）若在第一象限的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；

（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止。当点F的坐标是多少时，点M在整个运动

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过程中用时最少？

【解答】解：（1）抛物线y=（x+2）（x﹣4）， 令y=0，解得x=﹣2或x=4， ∴A（﹣2，0），B（4，0）． ∵直线y=﹣∴﹣

x+b经过点B（4，0），

， x+

．

×4+b=0，解得b=

∴直线BD解析式为：y=﹣当x=﹣5时，y=3， ∴D（﹣5，3）． ∵点D（﹣5，3

）在抛物线y=（x+2）（x﹣4）上，

，

∴（﹣5+2）（﹣5﹣4）=3∴k=

．

∴抛物线的函数表达式为：y=（x+2）（x﹣4）．

（2）方法一：

由抛物线解析式，令x=0，得y=﹣k， ∴C（0，﹣k），OC=k．

因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．

因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．

①若△ABC∽△APB，则有∠BAC=∠PAB，如答图2﹣1所示． 设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON=x，PN=y． tan∠BAC=tan∠PAB，即：∴y=x+k．

，

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∴P（x，x+k），代入抛物线解析式y=（x+2）（x﹣4）， 得（x+2）（x﹣4）=x+k，整理得：x2﹣6x﹣16=0， 解得：x=8或x=﹣2（与点A重合，舍去）， ∴P（8，5k）．

∵△ABC∽△APB， ∴

，即

，

解得：k=．

②若△ABC∽△PAB，则有∠ABC=∠PAB，如答图2﹣2所示． 与①同理，可求得：k=． 综上所述，k=

或k=

．

方法二：

∵点P在第一象限内的抛物线上，∴∠ABP为钝角， ①若△ABC∽△APB，则有∠BAC=∠PAB， ∴KAP+KAC=0， ∵C（0，﹣k），A（﹣2，0）， ∴KAC=﹣， ∴KAP=，

∵A（﹣2，0），∴lAP：y=x+k， ∵抛物线：y=（x+2）（x﹣4），

∴x2﹣6x﹣16=0，解得：x=8或x=2（舍） ∴P（8，5k）， ∵△ABC∽△APB，∴

，

∴，

∴k=，

；

②若△ABC∽△APB，则有∠ABC=∠PAB，同理可得：k=

（3）方法一：

如答图3，由（1）知：D（﹣5，3），

如答图2﹣2，过点D作DN⊥x轴于点N，则DN=3

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，ON=5，BN=4+5=9，

∴tan∠DBA=∴∠DBA=30°．

==，

过点D作DK∥x轴，则∠KDF=∠DBA=30°． 过点F作FG⊥DK于点G，则FG=DF．

由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t=AF+DF， ∴t=AF+FG，即运动的时间值等于折线AF+FG的长度值．

由垂线段最短可知，折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段． 过点A作AH⊥DK于点H，则t最小=AH，AH与直线BD的交点，即为所求之F点． ∵A点横坐标为﹣2，直线BD解析式为：y=﹣∴y=﹣

×（﹣2）+

=2

，

x+

，

∴F（﹣2，2）．

综上所述，当点F坐标为（﹣2，2）时，点M在整个运动过程中用时最少．

方法二：

作DK∥AB，AH⊥DK，AH交直线BD于点F， ∵∠DBA=30°， ∴∠BDH=30°， ∴FH=DF×sin30°=

，

∴当且仅当AH⊥DK时，AF+FH最小， 点M在整个运动中用时为：t=∵lBD：y=﹣

x+

，

，

∴FX=AX=﹣2， ∴F（﹣2，）．

巩固练习：

1、已知在平面直角坐标系中，A(2,0)、B(0,3)、C(3,0)，设D是线段BC上一点（不含

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端点），连接AD，一动点M从点A出发，沿线段AD以每秒一个单位速度运动到D点，再沿线段DB以每秒2个单位的速度运动到B后停止，当点D的坐标是多少时，当M在整个运动过程中用时最少？

2、已知在平面直角坐标系中，A(2,0)、B(5,33)、C(4,0)，设D为线段BC上一点（不含端点），连接AD，一动点M从点A出发，沿线段AD以每秒一个单位长度运动到D点，再沿线段DB以每秒2个单位的速度运动到B后停止，当点D的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？

3、在平面直角坐标系中，已知A(,0)、B(0,4)、C(2,0)，设D为线段BC上一点（不含端点），连接AD，一动点M从点A出发，沿线段AD以每秒一个单位速度运动到D点，再沿线段DB以每秒5个单位的速度运动到B后停止，当点D的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？

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