作业题答案1-3

1.4 离散随机过程的样本函数皆为常数，即

X(t)C可变常数，式中

C为一随机变量，其可能值为

C11,C22及C33，且它们分别以概率0.6，0.3及0.1出现。试确定：

（1）

X(t)C是确定性随机过程吗？

（2）在任意时刻t，解（1）（2）

X(t)的一维概率密度。

X(t)是确定性过程；

fX(t)0.6(x1)0.3(x2)0.1(x3)。

x(t)AtBt2，式中

1.6 设随机过程

A,

B为两个互不相关的随机变量，且有

E[A]=4,E[B]=7,D[A]=。求过程0.X(t)的均值，相关函数，协方差函数和方差。

解：易得：

E(AB)E(A)E(B)28

E(A2)D(A)E(A)216.1 E(B2)D(B)E(B)251

（1）

X(t)的均值

mX(t)E[X(t)]E(A)tE(B)t24t7t2

（2）

X(t)相关函数

RX(t1,t2)E[(At1Bt12)(At2Bt22)]E(A2)t1t2E(B2)t12t22E(AB)t1t22E(AB)t2t12 16.1t1t251t12t2228t1t2228t2t12（3）

X(t)协方差函数

KX(t1,t2)RX(t1,t2)mX(t1)mX(t2)16.1t1t251t12t2228t1t2228t2t12(4t17t12)(4t27t22) 0.1t1t22t12t22（4）

X(t)方差

2X(t)KX(t,t)0.1t22t4

1.7 利用反复掷硬币的方法定义一个随机过程：

cos(t)出现正面, (t) X(t)出现反面,2t，FX(x;1)和二维分布函数X(t)的一维概率分布FX(x;12)设掷硬币出现正面和反面的概率相同。求。 FX(x1,x2;12,1)解：根据题设可得

0 正面1 正面X(1) tX(1) t21 反面2 反面 0 x00 x111故，FX(x;1) 0x1F(x;1)22 1x2X21 x11 x20 x10或x2111x224 0x11，1 FX(x1，x2;2,1)1 0x1，x2或x1，1x2121221 x1，x2121.8 设随机过程X(t)的数学期望E[X(t)]t24。求另一随机过程Y(t)tX(t)t2的数学期望。

(t24)2t3t2 解：E[Y(t)]tt1.9 信号X(t)Vcos3t，其中V是均值为1，方差为1的随机变量。设新的随机信号

Y(t)1tX() d 0t求Y(t)的均值，相关函数，协方差函数和方差。 解：

（1）Y(t)的均值：

mX(t)E[X(t)]E[V]cos3tcos3t

E[Y(t)]1t1tsin3tE[X()]dcos3dt0t03t

（2）Y(t)相关函数

E(V2)D(V)E2(V)2

RX(t1,t2)E[Vcos3t1Vcos3t2]E[V2]cos3t1cos3t22cos3t1cos3t2

RY(t1,t2)E[E[1t11X()d11t10t21t1t2t20X(2)d2]E[1t1t20t1t20RX(t1,t2)d1d2]

0t1t202cos31cos32d1d2]2sin3t1sin3t29t1t2（3）Y(t)协方差函数

KY(t1,t2)RY(t1,t2)mY(t1)mY(t2)2sin3t1sin3t2sin3t1sin3t2sin3t1sin3t29t1t23t13t29t1t2

（4）Y(t)方差

sin23t(t)KY(t,t)

9t22Y1.10一个随机过程

t)X(t),Y(t)都是非平稳过程 X(t)A(t)cost,Y(t)=B(t)sint其中A(t)，B(为相互，各自平稳的随机过程，且他们的均值均为0，自相关函数相等。试证明这两个过程之和

Z(t)X(t)Y(t)是宽平稳的。

证明：

（1）Z(t)均值为一常数：

E[Z(t)]E[X(t)]E[Y(t)]0

（2）Z(t)的自相关函数与时间t无关：

RX(t1,t2)E[A(t1)cost1A(t2)cost2]RA(t1,t2)cost1cost2 RY(t1,t2)E[B(t1)sint1B(t2)sint2]RB(t1,t2)sint1sint2 RXY(t1,t2)E[A(t1)cost1B(t2)sint2]0 RYX(t1,t2)E[B(t1)cost1A(t2)sint2]0

RZ(t1,t2)E{[X(t1)Y(t1)][X(t2)Y(t2)]}RX(t1,t2)RY(t1,t2)RXY(t1,t2)RYX(t1,t2)RA(t1,t2)cost1cost2RB(t1,t2)sint1sint2RA()cosRZ()（3）Z(t)的二阶矩有界：

RZ(0)RA(0)

所以过程Z(t)是宽平稳的。 1.11 设随机信号为

X(t)asin(0t)，式中a,ω0均为正的常数；为正态随机变量，其概率密度

f(υ)试讨论解：

1υ2/2 e2πX(t)的平稳性。

E[X(t)]asin(0t)12/2ed2a2a21j(0t)j(0t)2/2[ee]ed2j1j(0t)j(0t)2/2[ee]ed2j22(j)1(j)j0ta1j0t122[ee2dee2d]22j1j0taj0t122[ee]2jasin0te

因为

X(t)的均值是t的函数，所以X(t)是非平稳随机过程。

X(t)的自相关函数为

1.12 平稳过程

Rx()10e求

1010cos1010

X(t)的均值、均方值和方差。

X(t)的均值

10（1）

因为RX()10e10cos1010RX1()RX2()

10其中RX1()10cos10为周期分量；RX2()10e10为非周期分量；

mX120

mX22RX2()10e101010

mXmX1mX210 （2）

X(t)均方值

100E[X2(t)]RX(0)10e（3）

10cos1001030

X(t)方差

2XE[X2(t)]mX220

1.14 已知两个随机过程

X(t)AcostBsint,Y(t)BcostAsint

其中

A，B是均值为0，方差为1的不相关的两个随机变量，试证过程X(t)、Y(t)各自平稳，而且是

联合平稳的；并求出他们的互相关系数。 证明： （1）E[A2]D(A)E2(A)5，E[B2]D(B)E2(B)5

E[X(t)]E[A]costE[B]sint0

RX(t1,t2)E{[Acost1Bsint1][Acost2Bsint2]}E[A2]cost1cost2E[B2]sint1sint2E[AB]cost1sint2E[BA]cost2sint1 5cost1cost25sint1sint25cos()RX()E[X2(t)]RX(0)5

所以，

X(t)是宽平稳随机过程。

E[Y(t)]E[B]costE[A]sint0

RY(t1,t2)E{[Bcost1Asint1][Bcost2Asint2]}E[A2]sint1sint2E[B2]cost1cost2E[AB]sint1cost2E[BA]sint2cost1 5cost1cost25sint1sint25cos()RY()E[Y2(t)]RY(0)5

所以，Y(t)是宽平稳随机过程。 （2）

RXY(t1,t2)E{[Acost1Bsint1][Bcost2Asint2]}E[A2]cost1sint2E[B2]sint1cost2E[AB]cost1cost2E[BA]sint1sint25cost1sint25sint1cost25sin()RXY()所以

X(t)与Y(t)是联合平稳的。

（3）

rXY()KXY()RXY()E[X(t)]E[Y(t)]KX(0)KY(0)(RX(0)E[X(t)])(RY(0)E[Y(t)])5sin()sin()5cos(0)5cos(0)Acos(t) ,式中A、 1.17 设随机过程X(t)和为统计的随机变量；而且，

A的均值

为2、方差为4，在（－π，π）上均匀分布，在（－5，5）上均匀分布。试问过程是否遍历？并求出解：

X(t)是否平稳？

X(t)的自相关函数。

E[X(t)]E[Acos(t)]E[A(costcossintsin)]2(costdcosdsintdsind)05555

E[A2]E[A]2D(A)2248

RX(t,t)E{Acos(t)Acos[(t)]}1E{A2[cos(2t2)cos()]}2 12E{A[cos(2t)cos2sin(2t)sin2cos()]}25114sin5E[A2cos()]E[A2]cos()dR（X）5225E[X2(t)]RX(0)4

所以随机过程

X(t)是宽平稳的。

AX(t)X(t)lim1T2TTTX(t)dtlim1T2TTTAcos(t)dt0

(t,t)X(t)X(t)limlim1T2TTTX(t)X(t)dt1TAcos(t)Acos[(t)]dtT2TT1T12limA[cos(2t2)cos()]dtT2TT21A2cos()R（X）2随机过程

X(t)不是遍历的。

1.20 设复随机过程为

Z(t)ej(ω0t)

其中

ω0为正常数，是在（0，2π）上均匀分布的随机变量。试求E[Z(t)Z*(tτ)]和

E[Z(t)Z(tτ)]。

解：

E[Z(t)Z(t)]E{ej(0t)ej[0(t)]}ej0

E[Z(t)Z(t)]E{ej(0t)ej[0(t)]}E[ej(20t20)]1.21 设复随机过程为

jωtt Z(t)Aeii1n1j(20t0)2j2eed002式中

Ai(i1,2....,n)为n个实随机变量，ωi(i1,2....,n)为n个实数，求：Ai和Aj应满足什么条

件，方能使Z(t)为复平稳随机过程？ 解：

E[Z(t)]E[Aeii1*njit]E[Ai]ejit

i1njitnRZ(t,t)E[Z(t)Z(t)]E[Aeii1Aekk1njk(t)]E[AiAkej(ki)tejk]

i1k1nn若要Z(t)为复平稳随机过程，那么均值为一与时间无关的常数，易得 条件1：E[Ai]=0，i1,2,L,n，则E[Z(t)]0

自相关函数也得与时间无关，易得

条件2：当ik时，Ai与Ak不相关，则

n2jiRZ(t,t)E[Aiei1]E[Ai2]ejii1n

此时Z(t)为复平稳随机过程。 1.23 有两个且联合平稳的随即序列

2，试证明： σY2和X(n)和Y(n)，它的均值分别是mX和mY，方差分别是σXRxy(m)Rx0Ry01/2,Kxy(m)Kx0Ky01/2

Rx(m)Rx0，Kx(m)Kx0

[提示：可利用不等式E[(X证明：根据提示，可知 由4t可得

2tY)2]0，对于任意的tR]

E[X(n)tY(nm)]2RX(0)2tRxy(m)t2RY(0)0

Rxy2(m)4t2RX(0)RY(0)0

1/2Rxy(m)Rx0Ry02

同理，由E[X(n)tX(nm)]0可得Rx(m)Rx0，

2另一方面，E[(X(n)mX)t(Y(nm)mY)]KX(0)2tKxy(m)t2KY(0)0

4t2Kxy2(m)4t2KX(0)KY(0)0

故

Kxy(m)Kx0Ky01/2，同理，

2由E[(X(n)mX)t(X(nm)mX)]1.24 若正态随机过程

0可得Kx(m)Kx0。证毕

X(t)有自相关函数

/2（1）Rx()6e（2）Rx()试确定随机变量解：（1）mX2

6sinX(t),X(t1),X(t2),X(t3)的协方差矩阵。

/2RX()0，KX()RX()mX26e

61/26eK16e3/26e（2）mX26e1/266e1/26e16e16e1/266e1/216e3/21/26e1e6e16e1/23/26ee1/21e1/2e1e1e1/21e1/2e3/2e1 1/2e1RX()0，KX()RX()mX26sin

60K00060000600100600600100001000 011.28 设（齐次）马尔可夫链的一步转移概率矩阵为

1/21/31/6P1/31/31/3

1/31/21/6试问此链共有几个状态？是否遍历？求它的二步转移概率矩阵。lim解：（1）此链共有3个状态； （2）因为

pij(n)pj是否存在？并求之。

npij(1)0，所以此链是遍历的。

1/21/31/61/21/31/65/1213/362/9 27/182/9 （3）P(2)P1/31/31/31/31/31/37/181/31/21/61/31/21/67/1813/361/4 （4）根据遍历性的定义可知，limnpij(n)pj是存在的。

111ppp121323p3p1p1p11p2p21p3p31111p2p1p12p2p22p3p32p2p1p2p3

332ppppppp1132233333111ppp361326p3且

p1p2p31

p12138，p2，p3 53535X(t) (其样本函数如图1-9-1所示)满足下述条件：

解之得：

1.29 随机电报信号

（1） 在任何时刻t，X(t)只能取0或1两个状态。而且，取值为0的概率为1/2，取值为1的概率也

是1/2，即：

P{X(t)0}1/2,P{X(t)0}1/2

（2） 每个状态的持续时间是随机的，若在间隔（0, t）内波形变化的次数K服从泊松分布，即

(λt)kλtP{Kk}Pk(0,t)e

k!式中，λ为单位时间内波形的平均变化次数；

（3）

X(t)取任何值与随机变量K互为统计。

试求随机电报信号

X(t)的均值，自相关函数，自协方差函数。

X(t)1

0图1-9-1

tX(t)的样本函数

解： （1）mXE[X(t)]0P{X(t)0}1P{X(t)1}1/2

（2）因为：RX(t1,t2)E[X(t1)X(t2)]X(t1)0,1X(t2)0,1X(t1)X(t2)P[X(t1),X(t2)]

假设：t1t2如果因为

0

内有偶数个滤形变化点

X(t1)0,X(t2)0，则在时间间隔P(K0)P(K2)LP0(0,)P2(0,)Le所以

()2[1L]ech2!

P{X(t1)0X(t2)0}ech，P{X(t1)1X(t2)1}ech

因为

P(K1)P(K3)LP1(0,)P3(0,)Le所以

()3[L]esh3!

P{X(t1)1X(t2)0}eshP{X(t1)0X(t2)1}esh

即

1P[X(t1)0,X(t2)0]P[X(t2)0]P[X(t1)0X(t2)0]ech

21P[X(t1)0,X(t2)1]P[X(t2)1]P[X(t1)0X(t2)1]esh

21P[X(t1)1,X(t2)0]P[X(t2)0]P[X(t1)1X(t2)0]esh

21P[X(t1)1,X(t2)1]P[X(t2)1]P[X(t1)1X(t2)1]ech

2那么

RX(t1,t2)E[X(t1)X(t2)]由于自相关函数的对称性：

1X(t)X(t)P[X(t),X(t)]ech12122X(t1)0,1X(t2)0,1

1RX()ech2（3）KX()1e（或者

42）

1112RX()mx2ech（或者e）

2441（4）SX()() 2241.30 设顾客到达商场的速率为2人/分钟，求： （1）在5分钟内到达顾客数的平均值； （2）在5分钟内到达顾客数的方差；

（3）在5分钟内至少有一个顾客到达的概率。 解：由已知条件可知t时刻内顾客到达数

X(t)为泊松过程。

（1）E[X(5)]10,（2） D[X(5)]10 （3）P{X(5)1}1P{X(5)0}1e10

n1.31 设X1,X2,L,Xn是同分布的随机变量，随机变量YXi。证明：若Xi是服从参数为ii1的泊松分布，则Y服从参数为Y证明：数学归纳法 （1）n=1时，Yi的泊松分布。

i1nX1，Y1显然成立

Xi服从参数为Yi的泊松分布，

i1i1kk（2）假设n=k时，结论成立，即Y则当n=k+1时，

YXiXiXk1XXk1,其中XXi,Xi

i1i1i1i1k1kkkP{Ym}P{XXk1m}P{Xn}P{Xk1mn}n0m(X)nX(k1)mnk1Xk1(k1)meeen!(mn)!m!n0m(n0mmXk1)nm!n!(mn)!k1

eXk1(k1)Xm(Xk1)(Xk1)(1)eei1m!k1m!m(i)(i)mi1k1m!即，YXi服从参数为Yi的泊松分布。故当n=k+1时，结论也成立。

i1i1k1k1综上可得命题成立，证毕。 第二章

2.1（1）已知一个常数a，一个概率密度是证：

2f的随机变量，我们构成随机过程Xtaejt。试

Xt的功率谱等于2af。

（2）若另外还知道一个在区间率谱等于

,均匀分布的随机变量，证明过程Xtacost的功

12aff 2证明：（1）

RX(t,t)E[X(t)X(t)]E[aejtaej(t)]aE[ej]a222f()ejd2aF[f()]RX()21

SX()2af()

（2）

RX(t,t)E[X(t)X(t)]E{acos(t)acos[(t)]}121212aE[cos]af()cosdaf()(ejej)d

2241a2F1{[f()]F1[f()]}RX()21SX()a2[f()f()]

22.2 在下列函数中，试确定哪些函数是功率谱密度，哪些不是，并说明原因。

422cos3(1)(4); ; (2)e;(1)6;(3)();(5)21j6213234121(6)2;

(1)22||(7)2;

21(8)1132;

29(9)2;

(4)(1)224(10)4;

423ej21(11)2； (12)4();

2332解：只有（1）（6）是功率谱密度。（2）（7）（9）（12）非偶，（3）（5）（10）有负值，（4）（8）（11）非实，均不满足功率谱密度要求。 2.5设Xt和Xt是两个相互的平稳过程，它们的均值至少有一个为零，功率谱密度分别为

216SX2， SY2，

1616现设新随机过程Z（1）Z（2）（3）

tXtYt，求：

t的功率谱密度；

Xt和Yt的互谱密度SXY； Xt和Zt的互谱密度SXZ。

解：（1）

RZ(t,t)E[Z(t)Z(t)]E{[X(t)Y(t)][X(t)Y(t)]}RX()RY()RZ()162SZ()221

1616（2）RXY(t,t)故，SXY()=0；

（3）RXZ(t,t)E[X(t)Z(t)]E{X(t)[X(t)Y(t)]}RX() 则，SXZ()E[X(t)Y(t)]0RXY()

SX()16

2162.9已知平稳随机过程X其中a和0皆为正常数。求Xtt的自相关函数为RXacos40，

的功率谱密度及其功率。 解：RX()311acos40a(cos20cos40)

828311SX()a{()[(20)(20)][(40)(40)]}

428E[X2(t)]RX(0)a

2.10已知随机过程X变量。 （1） 过程Xtacos0t, 其中a和0皆为常数，是在0,上均匀分布的随机

t是宽平稳的吗？证明之。

lim1T2T（2） 利用式QTT2EXtdt, 求Xt的功率。

（3） 利用式

2EF,TXSX()limT2T，求随机过程

Xt的功率谱密度；并由式

1Q2SXd计算Xt的功率。你先后求得的Xt的功率值相等吗？

（1）证明：

E[X(t)]E[acos(0t)]数，所以过程（2）解：

10acos(0t)d2a0sin0t，即均值不是一个常

X(t)不是宽平稳

1cos(20t2)a2E[X(t)]E[acos(0t)acos(0t)]E[a]2222

1QlinT2T（3）解：

a2a2T2dt2T

FX(,T)X(t)ejtdtacos(0t)ejtdtTTTT=acos(0t)(costjsint)dtacos(0t)costjcos(0t)sintdtTTTTTa[cos0tcoscostsin0tsincostjcos0tcossintjsin0tsinsint]dtT2a[cos0tcostcosjsin0tsintsin]dt0Ta{[cos(0)tcos(0)t]cosj[cos(0)tcos(0)t]sin}dt0Ta[a[sin(0)Tsin(0)sin(0)Tsin(0)TT]cosja[]sin0000sin(0)Tsin(0)T(cosjsin)(cosjsin)]00sin(0)Tjsin(0)Tjee]aT[Sa((0)T)ejSa((0)T)ej](0)T(0)TaT[E[FX(,T)]a2T2E[Sa((0)T)ejSa((0)T)ej]a2T2[Sa((0)T)2Sa((0)T)2]E[FX(,T)]a2TsinT2SX()lim[(0)(0)] 提示lim()()TT2T2T1Q故，

2a2SX()2222，功率值相等

2.11平稳过程Xt的双边谱密度为SX32216。求：

（1）该过程（在1负载上）的平均功率； （2）取值范围为解：（1）Q（2）Q2.14设

4,4的平均功率。

12SX()d121232/(216)d4

1244SX()d4432/(216)d2

A和B为随机变量，我们构成随机过程X(t)Acos0tBsin0t，式中0为一实常数。

A和B具有零均值及相同的方差2，且不相关，则Xt为（宽）平稳过程；

（1）证明：若（2）求

Xt的自相关函数；

（3）求该过程的功率谱密度。

解：E[X(t)]E[A]cos0tE[B]sin0t0

RX(t,t)E[X(t)X(t)]E{[Acos0tBsin0t][Acos0(t)Bsin0(t)]}E[A2cos0tcos0(t)B2sin0tsin0(t)ABcos0tsin0(t)BAsin0tcos0(t)]2cos0E[X2(t)]RX(0)2cos002

所以

X(t)为（宽）平稳过程；

X(t)的自相关函数为：RX()2cos0X(t)的功率谱密度为：SX()2[(0)(0)]

2.15定义两个随机过程为X为实正整数，为与Vtacos0t，YtVtcos0t，式中a和0皆

t无关的随机变量，Vt为具有恒定的均值mV的随机过程。

（1）证明

Xt与Yt的互相关函数为

RXYt,t

amVcos0Ecos2cos20t0 2Esin2sin20t0；

（2）求RXYt,t的时间平均, 并确定互功率谱密度SXY。

解：（1）证明：

RXYt,tE[acos0tVtcos0(t)]amVamE[2cos0tcos0(t)]VE[cos(0)cos0(2t)2]22amVcos0E[cos2]cos20t0Esin2sin20t02（2）

ARXYt,tlim1TamVcos0E[cos2]cos20t0Esin2sin20t0T2TT2amVcos02SXY2.17设XamV2[(0)(0)]

t是一个具有非零均值（mX0）的平稳随机过程。证明

2SX()2mXKxejd。

设

Xt是复平稳过程，试证：

*Xt的自相关函数为RX()RX()；

（1）（2）

Xt的功率谱密度为实函数。

X(t)是平稳随机过程

证明：因为

2 RX()KX()mX22SX()RX()ejd[KX()mX]ejd2mX()KX()ejd

（1）由于是复平稳过程，故

RX()E[X(t)X(t)];RX()E[X(t)X(t)]R()E[X(t)X(t)]E[X(m)X(m)]RX()X令tm

（2）根据上面结论

S()(RX()eXjd)R()eXjdRX()ejdSX()

因而是实函数。 第三章

3.2理想带通线性系统具有如下幅频特性：

1H()01001其它

若输入是正态白噪声，问输出是什么过程？并求输出过程的均值和自相关函数，n维概率密度函数。 解：输出是一个高斯过程；

设输入正态白噪声为

X(t)，其均值为零，方差为

N02，有：

mX0；RX()所以：

N0()；GX()N0 2mYmXH(0)0；

N0,GY()GX()H()0,21001其它N0sin

RY()1210199GY()cosdcos100

输出信号协方差：KY()输出信号方差：Y2RY()mY2N0N0sincos100KY(0)

输出信号的相关系数：rY()输出过程的n维概率密度为：

KY()sincos100

KY(0)11nnfY(y1,y2,L,yn;t1,t2,L,tn)exp[R(yimY)(yjmY)]n/21/2n2ij(2)RY2RYi1j111exp(2(2)n/2R1/2Yn2RY其中：

Ryy)ijiji1j1nnrY(0)RrY(1)MrY(1)rY(0)MLLrY(n1)rY(n2) MrY(0)rY(n1)rY(n2)LRij为行列式中元素rY(ji)的代数余子式。

3.4设输入输入信号为4W/Hz的0均值高斯白噪声，通过一个线性系统，线性系统的单位冲激响应为

h(t)e2tU(t)，求：输出信号的均值、相关函数、功率谱密度和二维概率密度。

解：mYmXh()dmXe2td0

002t0.5因为系统的单位冲激响应为h(t)eU(t)

所以：H()1

2jw又因为：SX()4

14SY()SX()H()42jw4222

RY()e2

SXY()SX()H()RXY()4e2U()

4

2jwSYX()SX()H()RYX()4e2U()

4

2jwY2RY(0)mY21

输出信号协方差：KY()RY()mY2e2

rY()KY()2eKY(0)

1122fY(y1,y2;)exp(Ryy) 2ijij2R1/2Y22RYi1j1RrY(0)rY()1e2e2rY()rY(0)11e4

3.5 如图3-9-1所示系统，输入X(t)为功率谱密度S0的白噪声，求输出的自相关函数。

+RL+Y(t)X(t)--

图3-9-1 R-L电路

解：由电路系统知识可得：

jL(L)22H(),则H()2RjLR(L)22

(L)2R21SY()SX()H()S02S(1) 0R(L)2L2(R)22LRRY()S0(()e2LRL)

3t3.8设线性系统的单位冲激响应h(t)teU(t)，其输入是具有功率谱密度为

4V2/Hz的白噪声与2V

直流分量之和，试求系统输出的均值、方差和均方值。 解：因为系统的单位冲激响应为h(t)te所以：

3tU(t)，mX2

2 9mYmXh()dmXte3td00RX()4()4

Y2E[Y2(t)]mY2RY()721()2 8192700h(u)h(v)RX(uv)dudv0h(u)h(v)[4(uv)4]dvdu0h(u)[4h(u)4h(v)dv]du0044h(u)h(u)h(u)du09114e3e392781

E[Y2(t)]RY(0)7 813.9巴特沃思（Butterworth）滤波器具有功率传递函数

H()1(21W

)2n 其中n=1,2,….是网络的个数，W是-3dB带宽，单位弧度/s，画出n＝1，2，4，8时当n时，解，如图所示：

H()2的图形，

H()2变成什么形状？

3.11随机过程X(t)Asin(0t)附加到功率谱为

N02的白噪声上，

A、N0为正常数，在

（2）输出信[,]上均匀分布，他们的和作用到图3-9-4的系统上，求（1）输出信号和噪声的功率谱；号和噪声的平均功率比；（3）WR为何值时信噪比最大？ L+LR+Y(t)X(t)--

图3-9-4 R-L电路

解：对于如题的输入随机过程，对应的自相关函数RX()12Acos0 2，且

N1SX()A2[(0)(0)]，又SN()022R2H()2R(L)22

N0R2A2R2故SYS()2[(0)(0)]，SYN()2R(L)22R2(L)2

1QYS2R2A2SY()d2(R2(0L)2)QYNRYN()02N0Re4L2RL

N0R4L2QYSN0RRA2RAL2A2r/QYN2(R2(0L)2)4L(R2(0L)2)N0(202)N0由a2RL

b22ab(当且仅当ab等号成立)可得=0时信噪比最大。

3.12若某积分电路输入和输出满足如下关系

Y(t)其中T为积分时间。若输出

ttTX(u)du

X(t)是一个平稳过程。试证输出Y(t)的功率谱密度为

sin2(SY()SX()T22)

()2解：根据已知条件可得

1 0tTTjT2222T) ，则H()TSa(h(t)，H()TSa()e220 其他故

sin2(SY()SX()T22)，证毕

()23.14设

2X(n)是一个均值为零，方差为X的白噪声，Y(n)是单位冲激响应为h(n)的线性时不变离散

系统的输出，试证（1）E[X(n)Y(n)]h(0)；（2）解：（1）

2X2Y2Xh(n)。

2n0E[X(n)Y(n)]E[X(n)h(k)X(nk)]h(k)E[X(n)X(nk)]k0k0h(k)RX(k)h(k)X2(k)h(0)X2k0k0

（2）

RY(m)h(k)h(l)R(mkl)h(k)h(l))X(mkl)X2k0l0k0l02h(k)h(mk)k0YE[Y(t)]RY(0)X222h(n)

2n03.16 设计一稳定线性系统，当输入功率谱密度为

SX()1.090.6cos1.160.8cos

输出为单位谱密度白噪声。称该系统为白化滤波器。

ejej1.090.62解：因为SX()jeej1.160.82令z

ej,所以

zz11.090.6(z0.3)(z10.3)2 SX(z)zz1(z0.4)(z10.4)1.160.82z0.3SX(z)

z0.4H(z)1SXzz0.4

z0.3233.17 求功率谱密度为SX()2的白化滤波器。

8解：因为sj所以

2s2，

s3s23(3s)(3s)；SX(s) S(s)2s8(22s)(22s)s22H(s)1SXsN02s22s3

3.19 功率谱密度为的白噪声作用到

H(0)2的低通网络，它的等效噪声带宽为

2MHz。若在一欧

姆电阻上噪声输出平均功率是0.1W，求N0。

N0A20.1 解：因为E[Y(t)]42又因为：

AH()maxH(0)2，e22106

N00.1481.2510 2A |H(ω)|3.21系统传递函数如图3-9-5所示，求等效噪声带宽

2-22ω

图3-9-5 系统传递函数

解：e0H()dH(0)2220(2)2d42 3Y3.23 设零均值平稳窄带噪声Y(t)具有对称功率谱密度，且RY()a()cos0t，求相关函数Rˆ()，

22RY()和方差Yˆ，Y。

解：

（1）Rˆ()RY()a()cos0

Y（2）ˆ2YRYˆ(0)a(0)cos00a(0)

ˆ()R()h()a()cos1a()sinRYY00

ˆ()]2[a()cosja()sin] RY()2[RY()jR%Y00（3）Y()2[a(0)cos00%R%Y2ja(0)sin00]2a(0)

X(t)的希尔伯特变换，求随

ˆ(t)为3.25 已知平稳过程X(t)的功率谱密度SX()如图3-9-6所示。记X机过程W(t)ˆ(t)sint的功率谱密度，并图示它。 X(t)cos0tX0SX()0

图3-9-6 功率谱密度SX()解：因为W(t)

ˆ(t)sint X(t)cos0tX0ˆ(t)sint][X(t)costXˆ(t)sint]}RW(t1,t2)E[W(t1)W(t2)]E{[X(t1)cos0t1X101202202ˆ(t)costsintE[X(t)X(t)costcostX(t)X120102120102ˆ(t)X(t)sintcostXˆ(t)Xˆ(t)sintsint]X120102120102RX()[cos0t1cos0t2sin0t1sin0t2]RXXˆ()[cos0t1sin0t2sin0t1cos0t2]ˆRX()cos0RXXˆ()sin0RX()cos0RX()sin0RW()11SX()[(0)(0)]SX()[jsgn()]j[(0)(0)]2211[SX(0)SX(0)][SX(0)sgn(0)SX(0)sgn(0)]2211SX(0)[1sgn(0)]SX(0)[1sgn(0)]22SX(0)U(0)SX(0)U(0)SW()W(t)的功率谱如下图所示：

Sw(w)-w03.27

设噪声

0w0w

n(t)是宽平稳的，其功率谱密度

Sn()如图3-9-8所示，求

是在并作图。式中，（0，2X(t)n(t)cos(0t)n(t)sin(0t)的功率谱密度SX()，

内均匀分布的随机变量；0）

1；与n(t)统计。

SN()P101

图3-9-8功率谱密度Sn()

解：

RX(t,t)E[X(t)X(t)]E{[n(t)cos(0t)n(t)sin(0t)]g[n(t)cos(0(t))n(t)sin(0(t))]}E[n(t)n(t)cos(0t)cos(0(t))n(t)n(t)cos(0t)sin(0(t))n(t)n(t)sin(0t)cos(0(t))n(t)n(t)sin(0t)sin(0(t))]Rn()cos0Rn()E[sin(020t)]Rn()cos0=RX()所以：

SX()11Sn()[(0)(0)][Sn(0)Sn(0)] 22SX(w)p/2-w020w0w

3.28对于零均值、方差的窄带平稳高斯随机过程

X(t)a(t)costb(t)s0int0随机变量

At()cst[0o求证：包络t()]，

A(t)在任意时刻所给出的

At的均值和方差分别为：

E[At]证明：

22(2)2 ，At2因为

fA(At)Ate2At222At?0

E[At]fA(At)AtdAt0At0e2At222At222AtdAt=Atd(e0At222)At2Ate2AtAt2220e0At222dAte0dAt22分部积分法021e2dAt22

fA(At)AtdAt02At0e2At222AtdAt(2)2

23.30 远方发射台发射一个幅度不变、角频率为0的正弦波，通过衰落信道传输后到达接收端时，信号变为具有参数S的瑞利型包络分布的随机信号。在接收端又有高斯噪声混入，噪声的方差为N，这样，信号加噪声同时通过中心频率为0的高频窄带系统。求证：窄带系统输出的信号与噪声之和的包络也是服从瑞利分布的，其参数为S22。 N22证明：设经过窄带系统后，信号和噪声分别为如下：

S(t)a1(t)cos0tb1(t)sin0t，N(t)a2(t)cos0tb2(t)sin0t

则对应的输出：Y(t)S(t)N(t)a3(t)cos0tb3(t)sin0t

其中a(t)A(t)cos(t)，令t固定，有随机变量

b(t)A(t)sin(t)statAtco tbtAtsin则有E[a1t]E[b1t]0,E[a2t]E[b2t]0,2222E[a12t]E[b12t]S2，E[a2t]E[b2t]N

22且彼此，故E[a3t]E[b3t]0，E[a3t]E[b3t]SN2，则

22a31tb3tfab(a3t,b3t)fa(a3t)fb(b3t)exp222(S2N2)2(SN)A1exp222(S2N2)2(SN)23t

A3tA32texp22fA(A3t,3t)2(S2N2)2(SN)0A3t0,02其它

fA(A3t)20fA(A3t,3t)dtfA,(A3t,3t)20A3tA32td3texp222222(SN)2(SN)A3tA32texp,A3t022(S2N2)2()SN即信号与噪声之和的包络也是服从瑞利分布的，其参数为S22。 N3.31同步检波器如图3-9-9所示。令

2||其自相关函数为RX()XeX(t)为窄带平稳噪声，cos0，

0。 而X(t)Asin(0t)，A为常数，是与X(t)的、且在（0，2布的随机变量。试求该检波器输出的平均功率。

）内均匀分

X(t)理想低通滤波器Z(t)Y(t)图3-9-9同步检测器

解：令S(t)

X(t)Y(t) Z(t)lowpassS(t)

RS(t1,t2)E[X(t1)Y(t1)X(t2)Y(t2)]E[X(t1)X(t2)]E[Y(t1)Y(t2)]RX()RY()

RY(t1,t2)E[Y(t1)Y(t2)]E[Asin(0t1)Asin(0t2)]t2t1 1212AE[cos(0(t1t2))cos(0t10t22)]Acos(0)RY()222RS(t1,t2)RX()RY()xecos01212Acos(0)A2xe(cos201)24

1122A2xeA2xecos20RS()44144442444431444444442444444443基带部分频带部分因为SZ(w)lowpassSS(w) 所以，易得：

RZ()122Axe4

E[Z2(t)]RZ(0)1220122AxeAx 44