2021年沪教版必修二数学期末复习-上海期末真题精选50题(大题基础版)教师版

一、解答题

1．（2019·上海市杨浦高级中学高一期末）已知函数f(x)（1）求函数f(x)的定义域： （2）求函数f(x)的单调递减区间： （3）求函数了f(x)在区间(cosxsinx)sin2x

cosx11,上的最大值和最小值. 2424x|xk,xR,kZ. 【答案】（1）2（2）k8,k5k,k,kZ. 228112)1. 242（3）f(x)maxf()21,f(x)minf(8【分析】（1）根据分母不等于0求出函数的定义域.

（2）化简函数的表达式,利用正弦函数的单调减区间求解函数的单调减区间即可. （3）通过x满足值.

【详解】解：（1）函数f(x)11,求出相位的范围,利用正弦函数的值域,求解函数的最大值和最小2424(cosxsinx)sin2x的定义域为：

cosxcosx0,即x|xk,xR,kZ,

2（2）f(x)(cosxsinx)sin2x

cosx2(cosxsinx)sinxcosx

cosx2sinxcosx2sin2x

sin2xcos2x1

2sin2x1,

4令2k22x32k且xk,kZ, 422解得：2k52x2k, 44即k3xk,xk,kZ 882所以f(x)的单调递减区间：k（3）由x当2x当2x8,k5，k,k,kZ. 228711,2x,, ,可得：4362424,即：x

428

时,f(x)maxf()21

84711112,即：x时,f(x)minf()1 624242【点睛】

本题考查三角函数的最值以及三角函数的化简与应用,两角和与差的三角函数的应用考查计算能力.

2．（2018·上海高一期末）已知函数fxsin2x2cosx1，xR．

21求函数fx的最小正周期；

2用五点法作出函数fx一个周期内的图象．

【答案】（1）π； （2）见解析.

【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式化简，即可求解最小正周期；（2）列表，作图即可．

2【详解】1函数fxsin2x2cosx1sin2xcos2x2sin2xπ. 4函数fx的最小正周期T2ππ； 2πfx2sin2x21由可知.

4五点列表， x π 8 π 8π 2 3π 8 5π 83π 27π 8 2xπ 40 0 π 2π 0 y 作图：

2 0 2

【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，解题时应根据画三角函数的图象的基本步骤画出图形，是基础题．

3．（2019·上海市南洋模范中学高一期末）已知：f(x)2cos2x3sin2xa（aR，

a为常数）．

（1）若xR，求f(x)的最小正周期； （2）若f(x)在[，]上最大值与最小值之和为3，求a的值． 46【答案】（1）；（2）0

【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式化简，即可求出最小正周期； （2）根据x在[求a的值．

【详解】解：f(x)2cos2x3sin2xa

，]上，求解内层函数范围，即可求解最值，由最大值与最小值之和为3，643sin2xcos2x1a

2sin(2x)1a，

6（1）f(x)的最小正周期T（2）当2x当2x22； 2x[,]，2x[,]，

663642π6π时，即x，f(x)取得最小值为2sin()1aa，

66662时，即x

，f(x)取得最大值为2sin()1aa3，

26

最大值与最小值之和为3，aa33，a0， 故a的值为0．

【点睛】本题主要考查三角函数的性质和图象的应用，属于基础题．

4．（上海市南汇第一中学高一期末）若sin510，其,为锐角，求,sin510cos的值

【答案】2 2【分析】利用同角公式求出两个角的余弦值，再根据两角和的余弦公式可得答案. 【详解】因为,为锐角，且sin510， ,sin510所以cos31025，cos， 510所以cos()coscossinsin

253105102. 5105102【点睛】本题考查了同角公式，考查了两角和的余弦公式，属于基础题.

5．（上海曹杨二中高一期末）已知一个扇形的周长为定值a,求其面积的最大值,并求此时圆心角的大小.

a2【答案】2时,扇形面积最大为.

16【分析】设扇形面积为S,半径为r,圆心角为,则扇形弧长为a2r,,S二次函数的图像与性质求解最值即可.

【详解】设扇形面积为S,半径为r,圆心角为,则扇形弧长为a2r,

1(a2r)r,结合21aa2所以S(a2r)rr.

2416aa2故当r且2时,扇形面积最大为.

416【点睛】本题重点考查了扇形的面积公式、弧长公式、二次函数的最值等知识,属于基础题. 6．（2019·上海市青浦区第一中学高二期末）已知平面内三个向量：

2a3,2．b1,2．c4,1

（1）若（2）若

ac∥2ba，求实数； ac⊥2ba，求实数．

【答案】（1）【详解】（1）

1611（2） 1318ac∥2ba(34,2)//(23,42),

16 132(34)5(2)（2）

ac⊥2ba(34,2)(23,42),

11 184，且是第四象限角，求35(34)2(2)7．（2020·上海市杨浦高级中学高一期末）已知tancot,cos,csc的值.

【答案】cot,cos3435,csc. 54【分析】根据同角三角函数的基本关系计算可得； 【详解】解：因为tan4，且是第四象限角， 333sincoscos13tan55，因为所以cot，解得或 cos44tan422sinsinsincos1553cos5因为是第四象限角，所以

4sin5所以csc15 sin48．（2020·上海市川沙中学高一期末）f(x)sin2x2cos2x （1）求f(x)的递增区间； （2）当x0,，时，求f(x)的值域． 2【答案】（1）32,1+2k,k,kZ；（2）. 88【分析】（1）化函数fx为正弦型函数，根据正弦函数的单调性求出fx的单调增区间；

（2）求出x0,的值域．

2x+sin(2x+)的取值范围，进而可得fx时的取值范围，从而得出442【详解】函数f(x)sin2x+2cos2x（2（1）令解得22sin2x+cos2x）+12sin(2x+)+1， 2242k2x+2k,kZ， 2423kxk,kZ， 88k,k,kZ. 所以函数fx的单调增区间88（2）当x0,332x+,， 时，42442sin(2x+),1，

422sin(2x+)+12，1+2， 4fx的值域为2,1+2.

【点睛】本题考查了三角函数的图象、单调性、值域等性质的应用，是基础题.

29．（2020·上海市七宝中学高一期末）已知函数fx4sinxcosx43cosxa的最大

为2.

（1）求a的值，并求fx的最小正周期； （2）求fx在0,上的单调递增区间.

【答案】（1）a223，最小正周期为；（2）单调递增区间为0,【分析】（1）先根据二倍角公式和辅助角公式将原式化简整理，得到

7,. 和1212fx4sin2x23a，根据函数最值，即可求出a，再由正弦函数的周期，即可

3求出周期；

（2）先由正弦函数的单调递增区间列出不等式求解，得出函数的单调递增区间，再由给定区间，即可得出结果.

2【详解】（1）fx4sinxcosx43cosxa2sin2x23cos2x23a

4sin2x23a，

3所以f(x)423a，

因为函数f(x)4sinxcosx43cos2xa的最大为2，所以423a2， 解得a223； 所以f(x)4sin2x（2）由2k32，因此最小正周期为T2； 32k222x2，kZ得xk5,k,kZ， 1212所以f(x)的单调递增区间为k又x0,，取k0,1， 得f(x)在

5;k,kZ， 121270,上的单调递增区间为0,12和12,.

【点睛】本题主要考查由正弦型函数的最值求参数，考查求正弦型函数的最小正周期，以及正弦型函数的单调区间，涉及二倍角公式以及辅助角公式，属于常考题型.

110．（2020·上海高一期末）已知函数f(x)sin(x).

62（1）若函数f(x)在区间[0,a]上单调递增，求实数a的取值范围； （2）求函数f(x)在区间[0,2]上的所有零点之和. 【答案】（1）0,；（2）.

33【分析】（1）求出函数f(x)的单调增区间，结合函数f(x)在区间[0，a]上单调递增，即可求得实数a的取值范围；

（2）由f(x)0，求解x在[0,2]上的值，即可得到函数f(x)在区间[0,2]上的所有零点之和．

【详解】解：（1）由得π822kx622k，

22kx2k，kZ． 33取k0，可得23x3，

函数f(x)sinx1在区间[0，a]上单调递增， 62π实数a的取值范围是0,；

31（2）由f(x)sin(x)0，

62得sin(x6)152k，kZ． ，则x2k或x666622，2． 32，2 3又x[0，2]，x0，

即函数f(x)在区间[0，2]上的所有零点是0，故零点之和为0282． 33【点睛】本题考查复合函数单调性的求法，考查利用三角函数值求角，属于基础题． 11．（2021·上海市川沙中学高一期末）已知tan2， 求（1）

sincos

sin3cossincoscos2（2） 21sin【答案】（1）1；（2）

1. 3【分析】（1）将分子、分母同除以cos即可求解.

（2）1sin2cos2，再将分子、分母同除以cos2即可求解. 【详解】（1）

sincostan1211；

sin3costan323sincoscos2sincoscos2tan1211（2）.

1sin2cos22sin212tan21833312．（2020·上海高一期末）已知cos，,25cossin，求和的值. 36343343【答案】cos；sin. 3106103【分析】根据cos及角的范围求出sin，结合两角和与差的正弦余弦公式可求，或者

5利用诱导公式通过cos3求解sin. 634342【详解】由题意，sin1cos，∴coscoscossinsin，

333105343sinsincoscossin.

66610或者由诱导公式sinx343. cosx，可直接得到sincos26310【点睛】本题主要考查三角函数给值求值问题，根据平方关系求出另一个弦函数是解题关键，侧重考查数学运算的核心素养.

13．（2019·上海市文来中学高一期末）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且a6,b53,B（1）求sinA． （2）求cos(BC)cos2A的值. 【答案】（1）

2. 3313；（2） 525【分析】（1）直接利用正弦定理即可求解. （2）利用同角三角函数的基本关系求出cosA性质即可求解.

【详解】（1）在△ABC中，由正弦定理可得

4，再利用二倍角公式以及三角形的内角和5ab sinAsinB65323将a6,b53,B代入上式可得sinA2，解得sinA.

5sin33（2）在△ABC中，ABC，且B为钝角，所以cosA cos(BC)cosA4， 5472，cos2A12sinA， 5254713 52525所以cos(BC)cos2A【点睛】本题考查了正弦定理解三角形、同角三角函数的基本关系以及二倍角的余弦公式，属于基础题.

14．（上海市金山中学高一期末）已知0,，sincos的值.

【答案】sin21.求sin2和sincos5247，sincos 255【分析】把已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系化简，可得sin2的值，同时由

0,与sin2的值可判断出sin0，cos0，计算出sincos的值，可得

2sincos的值.

【详解】解：

sincos1124 ，两边同时平方可得：1sin2，sin2 52525又0,，sin0，∴sin20 ∴492,，sincos1sin2

2527 5∴sincos【点睛】同时主要考查同角三角函数关系式的应用，相对不难，注意运算的准确性. 15．（上海市金山中学高一期末）对于函数f(x)和实数M，若存在m,nN*，使

f(m)f(m1)f(m2)f(mn)M成立，则称(m,n)为函数f(x)关于M的一个

“生长点”.若(1,2)为函数f(x)cos【答案】x关于M的一个“生长点”，则M______.

321 2【分析】由(1,2)为函数f(x)cosx关于M的一个“生长点”，得到

323Mcos()cos()cos()由诱导公式可得答案.

23323【详解】解：

(1,2)为函数f(x)cosx关于M的一个“生长点”，

323Mf(1)f(11)f(12)cos()cos()cos()

23323sin3cos3sin3cos31， 2故答案为：1. 2【点睛】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，及函数的创新题型，属于中档题. 16．（上海市大同中学高一期末）已知tanπ3， （1）求tan的值.

sinπcosπsin2πcos（2）求的值. π3πsincos22【答案】（1）3；（2）-4

【分析】（1）根据诱导公式即可求解； （2）根据诱导公式化简结合（1）的结论求值.

【详解】（1）由题：tanπ3，所以tan3，tan3；

sinπcosπsin2πcos（2） π3πsincos22sincossincos

cossin2sin2cos

cossin2tan2

1tan4

【点睛】此题考查三角函数化简求值，关键在于熟练掌握诱导公式的应用，准确进行变形化简，构造正切求值.

17．（2020·上海交大附中高一期末）高境镇要修建一个扇形绿化区域，其周长为400m，所在圆的半径为r，扇形的圆心角的弧度数为，0,2. （1）求绿化区域面积S关于r的函数关系式，并指出r的取值范围；

（2）所在圆的半径为r取何值时，才能使绿化区域的面积S最大，并求出此最大值. 【答案】（1）Sr2200r，r200,200（2）当r100m时，S最大为10000m2 1【分析】（1）表示出弧长,即可由扇形面积公式表示出S.根据弧度定义,用弧长和半径表示出圆心角弧度数,并结合0,2即可求得半径的取值范围. （2）由二次函数性质,即可求得面积的最大值,及此时的半径. 【详解】（1）当半径为r,所以弧长为4002r 所以S1r4002rr2200r 24002r,而0,2 r由弧度定义可知所以04002r2002,解得r200 r1综上可知Sr2200r,r（2）因为Sr2200r

200,200 1r10010000

由二次函数的性质可知,

当r100m时,S最大为10000m2

【点睛】本题考查了扇形的弧长与面积公式应用,根据二次函数性质求最值,属于基础题. 18．（2017·上海华师大二附中高一期末）关于的不等式（1）求实数m的值；

（2）若mcos2sin0，求tan2【答案】（1）1；（2）

2xm21x0的解集为1,2.

π的值. 41. 7【分析】（1）由行列式的运算法则，得原不等式即x2mx20，而不等式的解集为1,2，采用比较系数法，即可得到实数m的值；

（2）把m1代入mcos2sin0，求得tan，进一步得到tan2，再由两角差的正切公式即可求解.

【详解】（1）原不等式等价于xmx2xmx20，

2由题意得不等式的解集为1,2，故1,2是方程x2mx20的两个根， 代入解得m1，所以实数m的值为1.

（2）由mcos2sin0，得2sincos0，即tan1. 212tan24， tan21tan21134241π143tan2 41tan2tan141743tan2tan【点睛】本题考查了行列式的运算法则、由一元二次不等式的解集求参数值、二倍角的正切公式以及两角差的正切公式，需熟记公式，属于基础题.

19．（2018·上海市进才中学高一期末）已知a、b、c是锐角ABC中A、B、C的

对边，S是ABC的面积，若a4，b5，S53． （1）求C；

（2）求边长c的长度． 【答案】（1）

；（2）6. 3【分析】（1）利用三角形的面积公式结合C为锐角可求出C的值； （2）利用余弦定理可求出边长c的长度． 【详解】（1）由三角形的面积公式可得SC为锐角，因此，C13absinC10sinC53，得sinC. 223；

22222（2）由余弦定理得cab2abcosC45245136，因此，c6. 2【点睛】本题考查利用三角形的面积公式求角，同时也考查了利用余弦定理求三角形的边长，考查计算能力，属于基础题.

20．（2018·上海市金山中学高一期末）（1）已知是第三象限角，且tan的值．

（2）已知角的终边上有一点P的坐标是3a,4a，其中a0，求2sincos． 【答案】（1）sin式1．

【分析】（1）根据sin2cos21 以及tan（2）根据三角函数的定义即可求解． 【详解】（1）

1，求sin,cos310310，cos（2）当a0时，原式1；当a0时，原

1010

sin1，联立即可求解． cos3sin2cos211922sincos由 的，，又因为是第三象限角， sin11010tancos3所以sin

10310，cos．

1010

4a3a3acos ，，

5a(3a)2(4a)25a（2）由三角函数的定义可知

sin4a(3a)2(4a)2当a0时，sin当a0时，sin43，cos，所以2sincos1； 5543，cos，所以2sincos1 55【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系、三角函数的定义，当含有参数时，需对参数进行讨论，否则得到的答案是片面的．

21．（2018·上海市川沙中学高一期末）已知：角终边上一点Pk,2kk0. 求：（1）tan；

（2）

3sincos2cossin.

【答案】（1）2 ；（2）

5. 4【分析】（1）根据任意角的正切函数的定义，可直接得出结果；

（2）根据诱导公式，将所求式子化简，再由弦化切，结合（1）的结果，即可求出结果. 【详解】（1）由角终边上一点Pk,2kk0，可得tany2k2； xk3sincos3sincos3sincoscos（2） 2cossin2cossin2cossincos3tan1615.

2tan44【点睛】本题主要考查任意角的三角函数，以及三角函数的化简求值问题，熟记任意角的三角函数的定义，以及诱导公式等即可，属于常考题型.

22．（2019·上海市延安中学高一期末）解关于x的方程：sin2x5sinxcosx6cos2x0 【答案】x|xkarctan2或xkarctan3,kZ

【分析】根据方程解出tanx2或tanx3，利用三角函数的定义解出x，再根据终边相同角的表示即可求出.

【详解】由sin2x5sinxcosx6cos2x0，得sinx2cosxsinx3cosx0， 所以tanx2或tanx3，所以xkarctan2或xkarctan3， 所以x的解集为：x|xkarctan2或xkarctan3,kZ.

【点睛】本题考查了三角方程的解法，终边相同角的表示，反三角函数的定义，考查计算能

力，属于基础题.

23．（2018·上海高一期末）某小区规划时，计划在周边建造一片扇形绿地，如图所示已知扇形

绿地的半径为50米，圆心角AOBπ.从绿地的圆弧边界上不同于A，B的一点P处出发铺设两条3π). 3道路PO与PC(均为直线段)，其中PC平行于绿地的边界OB.记POCθ(其中0θ

1当θ4时，求所需铺设的道路长：

2若规划中，绿地边界的OC段也需铺设道路，且道路的铺设费用均为每米100元，当θ变化时，

求铺路所需费用的最大值(精确到1元)．

π【答案】（1）50506m； （2）10774元. 3【分析】（1）在△POC中，运用正弦定理即可得到所求道路长；

（2）在△POC中，运用正弦定理求得PC，OC，由条件可得铺路所需费用为

10031003f10050sinsin，运用两角和差正弦公式和正弦函数

333的值域，可得所求最大值．

【详解】解：1在POC中，θ则PCOπππππ，CPO， 43412π2π， 332OPPC505062PC2ππ，可得由正弦定理可得，

sinsin33342所需铺设的道路长为50506m. 32在

POC中，可得

OPPCOC1003π2πsinθ，0θ， π3sinsinθ333可得PC1003π1003sinθ， sinθ，OC33310031003πfθ10050sinθsinθ则铺路所需费用为

33310000331100003315000sinθ2cosθ2sinθ50002cosθ2sinθ 335000当

100003πsinθ， 33ππππθ，θ，sinθ取得最大值1， 3263则铺路所需费用的最大值为500010000310774元． 3【点睛】本题考查解三角形在实际问题中的应用，考查三角函数的恒等变换，以及正弦函数的最值，考查运算能力，属于中档题．

103πα,πtanαcotα，． 24．（2018·上海高一期末）已知341求tanα的值；

πsinαsinα2化简并求2的值．

sinπαcosα【答案】（1）； （2）131. 2【分析】（1）化余切为正切，求解关于tanα的方程得答案；（2）利用诱导公式变形，化弦为切求解．

【详解】解：1由tanαcotα101100， ，得tanα3tanα33tan2α10tanα30，

解得：tanα3或tanα1． 313πα,π，tanα；

34π1sinαsinα112sinαcosαtanα13． 2sinπαcosαsinαcosαtanα11123【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．

25．（上海高一期末）已知0sin2sin2（1）求的值；

cos2cos2（2）求tan(2,sin4 55)的值. 4【答案】(1)20，（2）

1 7和tan 的值，进而利用二倍角公【分析】（1）先利用同角三角函数的基本关系求得cos 展开，把sin 和cos 的值代入即可． 式把sin2 （2）先利用诱导公式使tantanα的值代入即可求得答案．

54=tan（﹣），再利用正切的两角和公式展开后，把443sin2sin2【详解】(1)由0,sin，得cos，所以 2255coscos2sin22sincos＝20 23cos1（2）∵tan5sin4，∴tan4cos3tan11 1tan7【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值的问题．要求学生能灵活运用三角函数的基本公式．

26．（2017·上海高一期末）如右图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为126nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为83n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求：

(1)A处与D处的距离； (2)灯塔C与D处的距离． 【答案】（1）24；（2）8

【分析】（1）利用已知条件，利用正弦定理求得AD的长． （2）在△ADC中由余弦定理可求得CD，答案可得． 【详解】(1) 在△ABD中，由已知得∠ADB=60°，B=45°

由正弦定理得ADABsinBsinADB126322224

(2) 在△ADC中，由余弦定理得CD2=AD2+AC2﹣2AD•ACcos30°，解得CD=83． 所以A处与D处之间的距离为24nmile，灯塔C与D处之间的距离为83nmile． 【点睛】点睛：解三角形应用题的一般步骤

(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．

(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等. 27．（2020·华东师范大学第三附属中学高一期末）在ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C所对的边，且满足abc，b2asinB. （1）求A的大小；

（2）若a2,b23，求ABC的面积.

【答案】(1) A6 (2) S23 试题分析：（1）先根据正弦定理将边角关系转化为角的关系，再根据三角形内角范围求A的大小；（2）先由余弦定理求c4，再根据三角形面积公式求面积 试题解析：解：（1）∵b2asinB， ∴由正弦定理化简得：sinB2sinAsinB， ∵sinB0，∴sinA∵abc， ∴A为锐角，则A1， 26.

（2）∵a2，b23，cosA3， 23， 2∴由余弦定理得：a2b2c22bccosA，即412c2223c整理得：c26c80，

计算得出：c2（舍去）或c4， 则S111bcsinA23423. 222点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：

第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.

28．（2019·上海市杨浦高级中学高一期末）在ABC中，已知B45，D是BC边上的一点，AD10,AC14,DC6.

（1）求ADC的大小； （2）求AB的长.

【答案】（1）ADC120；（2）AB56. AD2DC2AC2试题分析：（1）在ADC中，由余弦定理得cosADC，最后根据

2ADDCcosADC的值及ADC(0,)，即可得到ADC的值；（2）在ADB中，由正弦定理

得到ABADsinADB，从而代入数据进行运算即可得到AB的长.

sinB试题解析：（1）在ADC中，AD10,AC14,DC6，由余弦定理可得

AD2DC2AC2100361961cosADC

2ADDC21062又因为ADC(0,)，所以ADC120

（2）在ADB中，AD10,B45,ADB18012060 由正弦定理可得

ABAD

sinADBsinB所以ABADsinADB10sin60sinBsin4510223256. 考点：1.正弦定理；2.余弦定理；3.解斜三角形. 29．（上海高一期末）已知锐角满足cos【答案】35，cos，求cos． 51363 65试题分析：首先利用同角间的三角函数关系由cos，cos的值求得sin,sin的值，将所求的角用已知两角,来表示，借助于两角差的余弦公式求解 试题解析：cos51212sin或 131313coscoscoscossinsin

当sin12时， 135312433 13513565coscoscossinsin=当sin12时， 135312463 13513565coscoscossinsin=考点：1．同角间的三角函数关系；2．两角和差的正余弦公式 30．（上海高一期末）

已知函数f(x)2cos2xsin2x4cosx． （Ⅰ）求f()的值；

3（Ⅱ）求f(x)的最大值和最小值． 【答案】（I）79；（II）f(x)取最大值为6，最小值为． 43【解析】（I）f()2cos3239sin24cos1 33344（II）f(x)2(2cos2x1)(1cos2x)4cosx =3cos2x4cosx1

2 =3(cosx)237,xR 3因为cosx[1,1]，

所以，当cosx1时，f(x)取最大值6；当cosx27时，f(x)取最小值 3331．（2020·上海高一期末）设R，函数ysin(3x)的图象与x轴的交点中，任意两个交点之间距离的最小值为________. 【答案】

3

【分析】通过分析可知图象与x轴的交点中距离最小为周期的一半，求出函数的周期即可求出本题的答案.

【详解】解：由函数的解析式可知，由正弦函数的图象进行了左右平移及伸缩变换，得到该函数，

未作上下方向的平移变换，所以图象与x轴的交点中距离最小为周期的一半， 函数的周期为故答案为:

122. ，所以最小距离为3233.

3【点睛】本题考查了正弦型函数图象与性质，属于基础题.

32．（2019·上海市文来中学高一期末）已知函数f(x)Asin(x)(A0,0,0的最大值为2，且图像过点（1，1），相邻两对称轴间的距离为2.

2)（1）求f(x)的解析式. （2）求f(x)的单调增区间. （3）计算f(1)f(2)f(2012)的值.

514k,4kf(x)2sinxkZ；（3）0 【答案】（1）；（2）3332【分析】（1）通过函数fx的最大值为2，求出A，相邻两对称轴间的距离为2，求出函数的周期，得出；图像过点（1，1）以及的范围。求出的值，得出函数解析式. （2）由（1）的解析式，整体代入正弦函数的单调递增区间即可求解. （3）利用（1）求出函数在一个周期内的函数和的值，然后求出f(1)f(2)值即可.

【详解】（1）由题意可得A2，T所以Tf(2012)的

4

24，解得2，

又图像过点（1，1），所以2sin又0解得111，即cos

222

3，

f(x)2sinx所以.

32（2）由2k解得4k22x32k2kZ，

51x4kkZ， 33所以函数f(x)的单调增区间为4k,4kkZ.

3351（3）由（1）f(x)2sinx，

32则f1f2f3f40 故f(1)f(2)f(2012)50300.

【点睛】本题考查了利用三角函数的性质求函数解析式、整体代入法求函数的单调区间、函数周期性的应用，属于基础题.

33．（上海高一期末）已知函数f(x)2sinxcosx3cos2x1,xR． （1）求函数fx的单调递增区间；

（2）若ABC的内角A满足f(A)21，求角A的值． 【答案】（1）5k,k12125(kZ)A；（2）. 24【分析】（1）首先利用三角函数关系式的变换,把函数的关系式变形成正弦型函数,进一步求出函数的单调地增区间；

（2）利用（1）的函数关系式，可得2sin(2A出A的值.

【详解】（1）函数f(x)2sinxcosx3cos2x12sin(2x3)121，结合A的取值范围，即可求

3)1

5kxk,kZ. 令2k2x2k,kZ，解得：2321212∴函数的单调递增区间为：5k,k1212(kZ). （2）ABC的内角满足f(A)21，故2sin(2A∵0＜A＜ ∴2A+∴A)121，即sin(2A)2.

33233 45 24【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．

34．（上海高一期末）已知函数fxsinx和gxcosx的定义域都是D[0,2]．

（1）请在同一平面直角坐标系上画出函数fx和gx的图象，并标出两图象交点的横坐标

的数值：（不要求写作法）

（2）根据图象写出满足条件sinxcosx的x的取值范围.（直接写出答案即可） 【答案】（1）图象见解析；（2）x|【分析】（1）用五点法作图；

（2）根据正弦函数图像比余弦函数图像高或者一样高的部分,写出x的取值范围 【详解】

4x5. 4（1）

（2）x|4x5 4【点睛】本题考查五点法作函数yAsin(x)的图像，属于中档题.

35．（2015·上海曹杨二中高一期末）如图，函数y2sin(x),xR，0图像与y轴交于点(0,1)

的2

（1）求的值；

（2）设P是图像上的最高点，M，N是图像与x轴的交点，求PMPN的值. 【答案】（1）

15；（2）. 64【分析】(1)把点(0,1)代入函数y2sin(x),再由的取值范围求出的值. (2)由(1)知 函数y2sinx据向量的坐标运算可求得其值.

【详解】(1)把点(0,1)代入函数y2sin(x)可得,sin(2)由(1)知 函数y2sinx6,结合图象可得点P,2, M,0,N,0，根

1316561π,又0，所以.

6226,结合图象由2sinx12P得点,2,由6315112sinx0，得M,0,N,0，所以PM,2,PN,2，所以

666221511PMPN22.

422【点睛】本题考查根据函数图像求正弦型函数的解析式，正弦型函数的最值和零点，以及向量的数量积的坐标运算，属于基础题.

36．（2017·上海华师大二附中高一期末）已知函数

fxcos2x3sinxcosx0的最小正周期为π.

（1）求的值和函数fx的值域；

（2）求函数fx的单调递增区间及其图像的对称轴方程.

【答案】（1）1，值域为,；（2）单调递增区间为kπ,kπkZ，对

3622称轴方程为x13ππkππkZ. 26【分析】（1）利用二倍角公式降幂，然后化为yAsinxb的形式，由周期公式求出，同时求得值域；

（2）直接利用复合函数的单调性求得增区间，再由2x62kkZ求得对称轴方程.

【详解】（1）fxcos2x3sinxcosx1cos2x3sin2x 221sin2x，

62由T2，得1， 21fxsin2x，

62则函数fx的值域为,；

22（2）由2k解得132x2kkZ， 2623kx6k,kZ，

ππ函数fx的单调递增区间为kπ,kπkZ，

36令2x62kkZ，解得x6kkZ， 2函数fx的对称轴方程为x6kkZ. 2【点睛】本题考查了二倍角公式以及三角函数的图像与性质，掌握正弦函数的性质才是解题的关键，考查了基本知识，属于基础题.

37．（2018·上海市进才中学高一期末）已知函数fxsinxcosxcosx．

2（1）求函数fx的最小正周期； （2）求函数fx的单调递增区间． 【答案】（1）；（2）3k,kkZ.

8821sin2x，利用周期公式可计242【分析】（1）利用三角恒等变换思想得出fx算出函数yfx的最小正周期； （2）解不等式区间. 【详解】（1）

22k2x422kkZ，即可得出函数yfx的单调递增

11cos2x11121 fxsin2xsin2xcos2xsin2x，

222222422； 2所以，函数yfx的最小正周期为T（2）令22k2x422kkZ，可得3kxkkZ， 883k,kkZ. yfx因此，函数的单调递增区间为88【点睛】本题考查正弦型函数周期和单调区间的求解，解题的关键在于利用三角函数解析式化简，考查计算能力，属于中等题.

38．（2018·上海华师大二附中高一期末）已知函数

13fx3sin2xcos2xxR.

24（1）求函数fx在区间0,



上的最大值； 2

BC1（2）在ABC中，若AB，且fAfB，求的值.

AB2【答案】（1）1；（2）2. 【分析】（1）先将函数化简整理，得到fxsin2xπx0,，得到，根据322x2,，根据正弦函数的性质，即可得出结果； 333（2）令fxsin2x152x2k2x2k,kZ，根据，得到或323636fAfB可得出结果.

17，0AB，得出A，B，求出C，根据正定理，即

4126222cosx12132sinx1【详解】（1）4 fx3sin2xcos2x32224cos2x23cos2x1sin2x3cos2xsin2x 2222332,1； 因为x0,，所以2x,，因此sin2x322333故函数fx在区间0,上的最大值1； 2（2）因为fAfB所以2x11，由（1），令fxsin2x，

322352k,kZ， 6362k或2x解得：x4k或x7k,kZ， 12因为0AB，所以A因此CBA4，B7， 127， 12462BCsinA由正弦定理可得：22. 1ABsinC2【点睛】本题主要考查求正弦型复合函数在给定区间的最值，以及正弦定理的应用，熟记正弦函数的性质，以及正弦定理即可，属于常考题型.

39．（2019·上海市川沙中学高一期末）已知函数f(x)3sin2xcos2x. （1）求yfx的单调递增区间；

x,时，求fx的最大值和最小值. （2）当63【答案】（1）k3,k(kZ)；（2）f(x)的最大值为2，最小值为-1 6【分析】（1）利用辅助角公式得：fx2sin2x6，将2x放入sinx的单调递增6区间中，求出x的范围即可；（2）根据x的范围得2x最值.

【详解】（1）fx3sin2xcos2x2sin2x由2x的范围，结合sinx的图象可求得6 62k,2kkZ得：xk,kkZ 62236fx的单调增区间为k,kkZ

36（2）当x5,时，2x,

66663当2x当2x62时，fxmax2sin22

π6π时，fxmin2sin1 66fx的最大值为2，最小值为1

【点睛】本题考查yAsinωxφ的单调区间的求解、函数值域的求解问题，关键是能够通过整体对应的方式，通过分析sinx的图象求得结果. 40．（2018·上海高一期末）已知ycosx.

1若f1，且0,，求3f的值；

32求函数yf2x2fx的最小值.

【答案】（1）

316；（2）. 263【分析】1根据两角和差的余弦公式进行计算即可

2利用一元二次函数的性质利用配方法进行转化求解即可．

【详解】1若f则cos1，且0,， 311822，则sin1()2， 3393则f1122316． coscoscossinsin3333323263123)， 222函数yf2x2fxcos2x2cosx2cos2x2cosx12(cosx1cosx1，

13时，函数取得最小值，最小值为． 22当cosx【点睛】本题主要考查三角函数值的计算，利用两角和差的余弦公式以及转化一元二次函数求最值是解决本题的关键．

41．（2020·上海市控江中学期末）已知向量e11,2与e24,2是平面上的一组基向量. （1）设向量v1,4，试用向量e1与e2表示v；

（2）设t是实数，向量b6,t，设b与e1的夹角为，b与e2的夹角为.若，求t的值.

【答案】（1）v3e1e2；（2）t6.

【分析】（1）设ve1e2，根据平面向量的坐标运算建立和的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出结果；

（2）由coscos结合平面向量夹角余弦值的坐标运算可得出关于t的等式，即可解出实数t的值.

413【详解】（1）设ve1e2，则1,44,22，即，解得，

2241因此，v3e1e2； （2）根据题意，cosbe1be12t65t362，cosbe2be22t2425t362，

，62t5t2362t2425t236，可得2t6t12，解得t6.

【点睛】本题考查平面向量坐标的线性运算，同时也考查了利用平面向量的夹角相等求参数，考查运算求解能力，属于基础题.

42．（2020·上海期末）已知向量1,1,0,1. （1）若向量(t)(t)，求实数t的值；

（2）若向量cx,y满足cy(1x)，求|c|的值. 【答案】（1）t1或t1；（2）|c|2. 【分析】（1）求出向量t和向量t的坐标，根据向量共线的坐标表示求t的值. （2）由向量相等求出x,y的值，根据|c|【详解】（1）

x2y2求值即可.

1,1,0,1，

tt,1t，t1,t1. (t)(t)，tt111t0，

解得t1或t1. （2）

cy(1x)，

x,yy,y1x，

即xyx1，解得.

yy1xy1|c|x2y22. 【点睛】本题考查向量共线定理的坐标表示和向量相等，用到方程的思想，属于基础题. 43．（2020·上海期末）已知向量a3ij，b2ij，其中i,j是互相垂直的单位向量. (1) 求向量a在向量b方向上的投影；

(2) 设向量mab,nab，若mn，求实数的值. 【答案】（1）5；（2）0

【分析】（1）根据题中条件，结合向量投影的概念，即可得出结果；

（2）根据mn，得到abab0，得出aababb0，进而求解，即可得出结果.

【详解】（1）因为a3ij,b2ij，i,j是互相垂直的单位向量， 所以ab3ij222ij615，

2a3ij=3ij=91=10，b2ij2ijabb2415，

所以向量a在向量b方向上的投影为acosa,b（2）因为mab,nab，mn，

55； 5则abab0，即aababb0， 即105550，解得0.

【点睛】本题主要考查求向量的投影，以及由向量垂直求参数，熟记向量数量积的运算法则即可，属于常考题型.

44．（2019·上海市嘉定区第二中学期末）在直角坐标系中已知A(4,O)、B(0,2)、C(-1,0)、

22D(0,-2),点E在线段AB(不含端点)上,点F在线段CD上,E、O、F三点共线.

(1)若F为线段CD的中点,证明:OEAB；

(2)“若F为线段CD的中点,则OEAB”的逆命题是否成立?说明理由；

DFFC、R，(3)设AEEB，,求的值．

【答案】（1）见详解

（2）“若F为线段CD的中点,则OEAB”逆命题成立； （3）4

【分析】（1）由条件求得OFAB220，可得OFAB，再由OF OE可得OEAB；

（2）小题（1）的逆命题成立，设F(x,y)由OEAB得OFAB再得y2x，由C,F,D共线可得y2x2，解方程组y2x，求得F的坐标，可得F为线段CD的中点.

y2x2（3）设E(m,n)，由定比分点坐标公式可得m,n，设F(x,y)，由定比分点坐标公式可得x,y，再根据E,O,F三点共线，可得OEOF，xnym ，化简可得的值. 【详解】（1）

若F为线段CD的中点，则F(,1)，

121OF(,1)，AB(4,2)

2OFAB220

OFAB 又

OFOE

 OEAB.

故OEAB

（2）小题（1）的逆命题成立，设F(x,y)，由OEAB，E,O,F三点共线，可得OFAB，所以OFAB4x2y0，

y2x，

由C,F,D共线，CF(x1,y)，CD(1,2)，

所以

x1y，即y2x2 121y2x1x解方程组 ，求得2 ，可得F(,1)

2y2x2y1故F为线段CD的中点 （3）

AEEB ，设E(m,n)，由定比分点坐标公式可得

m404022，n

1111DFFC、R， 设F(x,y)，由定比分点坐标公式可得

x

0(1)202，y

1111E,O,F三点共线，可得OEOF，

即xnym

224，化简可得4 1111【点睛】本题主要考查向量共线的坐标表示、线段的定比分点坐标公式、向量数量积的坐标表示，属于基础题.

45．（2019·上海市嘉定区第二中学期末）已知a、b是两个不平行的向量,

acos，sin，bcos，sin.

(1)求证:abab； (2)若3，，，a•b，求sin的值

445444 5【答案】（1）见详解（2）【分析】（1）求出ab1，再由向量数量积的性质，向量垂直的条件即可得证. （2）运用向量数量积的坐标表示和两角和差公式即可得到所求值. 【详解】（1）

acos，sin，bcos，sin

ab1，

ababab110

22abab，结论即可得证.

（2）

a•b3， 53coscossinsincos()

5，，，

444,0 42由cos(3) 4594sin1

42554sin综上所述， 45【点睛】本题主要考查向量数量积的性质、两角和差公式以及同角三角函数的基本关系，属于基础题.

46．（2019·上海市嘉定区第二中学期末）如图,矩形ABCD中，E为边BC的中点，F为

AD4，边CD的中点,AB2，设ABa，ADb.

(1)试用a和b表示两个向量AE、 AF；(2)求两个向量AE、AF的夹角的大小(用反三角函数值表示). 【答案】（1）AEa11b ；AFba 22（2）arccos534 34【分析】（1）E,F分别是BC、CD的中点，DF再由向量加法的三角形法则即可求解.

1111DCAB，BEBCAD，2222（2）求出AEAF10，AE22，AF17，根据向量的数量积求夹角cosAEAFAEAF即可求解.

【详解】

（1）

E,F分别是BC、CD的中点，

DFBE11DCAB， 2211BCAD 2211ADab 22AEABBEABAFADDFAD1211ABba 221a 2综上所述，AEab，AFb（2）

a2,b4，ab0

1AEab21AFba2121aabb401622 442bab2121a160417 4411125111AEAFabbaaabb41610

2224222设AE、AF的夹角为 则cosAEAFAEAF10534 342217则arccos534 34534 34综上所述，AE、AF的夹角为arccos【点睛】本题主要考查向量加法的三角形法则、利用向量的数量积求向量的夹角，属于基础题.

47．（2018·上海市民办扬波中学期末）已知|a|2，b3，且(2a3b)(ab)2. （1）求ab的值；

（2）求a与b所成角的大小. 【答案】（1）ab3；（2）5. 6【分析】（1）由(2a3b)(ab)2即|a|2，|b|3，利用向量的数量积的运算律，计算可得。

（2）由夹角公式cosabab计算出夹角的余弦值，即可求出夹角。

【详解】解：（1）

22a3bab2

22a2ab3ab3b2 |a|2，|b|3 ab3

（2）由（1）知ab3，|a|2，|b|3 cosabab33

2230,

5 6【点睛】本题考查向量的数量积的运算律，特殊角的三角函数值及夹角公式，属于基础题。 48．（2019·上海市控江中学期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为(1,0)，点B的坐标为(1,0)，动点P(x,y)满足

|PA|2． |PB|（1）若P在线段AB上，求P的坐标．

（2）证明P总落在一个定圆上，并给出该定圆的方程． 【答案】（1）P,0；

13516（2）证明见解析；xy2； 39【分析】（1）根据定比分点坐标公式即可求解。

（2）设P(x,y)，由两点间的距离公式直接列方程即可求解。 【详解】（1）由题意，得AP2PB，由定比分点公式，得x2xAxB1211，

11231y0P类似，，∴,0．

3（2）设P(x,y)，由|PA|2|PB|可得(x1)2y22(x1)2y2，

245516两边平方，并化简得xy2，∴P落在以,0为圆心，半径为的圆上． 3339【点睛】本题考查定比分点公式以及直接法求轨迹方程，属于中档题。

49．（2019·上海期末）已知平行四边形ABCD中，A45，AD2，AB2，F是

BC边上的点，且BF2FC，若AF与BD交于E点，建立如图所示的直角坐标系.

（1）求F点的坐标； （2）求AFEC.

8262【答案】（1）F(,)；（2）.

3315【分析】（1）根据题意写出各点坐标，利用BF2FC求得点F的坐标。 （2）根据BE2BD求得点E的坐标，再计算AF、EC，求出数量积。 5【详解】

建立如图所示的坐标系，

则O(0,0)，B(2,0)，C(3,1)，D(1,1)，BC(1,1) 由BF2FC，所以BF2BC， 3设F(x,y)，则BF(x2,y),

8222所以(x2,y)(,)，解得x，y

3333

82所以F(,)

33（2）根据题意可知EBFEDO，所以BEBD(,), 82337355252255所以E(,)，从而AF(,)，EC(,)

8253872362AFEC。

353515【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算以及数量积，属于基础题。

b3，2a3b2ab61，50．（2019·上海市吴淞中学期末）(1)已知a4，求a与b的

夹角；

5，OB31，，3，(2)设OA2，在OC上是否存在点M,使MAMB，若存在，求出点OC6，M的坐标；若不存在,请说明理由.

【答案】(1)22211；(2) M(2,1)或M(,) 3551，计算得到答案. 2【分析】(1)将等式展开得到cos(2) 设M(6,3)，利用MAMB0解得答案.

【详解】(1) 2a3b2ab4a4ab3b6448cos2761

2212cos

23(2)假设存在，设M(6,3)

MAMBMAMB(26,53)(36,13)0

即(26)(36)(53)(13)0，解得故M坐标为：M(2,1)或M(111或 3152211,) 55【点睛】本题考查了向量的计算，意在考查学生的计算能力.