2021学年八年级下册数学专题1.3 勾股定理章末重难点题型(举一反三)(沪科版)(原卷版)

【沪科版】

【考点1 利用勾股定理求面积】

【方法点拨】解决此类问题要善于将面积中的平方式子与勾股定理中的平方式子建立联系.

【例1】（2019春•鄂城区期中）在RtAED中，E90，AE3，ED4，以AD为边在AED的外侧作正方形ABCD，则正方形ABCD的面积是( ) A．5

B．25

C．7

D．10

【变式1-1】（2019春•宾阳县期中）如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，其中最大正方形E的边长为10，则四个正方形A，B，C，D的面积之和为( )

A．24

B．56

C．121

D．100

【变式1-2】（2019春•武昌区校级期中）如图，RtABC中，ACB90，以AC、BC为直径作半圆S1和S2，且S1S22，则AB的长为( )

1

A．16

B．8

C．4

D．2

【变式1-3】（2019春•兰山区期中）如图，其中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形．若S1，S2，S3，S4和S分别代表相应的正方形的面积，且S14，S29，S38，S410，则S等于( )

A．25

B．31

C．32

D．40

【考点2 判断直角三角形】

【方法点拨】如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.

【例2】（2019春•芜湖期中）在以线段a，b，c的长三边的三角形中，不能构成直角三角形的是( ) A．a4，b5，c6 C．a2，b3，c5 B．a:b:c5:12:13 D．a4，b5，c3

【变式2-1】（2018春•淮南期中）a、b、c为ABC三边，不是直角三角形的是( ) A．A:B:C3:4:5 C．a2c2b2

B．a53，b1，c 44D．a8k，b17k，c15k

【变式2-2】（2018秋•金牛区校级期中）下列说法中，正确的有( ) ①如果ABC0，那么ABC是直角三角形； ②如果A:B:C5:12:13，则ABC是直角三角形； ③如果三角形三边之比为7:10:17，则ABC为直角三角形；

④如果三角形三边长分别是n24、4n、n24(n2)，则ABC是直角三角形； A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

【变式2-3】（2019春•寿光市期中）如图：在一个边长为1的小正方形组成的方格稿纸上，有A、B、C、

D、E、F、七个点，则在下列任选三个点的方案中可以构成直角三角形的是( )

2

A．点A、点B、点C

B．点A、点D、点G

C．点B、点E、点FD．点B、点G、点E 【考点3 利用勾股定理求最短路径】

【方法点拨】解决此类问题需先将立体图形进行展开，在平面上利用两点之间线段最短作图，利用勾股 定理即可求解.

【例3】（2018秋•福田区校级期中）如图，一圆柱高BC为20cm，底面周长是10cm，一只蚂蚁从点A爬3到点P处吃食，且PCBC，则最短路线长为( )

5

A．20cm

B．13cm

C．14cm

D．18cm

【变式3-1】（2018秋•沙坪坝区校级月考）如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为( )

A．15 dm

B．17 dm

C．20 dm

D．25 dm

【变式3-2】（2018春•凉州区期末）如图，长方体的底面边长为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B，那么所用细线最短需要( )

3

A．12cm

B．11cm

C．10cm

D．9cm

【变式3-3】（2019秋•松滋市期末）如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖A处的最短距离是( )

A．73厘米

B．10厘米

C．82厘米

D．8厘米

【考点4 勾股数相关问题】 【方法点拨】勾股数的求法：

（1）如果a为1个大于1的奇数，b，c是两个连续的自然数，且有a²=b+c，则a,b,c为一组勾股数； （2）如果a,b,c为一组勾股数，那么na，nb，nc也是一组勾股数，其中n为自然数. 【例4】（2018秋•新密市校级期中）下列各组数据是勾股数的有 组．（填写数量即可）

（1）6，8，10 （2）1.5，2，2.5 （3）32，42，52（4）7，24，25 （5）3，4，5 【变式4-1】（2019春•闽侯县期中）勾股定理a2b2c2本身就是一个关于a，b，c的方程，显然这个方程有无数解，满足该方程的正整数(a，b，c)通常叫做勾股数．如果三角形最长边c2n22n1，其中一短边a2n1，另一短边为b，如果a，b，c是勾股数，则b （用含n的代数式表示，其中n为正整数）

【变式4-2】（2018春•襄城区期中）观察下列各组勾股数，并寻找规律： ①4，3，5； ②6，8，10； ③8，15，17； ④10，24，26 请根据你发现的规律写出第⑦组勾股数： ．

【变式4-3】（2019春•永城市期中）探索勾股数的规律：

321521观察下列各组数：(3，4，5)，(5，12，13)，(7，24，25)，(9，40，41)可发现，4，12，

22

4

72124请写出第5个数组： ．

2【考点5 利用勾股定理求长度】

【例5】（2018春•港南区期中）如图，在ABC中，ACB90，CDAB于点D，AC3cm，BC4cm，求AD，CD的长．

【变式5-1】（2018秋•滨湖区期中）在等腰ABC中，已知ABAC，BDAC于D． （1）若A48，求CBD的度数； （2）若BC15，BD12，求AB的长．

【变式5-2】（2018春•兴义市期中）如图，在ABD中，D90，C是BD上一点，已知BC9，AB17，

AC10，求AD的长．

5

【变式5-3】（2018秋•东明县期中）如图，在RtABC中，ABC90，AB16cm，正方形BCEF的面积为144cm2，BDAC于点D，求BD的长．

【考点6 利用勾股定理作图】

【例6】（2018秋•越城区期中）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位． （1）请你在图1中画一个以格点为顶点，面积为6个平方单位的等腰三角形； （2）请你在图2中画一条以格点为端点，长度为5的线段； （3）请你在图3中画一个以格点为顶点，5为直角边的直角三角形．

【变式6-1】（2018春•安庆期中）在下面的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，正方形的顶点称为格点，请在图中以格点为顶点，画出一个周长为25210的ABC，并求它的面积．

【变式6-2】（2018春•石家庄期中）正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格

6

点，以格点为顶点，

（1）在图①中，画一个面积为10的正方形；

（2）在图②、图③中，分别画两个不全等的直角三角形，使它们的三边长都是无理数．

【变式6-3】（2018秋•高新区期中）如图，每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，分别按下列要求画三角形：

（1）在图①中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；

（2）在图②中，画一个三边长分别为3，22，5的三角形，一共可画这样的三角形 个．

【考点7 勾股定理的证明】

【方法点拨】勾股定理又称为毕达哥拉斯定理，通常利用面积来证明.

7

【例7】（2019春•洛阳期中）下列两图均由四个全等的直角三角形拼接而成，且它们的两条直角边分别为

a，b，斜边为c，ab．请选择一个你喜欢的图形，利用等面积法验证勾股定理．你选择的是 图，写

出你的验证过程．

【变式7-1】（2018秋•兴化市期中）我们刚刚学习的勾股定理是一个基本的平面几何定理，也是数学中最重要的定理之一．勾股定理其实有很多种证明方法．下图是1876年美国总统伽菲尔德(Garfield)证明勾股定理所用的图形：以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，把这两个直角三角形拼成如图所示梯形形状，使C、B、D三点在一条直线上． （1）求证：ABE90；

（2）请你利用这个图形证明勾股定理（即证明：a2b2c2)．

【变式7-2】（2018秋•东台市期中）如图，将RtABC绕其锐角顶点A旋转90得到RtADE，连接BE，延长DE、BC相交于点F，则有BFE90，且四边形ACFD是一个正方形．

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（1）判断ABE的形状，并证明你的结论； （2）用含b代数式表示四边形ABFE的面积； （3）求证：a2b2c2．

【变式7-3】（2019春•东光县期中）ADE和ACB是两直角边为a，b，斜边为c的全等的直角三角形，按如图所示摆放，其中DAB90，求证：a2b2c2．

【考点8 勾股定理逆定理的应用】

【方法点拨】如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.

【例8】（2018春•宾阳县期中）如图，已知在四边形ABCD中，AB20cm，BC15cm，CD7cm，AD24cm，ABC90．

（1）连结AC，求AC的长； （2）求ADC的度数； （3）求出四边形ABCD的面积

9

【变式8-1】（2019春•长白县期中）如图，在四边形ABCD中，已知AB12，BC9，ABC90，且CD39，DA36．求四边形ABCD的面积．

【变式8-2】（2018春•丰台区期中）如图，在四边形ABCD中，ABC90，AB3，BC4，DC12，

AD13，求四边形ABCD的面积．

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【变式8-3】（2019春•鄂城区期中）如图，四边形ABCD中，ABBCCDAD4， 且CEDABBCD90，E、F分别是BC和CD边上的点，是什么三角形？请说明理由．

1问AEFBC，F为CD的中点，

4

【考点9 勾股定理的实际应用】

【方法点拨】将实际问题转化为直角三角形，利用勾股定理求解即可.

【例9】（2019春•东湖区校级期末）数学综合实验课上，同学们在测量学校旗杆的高度时发现：将旗杆顶端升旗用的绳子垂到地面还多2米；当把绳子的下端拉开8米后，下端刚好接触地面，如图，根据以上数据，同学们准确求出了旗杆的高度，你知道他们是如何计算出来的吗？

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【变式9-1】（2019春•内黄县期末）如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）

【变式9-2】（2019春•道里区期末）某地区为了开发农业，决定在公路上相距25km的A、B两站之间E点修建一个土特产加工基地，使E点到C、D两村的距离相等，如图，DAAB于点A，CBAB于点B，DA15km，CB10km，求土特产加工基地E应建在距离A站多少km的地方？

【变式9-3】（2019春•商南县期末）勾股定理是几何学中的明珠，它充满魅力，在现实世界中有着广泛的应用．请你尝试应用勾股定理解决下列问题：一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B向外移了多少米？（注意：3.151.77)

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【考点10 利用勾股定理解折叠问题】

【例10】（2019春•番禺区期末）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC6cm，BC8cm，将纸片沿AD折叠，直角边AC恰好落在斜边上，且与AE重合，求BDE的面积．

【变式10-1】（2018秋•建邺区期末）如图，把长为12cm的纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B、C两点恰好落在AD边的P点处，且FPH90，BF3cm，求FH的长．

【变式10-2】（2019秋•杭州期中）如图，把长方形ABCD沿AC折叠，AD落在AD处，AD交BC于点E，已知AB2cm，BC4cm．（长方形的对边相等，四个角都为直角） （1）求证：AEEC； （2）求EC的长；

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（3）求重叠部分的面积．

【变式10-3】（2018春•杜尔伯特县期中）如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN． （1）求线段CN长．

（2）连接FN，并求FN的长．

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