数学教学研究 任立新 求三角函数最值及值域常用的策略 求三角函数最值及值域常用的策略 任立新 （山西平遥职业中学山西省０３１ １ｏｏ） 摘要 三角函数的最值问题是三角函数中重要的一个知识点，题型较多、方法较碎，是同学们学习的一 个难点，由于题型灵活，容易考查思维能力，因而也是高考中热点题型，现对三角函数最值的求法中常见的策 略加以归类，常用方法加以总结，以达快速正确求解。 关键词 三角函数常用策略最值问题 一、利用三角函数的有界性求最值 １．形如ｙ＝ａｓｉｎｘ＋ｂｃｏｓｘ＋ｃ型，引入辅助角公式化为 ４ａ＋ｂ０妇妇 巾 再求值域。 例１．求函数 坟ｘ）： 咖ｘ斗ｃｏｓＯ ）的值域 解：ｆ（ｘ￣２ｓｉｎ 三ｃｏｓｘ一塑§ｉｎｘ＝《２一塑）ｓｉｎ藏 ｃｏｓｘ 扛 。＋ ｚ ｓｉｎ（ｘ＋ ，故 孽【一蕊 ２．形如ｙ＝ａｓｉｎ ｘ＋ｂｓｉｎｘｃｏｓｘ＋ｃｃｏｓ Ｘ型，通过降幂转化为 Ａｓ ｉｎｘ＋Ｂｃｏｓｘ，再求值域。 例２．ｇｘ）＝２√３ ａｓｍｘ ｃｏｓｘ，２ａｓｍ｛ｘ＋ｉ￡ｌａ＞ｏ，的值域 解：ｆｉｘ）＝ ａｓ讯２鬻鹄Ｉｃｏｓ２整嘲＋ｌ＝：２獭 臻（２ｘ÷ ）罐母ｌ ・．。ａ＞０，ｓｉｎ（２ｘ ）一 １・．．ｆ（ｘ）∈［一３ａ一１，ａ＋１］。 二、用换元法化为二次函数求值域 １．形如ｙ＝ｓｉｎ ｘ＋ｂｓｉｎｘ＋ｃ型，令ｓｉｎｘ＝ｔ转化为二次函数再求 值域。 例３．ｋ＜一４，求ｙ－ｃｏｓ。ｘ＋ｋ（ＣＯＳＸ一１）的值域 解：ｙ＝２ｃｏｓ ｘ—ｌ＋ｋｃｏｓｘ—ｋ ｙ＝２ｃｏｓ ｘ＋ｋｅｏｓｘ—ｋ—ｌ，设 ｔ＝ｃｏＳＸ，ｔＥ一 ’ ￣ｌＪｙ＝２ｔ＋ｚ 。 ｋｔ－ｋ １一，对称轴 三， ，对称轴 Ｘ＝－ ，￣＝ Ｊａｋ＜－４，则一冬》则一 》 故 １，故 当ｔ＝ｌ时，Ｙｍｉｎ＝ｌ，当ｔ＝一１时，ｙｍａｘ＝ｌ－－２ｋ，即Ｙ∈［１，卜２ｋ］ ２．形如Ｙ：ａ ｓ ｉ ｎｘ・ｃｏ ｓ ｘ＋ｂ（Ｓ ｉ ｎｘ±ＣＯ Ｓ Ｘ）＋Ｃ型，令 ｓｉｎｘ±ＣＯＳＸ＝ｔ 一一 转化为二次函数在卜√２，√２】上的值域问题。 例４．求函数ｙ＝ｓｉｎｘ・ｃｏｓｘ＋ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ的值域 解：令ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＝ｔ，ｔ８『－，／２，４２］， 则ｓｉｎｘｃｏ ２ ２ ＋ｔ： （２ ｔ＋ｌ阳 １ ￣ｔ＝－－Ｉ时，ｙｍｉ ＝一１，当ｔ＝√ 时，ｙ删 √２＋吉， 即ｙ∈ １： ３。 三、考察结构特征，用分离常数法求值域 形如 口ＣｏＳＸ十！荨 型，可用分离常数法转化为 ａａ ÷旦型，’． 再求值域． 例５．求函数ｙ＝ 的值域。 解：一 解： Ｙ ＝１＋——２ｃｏｓｘ－Ｉ２—－－１＜ｃ０ｓｘ≤１且Ｃｏｓｘ￣ｌ— ‘・・．。。１≤ｃｏｓｘ≤１且２，， ・ ・ ≤一；或 ／ｉ ≥。，故 最（一∞，争ｕ［３，＋ｏ。）ｉ 四、反函数思想求值域 形如ｙ＝型，也可用反函数思想转化为ｆ（Ｙ）ｓｉｎ（ｘ＋ ）＝ｇ（ｙ） ６２ ２０１２ 求值 求ｙ＝—ａＣＯＳ—Ｘ＋ｂ的值域．。 解． 詈，得２ｙｓｉ ３ｙ：３ｃｏｓｘ－２ ２ｙｓｉｎｘ一３ＣＯＳＸ＝３ｙ一２， ㈣ 丽３ｙ－２， 由１ ｓｉｎ（ｘ川｛≤１得 丽３ｙ－２ ［ ６＋＆Ｓｊ ，、五、化为一元二次方程用判别式求值域 ｄｃｏｓｘ＋ｂ 形如Ｙ —＿—— 型，也可用判别式求值域 Ｓｍ ＋ 例７・求函数ｙ： ２＋ｉｃＯＳＸ的值域 ． ２ｓｍ ｃｏｓ兰 ２ｔａｎ兰 ｓｉｎ ， ＇ ９ 解：—２＋ｃ—ｏｓｘ 蕃２ ２ —３＋ｔａｎ—￣＿ｘ２，设ｔ１＿ａｎ詈 由 一则２ｔ 一ｊ由Ａ＝４ １２ｙ ２＞￣０＝笔翼 嚣 吼半曼ｙｓ半，故ｙｇ￡ ， ３ 六、根据代数函数 单调性求值域 形如 ＝ａｓ汹 三，令ｓｉｎｔ：ｘ，根据函数ｙ＝ａｘ＋鱼的单调性求 值域。 。 “ 例８．０∈（０，了【），则函数ｙ锄０十— 的值域为—Ｓｉｌｌ ． —。 分析：设ｘ：ｓｉｎ ０，则ｘ∈（Ｏ，１］，即ｙ＝ｘ十兰，ｘ∈（Ｏ，１］，由 图象得，当ｘ＝ｌ时， ｉ ＝３，故ｙ∈（０，３］。 七、利用数形结合转化为直线的斜率求最值 形如 型，常常利用几何意义，视为过定点（ａ，ｂ） 与单位圆上的点（ＣＯＳＸ，ｓｉｎｘ）的斜率来解决。 例９．设ｘ∈（ｏ， ，则函数ｙ＝２ Ｓｉｎ２ ｘ：＋ｌ的最大值为——。 解：设 ． 苎， ！垫塾＝ｋ ，取点Ａ（２，ｏ），点 Ｂ（ｃｏＳ。ｘ，一ｓｉｎ２ｘ）在圆ｘ。 ｙ。＝ｌ的下半部，由其几何意义，得 ｋｍａｘ：ｔａｎ３０。： 。 八、利用导数求三角函数的最值 例 。．已知ｘ∈ ］，求函数ｙ： ２０－１０ｓｉｎｘ的最小值。 ０Ｏ，ｌＸ 解：‘．。 ． 皇 ｃｏｒｔｘ 陈明雷 小学数学中学习习惯的培养 数学教学研究 小学数学中学习习惯的培养 陈明雷 （临漳县香菜营乡小学河北省０５６６００） 摘要 作为小学数学教师，对学生不仅要“教”，而且要“导”，不仅要教数学知识，而且要教如何学 数学知识。 关键词 审题倾听检查 ＾《小学数学教学大纲》中明确指出： “在小学，使学生学 有表达是不够的，如何倾听别人的意见一种良好的学习习惯， 好数学，培养起学习兴趣，养成良好的学习习惯，对于提高全 学生在课堂上能认真倾听——倾听老师的讲课、倾听同学的发 民族的素质，培养有理想、有道德、有文化、有纪律的社会主 言，才能积极有效的参与教学活动过程，开启思维的火花，获 义公民，具有十分重要的意义。”多年的教学实践使我们深刻 取知识，培养能力，才能保证课堂活动有效地进行。因此，在 体会到，良好的学习习惯，是学习知识、培养能力、发展智力 教学中要明确目标，要求学生一定要认真听其他同学的回答， 的重要条件。学习习惯不仅直接影响学生当前的学习，而且对 并在教学中仔细观察，及时对认真听的学生进行鼓励、表扬， 今后的学习乃至工作都会产生重大影响。因此，培养学生良好 加以强化，而对于不认真倾听的学生及时给与纠正，必要时还 的学习习惯是教师的一项重要任务。作为小学数学教师，对学 给与适当的惩罚。这样，学生学会了倾听，学习也主动了。学 生不仅要“教”，而且要“导”，不仅要教数学知识，而且要 生在课堂上能认真倾听，倾听老师的讲解，倾听同学的发言， 教如何学数学知识。下面就谈谈在教学基础知识的同时，如何 在听的过程中更能积极主动的参与教学活动。总之，培养学生 教给学生科学的学习方法，培养学生良好的学习习惯。 的倾听能力，使学生养成良好的倾听习惯会对自己的人生产生 一、培养学生认真审题的习惯 不可估量的作用，会对人的全面素养的提高起到巨大的推动作 用。学会倾听，也就学会了尊重别人，学会了真诚处事，学会 在小学数学教学中，数算占了相当大的比重。而运 了关心，也学会了与他人合作。 算的准确性很大程度上取决于身体的正确与否。在作业与考试 中，我发现许多学生做错题目的原因不是不会做，而是没有看 三、培养学生认真的完成作业和自觉检查的习惯 清题目要求，如在计算中有的是把运算符号看错：在文字中由 在学生的作业中最能反映出学生的学习态度和学习习惯。 于数量关系复杂，不仅层次多，而且一些表达运算顺序的名词 我认为良好的作业习惯应该包括：态度认真、及时检查验算、 术语往往容易混淆和被忽视，致使学生造成解题差错：在应用 书写工整、完成、富有创见等 学生解决问题的能力高低 题中由于数量关系没有仔细分析，造成数量关系混淆，列式错 不仅仅是体现在对问题的分析与解答，还体现在对解答过程 误。因此，在小学数学教学中，很有必要对学生审题能力的培 的反思和检验。由于学生缺乏良好的检验习惯，经常事后后 养。所以，我在学生解答应用题时，首先要让学生仔细读题， 悔，我们习惯把这种现象称为马虎，其实是学生能力素养培养 初步了解题意。读题是了解题目内容的第一步，也是培养审题 缺失的体现，而在实际教学中往往忽略这方面的训练与培养。 能力的开始。然后仔细推敲字、词、句，准确理解题意，在这 所以，在平时的作业中，对应于一些字迹潦草的学生先进行提 个基础上再列出算式计算；还有，在作一些计算题目时，我要 醒，如果不改的话，只能进行适当的惩罚。不要过于相信学生 求学生不要马上就进行死算，而是想一想可不可以用简便算 的检验能力，每个问题的检验方法往往是有多种。解方程、脱 法，这样，既提高了做题的速度，又提高了计算的准确性。通 式计算、填空等的检验都要经常带领学生进行回顾，针对实际 过审题训练，可以养成认真严谨的习惯，引导学生灵活的选择 情况进行选择合适的方法进行检验。如对应用题的检验学生是 正确合理的计算方法，提高做题的质量与速度。所以，培养学 非常困难，然而检验时不可缺少的一环。要通过教学，使学生 生养成良好的审题习惯是非常重要的。 掌握检验应用题的方法，逐步养成“自觉检验的好习惯”。让 二、培养学生认真倾听的好习惯 学生掌握的检验方法是使学生养成自觉检验习惯的首要条件。 所以，结合教学内容，教给学生检验的方法是非常重要的。其 课程改革实施以来，我们惊喜的发现，孩子们变得活泼 次，教师在日常教学中，要把检验作为学生解答问题的必要步 了，胆子大了，课堂变得活跃了，学生都敢于提问，敢于发表 骤长期坚持下去，这样，学生受到潜移默化的影响，逐步养成 自己的意见和看法。但是，我们却常常看到这样的镜头： 剞劂检验的良好学习习惯。这不仅可以培养学生认真的学习态 当一个学生的发言还完，旁边的学生却高高的举起了手， 度，而且还能培养学生思维的批判性、深刻性和自我评价能 大声嚷嚷： “师，我来，我来……”当教师指名一位学生回答 力，通过对解题过程的反思，培养学生严谨、细致、缜密的思 时，其余举手的同学都异口同声的叹气起来，垂头丧气，根本 维品质。 顾不了听讲；当老师讲得津津有味时，学生却旁若无人的干着 总之，学习的能力和学习的习惯只能在学习中形成和发 自己的事……凡此种种，不由得人深思。自古以来，培养学生 展。因此教师要更新观念，积极进行教学改革。选取最能发挥 倾听能力和品质一直是我国教育的精粹，占今教育家无不强调 学生学习主动性的教学方法，组织学生的学习活动。在教学基 “听”在学习生活中的重要性。在活跃的数学课堂里，学生光 础知识的过程中教学习和思考的方法，培养良好的学习习惯。 当 《ｘ≤ 时，ｙ ＞０，．‘．在 －ｌＯ￣ｏｒａｃ，ｏｏｎｘ－－———（２０１０ｓｉ——。—ｎｘ）（－．ｓ＿ｉｎｘ） ６ ４ ｃｏｒｔｅｘ ｃｏｒｔｅｘ ‘ ］ 上是增函数， 所以当 时， ｏ 。 ６ ’ ２０１２ ６３
