二次函数与图形面积

二次函数与图形面积

涉及图形：三角形、不规则四边形。

考查设问：（1）首先求出不规则三角形或者四边形的面积； （2）通过已知图形的面积确定未知三角形的面积； （3）通过未知三角形的面积求点坐标。 例1：（2009陕西24题10分）

如图，在平面直角坐标系中，OBOA，且OB2OA，点A的坐标(1，2)． （1）求点B的坐标；

（2）求过点A、O、B的抛物线的表达式；

（3）连接AB，在（2）中的抛物线上求出点P，使得S△ABPS△ABO．

24．（本题满分10分）

y A 1 B x O 1 24题）解：（1）过点A作AF⊥x轴，垂足为点F，过点B作BE⊥（第x轴，垂足为点E，

y 则AF2，OF1．

P3 A 1 P4 B P2 E x OA⊥OB，

AOFBOE90°．

又

F O 1 BOEOBE90°，

（第24题答案AOFOBE． Rt△AFO∽Rt△OEB．

7

BEOEOB2． OFAFOA -

BE2，OE4．

················································································· （2分） B(4，2)． （2）设过点A(1，2)，B(4，2)，O(0，0)的抛物线为yax2bxc．

1a，2abc2，316a4bc2，解之，得b，

2c0.c0．所求抛物线的表达式为y123xx． ············································ （5分） 22（3）由题意，知AB∥x轴．

设抛物线上符合条件的点P到AB的距离为d，则S△ABP11ABdABAF． 22d2．

点P的纵坐标只能是0，或4． ····················································· （7分）

令y0，得

123xx0．解之，得x0，或x3． 220)，P2(3，0)． 符合条件的点P1(0，令y4，得

341123． xx4．解之，得x222符合条件的点P3(341341，4)，P4(，4)． 22综上，符合题意的点有四个：

P0)，P2(3，0)，P3(1(0，341341，4)，P4(，4)． ···························· （10分） 220)不扣分） （评卷时，无P1(0，1.能够根据二次函数中不同图形的特点选择合适的方法解答图形的面积。

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2.通过观察、分析、概括、总结等方法了解二次函数面积问题的基本类型，并掌握二次函数中面积问题的相关计算，从而体会数形结合思想和转化思想在二次函数中的应用。

3.掌握利用二次函数的解析式求出相关点的坐标，从而得出相关线段的长度，利用割补方法求图形的面积。

面积两大类型

类型一：三角形的某一条边在坐标轴上或者与坐标轴平行

例1.已知：抛物线的顶点为D（1，-4），并经过点E（4，5），求: （1）抛物线解析式；

（2）抛物线与x轴的交点A、B，与y轴交点C；

（3）求下列图形的面积△ABD、△ABC、△ABE、△OCD、△OCE

解题思路：求出函数解析式________________；写出下列点的坐标：A______；B_______；C_______；求出下列线段的长：AO________；BO________；AB________；OC_________。求出下列图形的面积△ABD、△ABC、△ABE、△OCD、△OCE。

类型二：三角形三边均不与坐标轴轴平行，做三角形的铅垂高。（歪歪三角形拦腰来一刀）

关于S水平宽铅垂高的知识点：如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线

2垂直的三条直线，外侧两条直线之间的

铅垂高

h C 距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这

条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们

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B 水平宽 图1

a -

可得出一种计算三角形面积的新方法：SABC乘积的一半.

1ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高2想一想：在直角坐标系中，水平宽如何求？铅垂高如何求？

例2．如图2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.(1)求抛物线和直线AB的解析式；(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及SCAB；(3)是否存在一点P，使S△PAB=在，请说明理由.

解题思路：求出直线AB的解析式是为了求出D点的纵坐标．．．．．．yD； 铅垂高，注意线段的长度非负性；分析P点在直线AB的上方还是下方?

9S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存8B y C D 1 x 1 图-2

O A

注意：方法推导

①所谓的铅垂高度，实际上就是横坐标相同的两个点的纵坐标差的绝对值，数学表达式为

CDyCyD。为了保证这个差值是正数，同学们可以用在铅垂线上靠上点

的纵坐标减去靠下点的纵坐标.因此，求出点D的坐标，是求铅垂高度CD的关键； ②所谓的水平宽，实际上就是，两个点的横坐标差的绝对值，数学表达式为

ABxAxB.为了保证这个差值是正数，同学们可以用这两个靠右点的横坐标减去

靠左点的横坐标.因此，求出点A、B的坐标，是求水平宽的关键.

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③在解这类存在性问题时，通常先假设所要的点是存在的，然后利用给出的条件，认真加以推理求解.

专项训练

1、抛物线yx22x3与x轴交与A、B（点A在B右侧），与y轴交与点C， D为抛物线的顶点，连接BD，CD， （1）求四边形BOCD的面积.

（2）求△BCD的面积.（提示：本题中的三角形没有横向或纵向的边，可以通过添加辅助线进行转化，把你想到的思路在图中画出来，并选择其中的一种写出详细的解答过程）

2、已知抛物线y12xx4与x轴交与A、C两点，与y轴交与点B， 2（1）求抛物线的顶点M的坐标和对称轴； （2）求四边形ABMC的面积. 7

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3、已知一抛物线与x轴的交点是A（-2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8）． （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点D的坐标； （3）求四边形ADBC的面积.

4、在抛物线的对称轴上是否存点N，使得SNABSABC，若存在直接写出N的坐标；

若不存在，请说明理由.

5、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(-2,0)，B(0,4)，C(2,4)三点，且与x轴的另一个交点为E。 （1）求该抛物线的解析式；

（2）求该抛物线的顶点D的坐标和对称轴； （3）求四边形ABDE的面积.

C A y B O x 7

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6、已知二次函数yx22x3与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，顶点为P.

（1）结合图形，提出几个面积问题，并思考解法；

（2）求A、B、C、P的坐标，并求出一个刚刚提出的图形面积； （3）在抛物线上（除点C外），是否存在点N，使得SNABSABC,

若存在，请写出点N的坐标；若不存在，请说明理由。

A y O C P B x 7