教学资料范本 2020新课标高考数学讲义：集合、常用逻辑用语、复数含解析 编 辑：__________________ 时 间：__________________ 1 / 5 回顾1 集合、常用逻辑用语、复数 [必记知识] 1．集合 (1)集合的运算性质 ①A∪B＝A⇔B⊆A；②A∩B＝B⇔B⊆A；③A⊆B⇔∁UA⊇∁UB. (2)子集、真子集个数计算公式 对于含有n个元素的有限集合M、其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n、2n－1、2n－1、2n－2. (3)集合运算中的常用方法 若已知的集合是不等式的解集、用数轴求解；若已知的集合是点集、用数形结合法求解；若已知的集合是抽象集合、用Venn图求解． 2．含有一个量词的命题的否定 全称命题的否定是特称命题、特称命题的否定是全称命题、如下所述： 命题 ∀x∈M、p(x) ∃x0∈M、p(x0) 命题的否定 ∃x0∈M、綈p(x0) ∀x∈M、綈p(x) [提醒] 由于全称命题经常省略量词、因此、在写这类命题的否定时、应先确定其中的全称量词、再改写量词和否定结论. 3．全称命题与特称命题真假的判断方法 命题名称 全称命题 真假 真 判断方法一 所有对象使命题真 判断方法二 否定命题为假 2 / 5 假 特称命题 4.复数的相关概念及运算法则 (1)复数z＝a＋bi(a、b∈R)的分类 ①z是实数⇔b＝0； ②z是虚数⇔b≠0； ③z是纯虚数⇔a＝0且b≠0. (2)共轭复数 复数z＝a＋bi的共轭复数z＝a－bi. (3)复数的模 复数z＝a＋bi的模|z|＝a2＋b2. (4)复数相等的充要条件 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a、b、c、d∈R)． 特别地、a＋bi＝0⇔a＝0且b＝0(a、b∈R)． (5)复数的运算法则 加减法：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i； 乘法：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ac＋bdbc－ad除法：(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i. c2＋d2c2＋d2(其中a、b、c、d∈R.) [必会结论] 1．集合运算的重要结论 (1)A∩B⊆A、A∩B⊆B；A⊆A∪B、B⊆A∪B、A∪A＝A、A∪∅＝A、A∪B＝B∪A；A∩A＝A、A∩∅＝∅、A∩B＝B∩A. (2)若A⊆B、则A∩B＝A；反之、若A∩B＝A、则A⊆B.若A⊆B、则A∪B＝B；反之、若A∪B＝B、则A⊆B. (3)A∩∁UA＝∅、A∪∁UA＝U、∁U(∁UA)＝A. (4)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)、∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． 2．一些常见词语的否定 正面词语 否定 正面词语 否定 正面词语 否定 真 假 存在一个对象使命题假 存在一个对象使命题真 所有对象使命题假 否定命题为真 否定命题为假 否定命题为真 － 3 / 5 存在一个 存在一个 或 等于(＝) 不等于(≠) 不大于(小于或等于、即“≤”) 不小于(大于或等于、即“≥”) 不全为 不是 是 不都是(至少有一个不是) 至少有两个 任意的 大于(＞) 都是 至多有一个 至少有一个 所有的 小于(＜) 且 全为 一个也没有 或 且 3.充分条件与必要条件的三种判定方法 (1)定义法：正、反方向推理、若p⇒q、则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p⇒q、且q ⇒/ p、则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)． (2)集合法：利用集合间的包含关系．例如、若A⊆B、则A是B的充分条件(B是A的必要条件)；若A＝B、则A是B的充要条件． (3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题． 4．复数的几个常见结论 (1)(1±i)2＝±2i. 1＋i1－i(2)＝i、＝－i. 1－i1＋i(3)i4n＝1、i4n1＝i、i4n2＝－1、i4n3＝－i、i4n＋i4n1＋i4n2＋i4n3＝0(n∈N)． 13－(4)ω＝－±i、且ω0＝1、ω2＝ω、ω3＝1、1＋ω＋ω2＝0. 22[必练习题] 1．设集合M＝{x∈Z|－3＜x＜2}、N＝{x∈Z|－1≤x≤3}、则M∩N等于( ) A．{0、1} C．{0、1、2} 答案：D 2．已知集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}、B＝{y|y＝2x－1、x≥0}、则A∩B等于( ) A．∅ C．A 答案：C 2i3．设i是虚数单位、则复数在复平面内所对应的点位于( ) 1－iA．第一象限 C．第三象限 B．第二象限 D．第四象限 B．[0、1)∩(3、＋∞) D．B B．{－1、0、1、2} D．{－1、0、1} ＋＋＋＋＋＋ 4 / 5 答案：B 4．若a为实数、且(2＋ai)(a－2i)＝－4i、则a等于( ) A．－1 C．1 答案：B 5．已知集合A＝{1、2、3、4、5}、B＝{5、6、7}、C＝{(x、y)|x∈A、y∈A、x＋y∈B}、则C中所含元素的个数为( ) A．5 C．12 答案：D 6．设命题甲：ax2＋2ax＋1＞0的解集是实数集R；命题乙：0＜a＜1、则命题甲是命题乙成立的( ) A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 2＋i7．i是虚数单位、若＝a＋bi(a、b∈R)、则lg(a＋b)的值为________． 1＋i答案：0 8．已知命题p：∃x0∈R、x20＋ax0＋a＜0、若綈p是真命题、则实数a的取值范围是________． 答案：[0、4] B．6 D．13 B．0 D．2 5 / 5
