(完整版)高中数学抛物线练习题

一、选择题：

1. (浙江)函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝( )

(A)

111 (B) (C) (D)1 84222. （上海）过抛物线y4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ ）

A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在

3. 抛物线x24y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为( )

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5

24. （辽宁卷）已知双曲线的中心在原点，离心率为3.若它的一条准线与抛物线y4x的准线重合，则该双曲线与抛物线y4x的交点到原点的距离是

A．23+6

B．21

C．18122

2 D．21

（ ）

5 .（江苏卷）抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( ) ( A )

17157 ( B ) ( C ) ( D ) 0 16168x2y21(mn0)离心率为2，有一个焦点与抛物线y24x的焦点重合，则mn6. （湖北卷）双曲线mn的值为

A．

B．

（ ）

3 163 8C．

16 3D．

8 3二、填空题：

7．顶点在原点，焦点在x轴上且通径长为6的抛物线方程是 . 8．若抛物线y12x2xm的焦点在x轴上，则m的值是 . 229．过（－1，2）作直线与抛物线y4x只有一个公共点，则该直线的斜率为 . 10．抛物线y2x为一组斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程是 . 2三、解答题：

11. （江西卷）如图，M是抛物线上y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB.

（1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；

（2）若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹

y M B O A E F

x

12. （上海）本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分.

已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的

距离等于5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M. (1)求抛物线方程;

(2)过M作MN⊥FA, 垂足为N,求点N的坐标;

(3)以M为圆心,MB为半径作圆M.当K(m,0)是x轴上一动点时,丫讨论直线AK与圆M的位置关系.

当m<1时, AK与圆M相交.

13、(全国卷III)

设Ax1，y1，Bx2，y2两点在抛物线y2x上，l是AB的垂直平分线。

2（Ⅰ）当且仅当x1x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论； （Ⅱ）当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围。

14.（广东卷）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx上异于坐标原点Ｏ的两不同动点Ａ、Ｂ满足AOBO（如图４所示）．

（Ⅰ）求AOB得重心Ｇ（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；

（Ⅱ）AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

2y A B x O 抛物线练习题答案

解答：一。BB D BB A

三.1. 解：（1）设M（y0,y0），直线ME的斜率为k(l>0)

2则直线MF的斜率为－k，方程为yy0k(xy0).

221ky0(1ky0)2yy0k(xy0)2,xF∴由，消x得kyyy0(1ky0)0 解得yF 22kkyx∴kEF1ky01ky02yyFkkk1(定值) 所以直线EF的斜率为定值 ExExF(1ky0)2(1ky0)24ky02y0k2k2k22（2）当EMF90时,MAB45,所以k1,直线ME的方程为yy0k(xy0)

2yy0xy022由得E((1y0),1y0) 同理可得F((1y0),(1y0)).

2yx22(1y0)2(1y0)223y0xMxExFy0x333 设重心G（x, y），则有xxMxExFy0(1y0)(1y0)y0333消去参数y0得y2122x(x). 9273pp,于是4+=5, ∴p=2. ∴抛物线方程为y2=4x. 224. [解](1) 抛物线y2=2px的准线为x=-

(2)∵点A是坐标是(4,4), 由题意得B(0,4),M(0,2), 又∵F(1,0), ∴kFA=

43;MN⊥FA, ∴kMN=-, 34 则FA的方程为y=

438484(x-1),MN的方程为y-2=-x,解方程组得x=,y=, ∴N的坐标(,). 345555(1) 由题意得, ,圆M.的圆心是点(0,2), 半径为2,

当m=4时, 直线AK的方程为x=4,此时,直线AK与圆M相离. 当m≠4时, 直线AK的方程为y=

4(x-m),即为4x-(4-m)y-4m=0, 4m2m816(m4)2圆心M(0,2)到直线AK的距离d=,令d>2,解得m>1∴当m>1时, AK与圆M相离;

当m=1时, AK与圆M相切; 当m<1时, AK与圆M相交.

8. ．解：（Ⅰ）FlFAFBA、B两点到抛物线的准线的距离相等， ∵抛物线的准线是x轴的平行线，y10，y20，依题意y1，y2不同时为0

22∴上述条件等价于y1y2x1x2x1x2x1x20 ∵x1x2

∴上述条件等价于x1x20 即当且仅当x1x20时，l经过抛物线的焦点F。

（Ⅱ）设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为y2xb；过点A、B的直线方程可写为

111yxm，所以x1、x2满足方程2x2xm0 得x1x2

22411 A、B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式8m0，即m

432x1x2x3

13.解：（I）设△AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则 …（1）

yy1y23

∵OA⊥OB ∴kOAkOB1,即x1x2y1y21，……(2)

又点A，B在抛物线上，有y1x1,y2x2，代入（2）化简得x1x21 ∴y22y1y21211222(x1x2)[(x1x2)22x1x2](3x)23x2 3333332 3所以重心为G的轨迹方程为y3x2（II）SAOB11122222222 |OA||OB|(x12y12)(x2y2)x1x2x12y2x2y1y12y2222由（I）得

SAOB1611166x1x222x16x222(1)6221 2222当且仅当x1x2即x1x21时，等号成立。 所以△AOB的面积存在最小值，存在时求最小值1；

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