第１４卷第６期 宜宾学院学报 ２０１４年６月 Ｖｏ１．１４．Ｎｏ．６ Ｊｏｕｒｎａ．１ ｏｆ Ｙｉｂｉｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｊｕｎｅ，２０１４ 能量估计在偏微分方程中的应用 杜保营 ｆ宜宾学院数学研究所，四川宜宾６４４００７） 摘要：介绍了一般形式二阶ｎ维双曲型方程初边值问题解的能量估计、一般形式二阶 维抛物型方程初边值问题解的能量估计以 及一般形式二阶ｎ维椭圆型方程边值问题解的能量估计，探讨了能量估计在这几类方程的（初）边值问题的一些应用，并得出一些结论． 关键词：能量估计；双曲型方程；抛物型方程；椭圆形方程 中图分类号：Ｏ１７５．２ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７１－５３６５（２０１４）０６－０００３－０４ Ｔｈｅ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ｅｎｅｒｇｙ Ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｉｎ Ｐａｒｔｉａｌ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎ ＤＵ Ｂａｏｙｉｎｇ （Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｙｉｂｉｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｙｉｂｉｎ，Ｓｉｃｈｕａｎ ６４４００７，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｅｎｅｒｇｙ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｉｔｉａｌ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｉｎ ２－ｏｒｄｅｒ ｈｙｐｅｒｂｏｌｉｃ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｉｎ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｆｏｒｍ，ｉｎ ２－ｏｒｄｅｒ ｐａｒ。 ａｂｏｌｉｃ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｉｎ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｆｏｒｍ ａｎｄ ｉｎ ２－ｏｒｄｅ；ｅｌｌｉｐｔｉｃ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｉｎ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｏｆｒｍ ｗｅｒｅ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ．Ｓｏｍｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｐｒｏｂ＿ ．ｌｅｍｓ ａｂｏｕｔ ｔｈｅ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｅｎｅｒｇｙ ｏｆ ｔｈｅ（ｉｎｉｔｉａ１）ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｉｎ ｔｈｅｓｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｅｒｅ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ，ｔｈｅｎ ｓｏｍｅ ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｓ ｗｅｒｅ ｄｒａｗｎ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｅｎｅｒｇｙ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ；ｈｙｐｅｒｂｏｌｉｃ ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｐａｒａｂｏｌｉｃ ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｅｌｌｉｐｔｉｃ ｅｑｕａｔｉｏｎ 能量估计又称能量不等式，它在偏微分方程中有 义范效如卜 着广泛的应用．曹洪锋等ｕ 研究了热传导方程中能量 估计的一些应用；杨金林 研究了二阶波动方程中的能 ） 量估计与应用．一些特殊的偏微分方程的初边值问题 ）ｆ叫 解的唯一性和稳定性可用极值原理口 或最大模估计Ｈ睐 定义２吲在定义１中，若ｐ＝２，则 处理．但是对于一般形式ｎ维双曲型偏微分方程的初 边值问题解的唯一性和稳定性，一般形式的ｎ维抛物 Ｑ）＝ｍ ）１２ｄｘ＜ＺＯ，ｘ 型偏微分方程初边值问题解的唯一性和稳定性以及一 在Ｌ２（Ｑ）中定义范数为 般形式ｎ维椭圆型偏微分方程边值问题解的唯一性和 稳定性用极值原理或最大模估计处理就会很困难，而 用能量估计处理这几类偏微分方程解的唯一性及稳定 ＩＩ配Ｉ （ｎ）＝（ｉ（１ （ ）Ｉ ］ 性就能够很好地解决．本文就能量估计在这几类偏微 定义３嘲设 ＞０，Ｑ为Ｒ“中的一个可测集，则 分方程中的应用做一些探讨，并得出一定的结论． ￡ （（０，Ｔ）×ｎ）中的范数如下定义 １基本概念 Ｔ 定义ｌ【 设Ｑ是Ｒ 中的一个子集， 是 上的 ） ｆ 可测函数，而且ｌ （ ）Ｉ 在 上可积，这种函数的全体记 引理ｌ（Ｇｒｅｅｎ公式） 】三维空间有界闭体 是由 做厶 ），即 光滑或逐片光滑的闭曲面ｒ围成。函数 ｆ ｌ １ ）需 ｆ【Ｉｈ ｆ（ ）ｆ ｄｘ＜ 髫露Ｑ｝Ｊ Ｐ（ｘ，Ｙ，寄），Ｑ（ ，Ｙ， ），冗（％Ｙ， ）及其偏导数在有界闭体１＂／ 上连续，则 三 ）称为 上的Ｐ方可积函数空间。在三 （Ｑ）中定 务（尸 出＋９出 十 ）棼 收稿日期，２０１４—０３—０２ 修回：２０１４—０３—０５ 纂岔项目；宜亮学陡科研席动项目硕南启动金（２Ｏ１２Ｑ１３） 第一作者；杜保管（１ｑＳｌ一），男，助教．理学颈士，研究方向为微分方释 网络出版时间；２０１４￣０３－２７ １７：４４ 网络出版地址：ｈｔｔｐ：Ｈｗｗｗ ｅｎｋｉ，ｎ。 ｋｐｍ￥／ｄｅ【ａｉｌ，５ｊ １６３０．Ｚ．２０１４０３２７，１７４４。ｏ０５，ｈｔｍｌ ４ 宜宾学院学报 第ｌ４卷 （ ＋ 警 ｄ （１）式的另一种形式为 ． （１） （２） 令 一∑。 ＋∑ ．＋ ＋ｃａ＝ｏ ：０：／ｚ＝０， Ｍ（７） （８） ０ （誓＋ ＋磐］ｄＱ＝ （Ｐ ｃｏｓ（ｎ， ）＋Ｑ ｃｏｓ（ｎ，ｙ）＋Ｒ ｃｏｓ（ｎ， ））ｃｂ ｒ ｛ ０ ｕ ２＋ （９） 其中ｄｆｌ是Ｑ的体积微元，ｎ是ｒ的外法线方向， 是 ｒ的面积微元．偏微分方程中常用Ｇｒｅｅｎ公式的（２）式， 该公式可以推广到有限维的形式． ２双曲型方程中能量估计的应用 设Ｑ为Ｒ 中的有界区域，且具有光滑边界ｒ． 其中 为（４）式中的 ．设 是双曲型方程初边值问题 （７）（８）（９）的解，则 Ｅ （ｚ）≤Ｅ（￡）≤Ｅ（０）ｅ“＋～ｃｔＪｆ０ｔＪｆｎ，，． ｄｘｄｔ 在双曲型方程初边值问题（７）（８）（９）中 （１ ０） ＞０，在区域Ｑ ＝ｎＸ（０，Ｔ）中考察一般形式的二阶双 曲型方程 （０）＝ ０２＋ － ：ｌ ０．０ ０，（ ／ ∑ ＝０）， ０ ∑ａ ＋∑ｂ ＋６。 ＋ｃｕ＝ｆ 其中系数满足以下两个条件： （３） 在不等式（１０）中右端项为零，即Ｅ。ｔ）≤０，又 Ｅ （ｆ）／＞０，所以Ｅ （ｆ）：０．故Ｕ ＝ ＝０，ｉ＝ｌ，２…ｎ． 所以 ＝ｃｏｎｓｔ，又ｕ（ｘ，０）＝０，因而Ｍ；０，即双曲型 方程初边值问题（７）（８）（９）的解必为零解． 设／／＇１，／２， 为双曲型方程初边值问题（３）（５）（６）的任意 ①系数 ～ｂ ｂ。，ｃ及右端项厂都是 上的连续函 数，且。 在 上具有一阶连续偏导数． ②对一切 ＝ｌ，２…ｎ，成立０ ＝０ ，且存在正常数 ＞０，使得对一切（ ，ｔ）∈ 及任意实向量（ ， ：… ）， 都有 两个解，则“＝ｕ 一Ｍ：为双曲型方程初边值问题（７）（８）（９） 的解，所以 ＝０，即ｕ．＝“ ．定理证毕． 定理２双曲型方程初边值问题（３）（５）（６）的解连续 依赖于初始资料及右端项 于初始资料及右端项具有 稳定性１． ∑口 ｘ， ） 毒≥ ∑ 现在给定如下初始条件和边界条件： （４） ＝０： 咖（ ），等 （ ） ｌ ＝０ 值问题（３）（５）（６）引入该问题的能量函数： （５） 导，得 ’ （６） 即 ＝证明：令Ｅｏ０）＝『ｎ 。ｄｘ，对该式两边同时关于 求 『ｎ２ｕｕｔ ≤『ｎ“ ＋『ｎ ≤Ｅ。（ｔ）＋Ｅ （ ） ≤ ） （１１） 其中∑ ＝ＦＸ（０，Ｔ）为Ｑ 的侧边界．在双曲型方程初边 Ｅ（￡）＝ Ｍ ＋∑ Ｉｄｘ 题（３）（５）（６）如下能量估计． 其中Ｅ。（ｆ）为定理１证明过程中所设．以ｅ 同乘（１１）式 对（３）两边同时乘Ｕ 并在Ｑ上关于 积分，利用Ｇｒｅｅｎ 两边，并在０到ｔ积分，整理得 公式及Ｆｆｉｅｄｆｉｃｈｓ不等式［６１，可得到双曲型方程初边值问 Ｅｏ（ｔ）≤ 。（０）ｅ ＋ｅ ｔｅ ７＂Ｅ（丁）ｄ丁 又 ・．２ （１ ２） 引理２Ｉ 设 是双曲型方程初边值问题（３）（５）（６）的 解，则成立下面的能量估计 Ｅ （ ）≤ （ ）≤ｃＥ（０）＋ｃ Ｌ＿厂 ｄｘｄｔ 即 Ｅ（ｆ）≤ （０）ｅ ＋ｃｅａＳＺｓ ｄｘｄｔ，０≤ ≤ 其中Ｃ是一个不依赖于 的正常数． 定理１双曲型方程初边值问题（３）（５）（６）的解是唯 一Ｅ （ ）≤ｃＥ（０）＋ｃＩＺｓ ｄｘｄｔ （１２）＋（１３）整理得 （１ ３） ‘ 的． Ｅ。（ ）＋Ｅ。（ ）≤ｃ１Ｅ（Ｏ）＋Ｅ。（ｏ） 十ｃ。 『ｎ 。ｄｘｄｔ （１ ４） 又 证明：考察下面的双曲方程的初边值问题 第６期 杜保营：能量估计在偏微分方程中的应用 Ｅ（０）＝ＬＩ砂 ＋∑口 咖 Ｉ ≤ １ ／ｄ，ｌ ＝０ （２２） ‘设 是抛物方程初边值问题（２０）（２１）（２２）的解．则 （ ２ （ ） 由（１４）（１５）整理得 （１５） Ｅ（ｔ）－＜Ｅ（Ｏ）ｅ ＋ｅｃｔ Ｌ／ ｄｘｄｔ 在抛物方程初边值问题（２０）（２１）（２２）ｑｈ （２３） 『ｎｌ Ｍ ＋ ∑ Ｉ ≤ Ｅ（０）＝ １Ｌ０ ｄｘ＝０，（咖＝ｏ），ｆ＝ｏ 在不等式（２３）中右端项为零，即Ｅ（ｔ）≤０，又 ｃ。Ｌ｛币。＋ ＋∑ ． ｌｄｘ＋ｃｏＧｓ ｄ￡ （１６） Ｅ（ｔ）＞ｔ０，所以Ｅ（ｔ）＝０．故 ＝ ＝０， ＝１，２… ．所 以 ｃｏｎｓｔ． 其中ｃ，ｃ。，Ｃ。是正常数．设 是以咖 ， ， 为初始资料 和右端项的解，设 是以 ， ， 为初始资料和右端 又ｕ（ｘ，０）＝０，因而 三０．即抛物方程初边值问题 （２０）（２１）（２２）的解的解必为零解．设Ｕｐ 为抛物型方程 项的解，则 一 ：是以 。一咖 ， 。一 ， 一 为初始资料 初边值问题（１７）（１８）（１９）的任意两个解，则ｕ＝ 一 ：为 和右端项的解，由（１６）式可知： ＞０， 仅依赖于 ， 的 叼＞０，只要 抛物型方程初边值问题（２０）（２１）（２２）的解，所以 ＝０，即 Ｉｌ １－咖： ＩＬＬ２（￣）≤Ｊ，７，ｌｌ咖ｈ．一咖缸．１ｌ 『ｎ、≤７７， ＝１，２一。ｎ 。＝“：．定理证毕． ． 定理４抛物型方程初边值问题（１７）（１８）（１９）的解连 １－－ ：ｌｆ （ｎ）≤卵，Ｉ】 ｌＩ （（。ｎ）≤卵 续依赖于初始资料及右端项（关于初始资料及右端项具 ， 就有 有稳定性１． 一“： ｎ）≤占， 一 ≤占， １，２…ｎ， 证明：设 抛物型方程初边值问题（１７）（１８）（１９）的 、解，由引理３知： 一 ｎ１≤占 （ ）≤Ｅ（０）ｅ ＋ｅｅｌＪ０ｔ厶厂 ｄｘｄｔ，０≤ ≤ 定理证毕． 即 ３抛物型方程能量估计的应用 １ 在Ｑ 中考察下面的二阶抛物型方程 Ｊｎ ２ｄ戈≤ｅＣｔ．吾『ｎ咖。 ＋ｅＣｔＪ０ｔＬ厂。ｄｘｄｔ 整理得 “ 一∑口 “ ＋∑６ ＋ｃｕ＝ｆ （１７） Ｌ扎 ｄ戈≤ｅ ｄ戈＋ｅ ／ ｄｘｄｔ （２４） 其中系数及右端项仍满足前面双曲型方程的条件 其中ｅ 是正常数．设 是以咖 为初始资料和右端 ①②．方程（１８）满足下面的初始条件及边界条件： 项的解，设 ：是以 为初始资料和右端项的解，则 ｔ ０：ｕ （戈）， 芭ｎ （ｉ８） 一 是以 一ｃｂ 一 为初始资料和右端项的解，由 Ｉ鼍 ＝０ （１９） （２４）式可知： 》０，｜仅依赖于 ，Ｔ的＇７》０，只要 引理３ 设“抛物型方程初边值问题（１７）（１８）（１９） Ｉ Ｉｔ一咖２ （ ≤，７，ＩＩｆ，一厂２ 聊 ｎ）≤叼 的解，构造能量函数岔（ ） 吉Ｌ ，则成立能量估 就有 计式： ‘ ＿“ｚ ｍ≤占 （ｔ）《窟（０）ｅ ＋ｅ ，ｎ／ ＆ｄｒ，ｏ毽 《 定理证毕 其中ｅ是一个不依赖于酩的正常数。 ４椭圆型＿方程能量估计的应用 定理３抛物型方程初边值问题（１７）（１８）（１９）ｆ￣解是 在ｎ中考察下面的二阶椭圆型方程 唯一的。 塞癌 ＾＋ ６ｉＵｘ，＋ＣＵ （２５） 证明ｌ考察下面的抛物型方程的初边值问题 龛 锅牛宝 基ｏ ． （２０） 其中系数及右端项仍满足前面双曲型方程的条件① ②。方程（２Ｓ）满足下面的边界条件： ｔ受Ｏｉｕ羞０ ｆ２１） （２６） ６ 宜宾学院学报 第１４卷 引理４ｔ 存在一个仅依赖于区域Ｑ， 以及 Ｉ鲁｝， ＝１，２．“ ）的最大值的正常数Ａ。，在 ｃ（ｘ）≤一Ａ。时，椭圆型方程边值问题（２５）（２６）的解ｕ，满足 能量估计式： 『ｎｌ∑ 『＋ｔｔ ≤ｃ『ｎ／ ｄｘ ＼ １ ／ 整理得： ∑ｆ ｌｌ＇ｘ￣ｌ‘ｄ ≤ｃ ／ ｄｘ ｌ １ （２９） （３０） 为右端项的 ｓｏｆ￣ｕ ２＋ｕ２／ｄｘ≤ｃ 厂 其中ｃ是一个不依赖于 的正常数． 厶Ｍ ｄ ≤ｃ 『ｎ厂 ｄｘ 以 为右端项的解，则 。一／２，：是以 其中ｃ 是正常数．设／２，是以 为右端项的解，设／Ｚ 是 定理５椭圆型方程边值问题（２５）（２６）的解是唯 一的． 证明：考察下面的抛物型方程的边值问题 ∑ａｉｊＵｘ，ｘｊ＋ＺｂｉＵｘ￣＋ｃ ＝ｏ （２７） Ｍｌ三 ＝０ （２８） 设 是椭圆型方程边值问题（２７）（２８）的解．则由引 理４知 ） ≤ｃ ～． 即 『ｎ ２＂ａｔ＂ｕ２１ｄ．￣≤。 又 Ｌ ．２＋ｕＺ）ｄｘ／＞０ 所以 Ｌ ］ ： ・ 故 “ ＝Ｏ，ｉ：１，２…ｎ 所以ｕ（ｘ）：０，因而ｕ－＝Ｏ．即椭圆型方程边值问题（２７） （２８）的解必为零解．设Ⅱ ， 为椭圆型方程边值问题（２５） （２６）的任意两个解，则ｕ＝ｕ 一“：为椭圆型方程边值问题 （２７）（２８）的解，所以ｕ＝Ｏ，即ｕ ＝ ． 定理证毕． 定理６椭圆型方程边值问题（２５）（２６）的解连续依 赖于右端项（关于右端项具有稳定性）． 证明：设ｕ椭圆型方程边值问题（２５）（２６）的解，由引 理４知： 解．由（２９）（３０）式可知： ＞０， 仅依赖于 的ｒ／＞０，只 要Ｉ ｌ— 。１≤叩，就有 ＩＩｕ，－ｕ２ ≤ ， 一 ． ≤ ＝１，２一ｎ ２．定理证毕． ５结语 一些特殊的偏微分方程（初）边值问题解的唯一性 和稳定性用（强）极值原理吲处理会更容易，但是本文所 讨论的一般形式ｎ维偏微分方程（初）边值问题解的唯 一性和稳定性的证明如果用（强）极值原理处理会很困 难，而用能量估计处理就会容易很多．但是能量估计 在偏微分方程中的应用也有一定的局限性，比如本文 所讨论的三类方程系数和右端项必须要满足条件① ②，边值条件必须为零等，椭圆方程还必须要满足引理 ４的条件．如果突破这些限制条件偏微分方程的（初）边 值问题解的唯一性和稳定性是否仍成立，如果成立应 该怎样证明？这些问题计划在以后的工作中研究解决． 参考文献： …ｌ 曹洪锋．热传导方程的能量估计［Ｊ】．价值工程，２０１ １（１３）：５２—５４． ［２】杨金林，杨勤荣．二阶波动方程的一种能量估计『ＪＪ．包头钢铁学院学 报，１９９６（４）：３４－３６。 【３］谷超豪，李大潜，陈恕行，等．数学物理方程【Ｍ】．第二版 北京：高等教 育出版社，２００２． ｆ４Ｊ崔志勇，金德俊，卢喜观，线性偏微分方程引论【Ｍ】．长春：吉林大学出 版社，１９９１． ［５】张恭庆，林源渠．泛函分析讲义：上册［Ｍ】．北京：ＩＬ京大学出版社， １９８７． 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