望都县第一中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

一、选择题

1． 设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（ ） A．1

B．

C．

D．

2． 已知曲线C1：y=ex上一点A（x1，y1），曲线C2：y=1+ln（x﹣m）（m＞0）上一点B（x2，y2），当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，则m的最小值为（ ） A．1

B．

C．e﹣1 D．e+1

xy2„03． 已知实数x[1,1]，y[0,2]，则点P(x,y)落在区域x2y1„0 内的概率为（ ）

2xy2…0A.

3 4B.

3 8C.

1 4D.

1 8【命题意图】本题考查线性规划、几何概型等基础知识，意在考查数形结合思想及基本运算能力. 4． 若直线y2x上存在点(x,y)满足约束条件

xy30,x2y30,则实数m的最大值为 xm, A、1 B、 C、

3 D、2 2

P是圆上的

C．k360°+257°

D．k360°﹣257°

5． 与﹣463°终边相同的角可以表示为（k∈Z）（ ） A．k360°+463°

B．k360°+103°

6． （2014新课标I）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，

动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P做直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（ ）

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A． B．C．

D． 7． 设集合A={x|﹣2＜x＜4}，B={﹣2，1，2，4}，则A∩B=（ ） A．{1，2}

B．{﹣1，4} C．{﹣1，2} D．{2，4}

8． 已知集合A={x|x≥0}，且A∩B=B，则集合B可能是（ ）

A．{x|x≥0} B．{x|x≤1} C．{﹣1，0，1} D．R

9． 由小到大排列的一组数据x1，x2，x3，x4，x5，其中每个数据都小于﹣1，则样本1，x1，﹣x2，x3，﹣x4，x5的中位数为（ ） A．

B．

C．

D．

10．三个实数a、b、c成等比数列，且a+b+c=6，则b的取值范围是（ ）

A．[﹣6，2] B．[﹣6，0）∪（ 0，2] C．[﹣2，0）∪（ 0，6] D．（0，2]

11．已知等差数列{an}满足2a3﹣a+2a13=0，且数列{bn} 是等比数列，若b8=a8，则b4b12=（ ） A．2

B．4

C．8

D．16

，则a、b、c的大小关系为（ ）

12．设实数

A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c

二、填空题

13．由曲线y=2x2，直线y=﹣4x﹣2，直线x=1围成的封闭图形的面积为 ．

2

14．以抛物线y=20x的焦点为圆心，且与双曲线：

的两条渐近线都相切的圆的方程为 ．

15．函数f（x）=

（x＞3）的最小值为 ．

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16．C两点，A为抛物线x2=﹣8y的焦点，过原点的直线l与函数y=的图象交于B，则|

+|= ．

17．已知直线：3x4ym0（m0）被圆C：x2y22x2y60所截的弦长是圆心C到直线的距离的2倍，则m . 18．曲线

在点（3，3）处的切线与轴x的交点的坐标为 ．

三、解答题

19．已知等差数列{an}中，其前n项和Sn=n2+c（其中c为常数）， （1）求{an}的通项公式；

（2）设b1=1，{an+bn}是公比为a2等比数列，求数列{bn}的前n项和Tn．

20．已知斜率为2的直线l被圆x2+y2+14y+24=0所截得的弦长为

21．已知函数f（x）=ax2﹣2lnx．

（Ⅰ）若f（x）在x=e处取得极值，求a的值； （Ⅱ）若x∈（0，e]，求f（x）的单调区间； （Ⅲ） 设a＞

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，求直线l的方程．

，g（x）=﹣5+ln，∃x1，x2∈（0，e]，使得|f（x1）﹣g（x2）|＜9成立，求a的取值范围．

22．（本小题满分12分）某旅行社组织了100人旅游散团，其年龄均在[10,60]岁间，旅游途中导游发现该旅游散团人人都会使用微信，所有的年龄结构按[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]分成5组，分别记为A,B,C,D,E，其频率分布直方图如下图所示．

（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计该旅游散团的平均年龄；

随机选出2名为主要协调负责人，求选出的2名均来自C组的概率．

23．已知椭圆

+

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

，且a=2b．

（Ⅱ）该团导游首先在C,D,E三组中用分层抽样的方法抽取了6名负责全团协调，然后从这6名中

（1）求椭圆的方程；

22

（2）直线l：x﹣y+m=0与椭圆交于A，B两点，是否存在实数m，使线段AB的中点在圆x+y=5上，若存

在，求出m的值；若不存在，说明理由．

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24．已知函数f（x）=4（Ⅰ）当x∈[0，

sinxcosx﹣5sin2x﹣cos2x+3．

]时，求函数f（x）的值域；

，

=2+2cos（A+C），

（Ⅱ）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足=求f（B）的值．

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望都县第一中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参） 一、选择题

1． 【答案】D

2

2

【解析】解：设函数y=f（x）﹣g（x）=x﹣lnx，求导数得

=

当当所以当

时，y′＜0，函数在时，y′＞0，函数在

时，所设函数的最小值为

上为单调减函数， 上为单调增函数

所求t的值为故选D

【点评】可以结合两个函数的草图，发现在（0，+∞）上x＞lnx恒成立，问题转化为求两个函数差的最小值 对应的自变量x的值．

2． 【答案】C

【解析】解：当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，可得：∴0＜1+ln（x2﹣m）≤∴1+ln（x2﹣m）≤x2﹣m， 令x2﹣m≤化为m≥x﹣e∴m≥e﹣1． 故选：C．

3． 【答案】B 【

解

析

】

，

x﹣e

，x＞m+

=1+ln（x2﹣m），x2﹣x1≥e，

，∴．

∵lnx≤x﹣1（x≥1），考虑x2﹣m≥1时．

．

xexe

令f（x）=x﹣e﹣，则f′（x）=1﹣e﹣，可得x=e时，f（x）取得最大值．

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4． 【答案】B

【解析】如图，当直线xm经过函数y2x的图象 与直线xy30的交点时，

函数y2x的图像仅有一个点P在可行域内， 由y2x，得P(1,2)，∴m1．

xy305． 【答案】C

25） ∈Z【解析】解：与﹣463°终边相同的角可以表示为：k360°﹣463°，（k4即：k360°+257°，（k∈Z） 故选C

2

4135

41 【点评】本题考查终边相同的角，是基础题．

6． 【答案】 C

【解析】解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，则OM=|cosx|， ∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM|sinx| =|cosx||sinx|=|sin2x|， 其周期为T=故选C． 运用．

7． 【答案】A

4

，最大值为，最小值为0，

【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的

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【解析】解：集合A={x|﹣2＜x＜4}，B={﹣2，1，2，4}，则A∩B={1，2}． 故选：A．

【点评】本题考查交集的运算法则的应用，是基础题．

8． 【答案】A

【解析】解：由A={x|x≥0}，且A∩B=B，所以B⊆A． A、{x|x≥0}={x|x≥0}=A，故本选项正确；

B、{x|x≤1，x∈R}=（﹣∞，1]⊊[0，+∞），故本选项错误； C、若B={﹣1，0，1}，则A∩B={0，1}≠B，故本选项错误； D、给出的集合是R，不合题意，故本选项错误． 故选：A．

【点评】本题考查了交集及其运算，考查了基本初等函数值域的求法，是基础题．

9． 【答案】C

【解析】解：因为x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜﹣1，题目中数据共有六个，排序后为x1＜x3＜x5＜1＜﹣x4＜﹣x2，

故中位数是按从小到大排列后第三，第四两个数的平均数作为中位数， 故这组数据的中位数是（x5+1）． 故选：C．

【点评】注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．

10．【答案】B

【解析】解：设此等比数列的公比为q， ∵a+b+c=6， ∴∴b=

=6， ．

当q＞0时， =2，当且仅当q=1时取等号，此时b∈（0，2]；

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当q＜0时，b=﹣6，当且仅当q=﹣1时取等号，此时b∈[﹣6，0）．

∴b的取值范围是[﹣6，0）∪（ 0，2]． 故选：B．

【点评】本题考查了等比数列的通项公式、基本不等式的性质、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

11．【答案】D

【解析】解：由等差数列的性质可得a3+a13=2a8，

2

即有a8=4a8，

解得a8=4（0舍去）， 即有b8=a8=4，

2

由等比数列的性质可得b4b12=b8=16．

故选：D．

12．【答案】A

【解析】解：∵∴a＜c＜b． 故选：A．

0.10

，b=2＞2=1，0＜

0

＜0.9=1．

二、填空题

13．【答案】

【解析】解：由方程组

解得，x=﹣1，y=2故A（﹣1，2）．如图，

121

故所求图形的面积为S=∫﹣1（2x）dx﹣∫﹣1（﹣4x﹣2）dx

．

=﹣（﹣4）=

故答案为：

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【点评】本题主要考查了定积分在求面积中的应用，以及定积分的计算，属于基础题．

14．【答案】 （x﹣5）2+y2=9 ．

2

【解析】解：抛物线y=20x的焦点坐标为（5，0），双曲线：

的两条渐近线方程为3x±4y=0

由题意，r

=3，则所求方程为（x﹣5）2+y2=9

22

故答案为：（x﹣5）+y=9．

【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于基础题．

15．【答案】 12 ．

【解析】解：因为x＞3，所以f（x）＞0 由题意知：

=﹣

=t﹣3t2

令t=∈（0，），h（t）=

2

因为 h（t）=t﹣3t 的对称轴x=，开口朝上知函数h（t）在（0，）上单调递增，（，）单调递减；

故h（t）∈（0，]

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由h（t）=⇒f（x）=≥12

故答案为：12

16．【答案】 4 ．

【解析】解：由题意可得点B和点C关于原点对称，∴|

2

再根据A为抛物线x=﹣8y的焦点，可得A（0，﹣2），

+|=2||，

∴2||=4，

+

|=2|

|是解题的关键．

故答案为：4．

【点评】本题主要考查抛物线的方程、简单性质，属于基础题，利用|

17．【答案】9 【解析】

考点：直线与圆的位置关系

【方法点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题型，涉及一些最值问题，当点在圆的外部时，圆上的点到定点距离的最小值是圆心到直线的距离减半径，当点在圆外，可做两条直线与圆相切，当点在圆上，可做一条直线与圆相切，当点在圆内，过定点做圆的弦时，过圆心即直径最长，当定点是弦的中点时，弦最短，并且弦长公式是l2R2d2，R是圆的半径，d是圆心到直线的距离. 18．【答案】 （，0） ．

【解析】解：y′=﹣∴斜率k=y′|x=3=﹣2，

∴切线方程是：y﹣3=﹣2（x﹣3）， 整理得：y=﹣2x+9， 令y=0，解得：x=， 故答案为：

．

，

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【点评】本题考查了曲线的切线方程问题，考查导数的应用，是一道基础题．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）a1=S1=1+c，a2=S2﹣S1=3，a3=S3﹣S2=5﹣﹣﹣﹣﹣（2分） 分） 分）

（2）a2=3，a1+b1=2∴﹣（8分） ∴ ∴分）

因为等差数列{an}，所以2a2=a1+a3得c=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4∴a1=1，d=2，an=2n﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12

【点评】本题主要考查等差数列的定义及数列求和的方法，考查学生的运算求解能力，属中档题．

20．【答案】

22

【解析】解：将圆的方程写成标准形式，得x+（y+7）=25，

所以，圆心坐标是（0，﹣7），半径长r=5．… 因为直线l被圆所截得的弦长是所以，弦心距为

即圆心到所求直线l的距离为所以圆心到直线l的距离为因此，

．…

，… ，

，

因为直线l的斜率为2，所以可设所求直线l的方程为y=2x+b，即2x﹣y+b=0．

解得b=﹣2，或b=﹣12．… 即2x﹣y﹣2=0，或2x﹣y﹣12=0．…

所以，所求直线l的方程为y=2x﹣2，或y=2x﹣12．

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【点评】本题主要考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，在相交时半径的平方等于圆心到直线的距离平方与弦长一半的平方的和的灵活运用．

21．【答案】

【解析】解：（Ⅰ） f′（x）=2ax﹣=经检验，a=（Ⅱ）

符合题意．

由已知f′（e）=2ae﹣=0，解得a=．

1）当a≤0时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，e]上是减函数． 2）当a＞0时，①若②若

＜e，即≥e，即0＜a≤

，则f（x）在（0，

）上是减函数，在（

，e]上是增函数；

，则f（x）在[0，e]上是减函数．

综上所述，当a≤当a＞（Ⅲ）当

时，f（x）的减区间是（0，e]，

，增区间是

． ）=1+lna；

时，f（x）的减区间是

时，由（Ⅱ）知f（x）的最小值是f（

易知g（x）在（0，e]上的最大值是g（e）=﹣4﹣lna； 注意到（1+lna）﹣（﹣4﹣lna）=5+2lna＞0， 故由题设知解得

2

＜a＜e．

2，e）

，

故a的取值范围是（

22．【答案】

【解析】【命题意图】本题考查频率分布直方图与平均数、分层抽样、古典概型等基础知识，意在考查审读能力、识图能力、获取数据信息的能力．

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23．【答案】

【解析】解：（1）由题意得e=解得a=

，b=c=1

=1；

=

2222，a=2b，a﹣b=c，

2

故椭圆的方程为x+

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）， 线段AB的中点为M（x0，y0）． 联立直线y=x+m与椭圆的方程得，

22

即3x+2mx+m﹣2=0，

222

△=（2m）﹣4×3×（m﹣2）＞0，即m＜3，

x1+x2=﹣所以x0=即M（﹣可得（﹣

，

=﹣

，

）2+（

2

，y0=x0+m=，

22

）．又因为M点在圆x+y=5上， 2

）=5，

解得m=±3与m＜3矛盾． 故实数m不存在．

【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查存在性问题的解法，属于中档题．

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24．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）f（x）=4

+3=2

∵x∈[0，∴2x+

∈[]， ，

]，

sinxcosx﹣5sin2x﹣cos2x+3=2sin2x+2cos2x=4sin（2x+

）．

sin2x﹣

∴f（x）∈[﹣2，4]．

（Ⅱ）由条件得 sin（2A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C）， ∴sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C）， 化简得 sinC=2sinA， 由正弦定理得：c=2a， 又b=

，

a2cosA，解得：cosA=

，

由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=3a2+4a2﹣4故解得：A=∴f（B）=f（

，B=

，C=

，

）=4sin=2．

【点评】本题考查了平方关系、倍角公式、两角和差的正弦公式及其单调性、正弦定理、余弦定理，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．

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