常用放缩方法技巧

常用放缩方法技巧

Document number：PBGCG-0857-BTDO-00-PTT1998

常用放缩方法技巧

证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： ⑴添加或舍去一些项，如：

⑵将分子或分母放大（或缩小）

a21a；

n(n1)n

n(n1)n(n1)2

lg3lg52)lg15lg16lg4；21n1⑷二项式放缩: 2n(11)nCn0Cn,2nCn0CnCnn1, 2nCn0Cn1Cn2n2n2 2nn(n1)(n2)

⑶利用基本不等式，如：lg3lg5(2(5)利用常用结论：

Ⅰ. Ⅱ. Ⅲ. Ⅳ.

1k 的放缩 ：的放缩(1) ： 的放缩(2)：

2kk122k2kk1 1k21k21k2111（程度大） 2k(k1)kk(k1)111111（程度小） ()k2k21(k1)(k1)2k1k1的放缩(3)：12k44k212(11（程度更小） )2k12k1aamaamⅤ. 分式放缩还可利用真（假）分数的性质:bbm(ba0,m0)和bbm(ab0,m0) 记忆口诀“小者小,大者大”。 解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之亦然. Ⅵ.构造函数法 构造单调函数实现放缩。例：f(x)质的放缩：f(ab)f(ab)。

一． 先求和再放缩

1例1.an,前n项和为Sn ，求证：sn1

n(n1)

11例2.an()n , 前n项和为Sn ，求证：sn

32

x(x0)，从而实现利用函数单调性1x

二． 先放缩再求和 （一）放缩后裂项相消

例3．数列

{an}，

an(1)n121s2n2 n，其前n项和为sn ，求证：

（二）放缩后转化为等比数列。

b11,bn1bn2(n2)bn3{bn}例4. 满足：

bn（1） 用数学归纳法证明：n

11111Tn...Tn3b13b23b33bn，求证：2 （2）

三、裂项放缩 例5.(1)求k1n24k12的值; (2)求证:15. 23k1kn

例6.(1)求证:14111712(n2) 2262(2n1)35(2n1) (2)求证:1111211

163n24n1 (3)求证：2(

n11)11213n2(2n11)

例7.求证:

6n111512

(n1)(2n1)49n3

例8.已知an4n2n,T

n2na1a2an,求证:T1T2T3Tn3.

2

四、分式放缩

姐妹不等式:bbm(ba0,m0)和bbm(ab0,m0)

aamaam 记忆口诀”小者小,大者大”

解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之亦然. 例9. 姐妹不等式:(11)(11)(11)(11)2n1和

352n11111(1)(1)(1)(1)2462n12n112n1也可以表示成为

和135(2n1)2462n2n12462n135(2n1)

例10.证明:(11)(11)(11)(1471)33n1. 3n2

五、均值不等式放缩 例11.设Sn1223n(n1).求证n(n1)S2n(n1)2.2

例12.已知函数f(x)11a2bx，a>0,b>0,若f(1)4，且f(x)在[0，1]上的最大值为1，

52 求证：f(1)f(2)f(n)n12n11. 2

六、二项式放缩

1n1 2n(11)nCn0Cn,2nCn0CnCnn1, 2nCn0Cn1Cn2n2n2 2nn(n1)(n2)

2 例13.设n1,nN，求证(2)n38. (n1)(n2)

例14. an23n , 试证明：.

n11≤4n2a1a211 an4

七、部分放缩(尾式放缩) 例15.求证: 11

例16. 设an1

八、函数放缩

n 例17.求证：ln2ln3ln4ln3n234331321132n114 7111,a2.求证：an2. aaa3n23n5n6(nN*). 6

ln3lnn2n2n1 例18.求证:2,ln2(n2) 23n2(n1)

例19. 求证:111ln(n1)111

23n12n

九、借助数列递推关系

例20. 若a11,an1ann1,求证:1a1112(n11)a2an

例21.求证:113135135(2n1)2242462462n2n21

十、分类放缩

例22.求证:111231n 212n