初中数学复习资料——图形的平移、旋转、轴对称(1)

[知识梳理]

⒈知识结构及要点归纳：

（1） 图形平移的基本要素及特点是什么？

在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定单位距离，这样的图形运动称为平移． 要素1：沿某一个方向移动； 要素2：移动一定的单位距离．

平移的特点：平移不改变图形的形状和大小． （2）图形平移的作图中应注意什么问题？

因为图形经过平移后，对应点所连的线段平行，（或在同一条线上）且相等；对应线段平行（或在一条直线上）且相等；对应角相等．

如图6－1所示，对应点所连的线段AD∥BE∥CF，且 AD=BE=CF，BC∥EF，BC=EF．AC∥DF，AC=DF；对应角 的关系是∠ABC=∠DEF，∠BCA=∠EFD，∠GAB=∠FDE． 所以在图形平移的作图中要注意以下几点：

①首先确定图形中的关键点；

②将这些关键点沿指定的方向移动指定的单位距离； 图6－1 ③然后连接对应的部分形成相应的图形． （3）图形旋转的基本要素及特点是什么？

在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角．

要素1：绕一个定点（旋转中心）

要素2：沿某个方向向旋转一定的角度．

图形旋转的特点：旋转不改变图形的形状和大小． （4）图形旋转的作图中应注意什么问题？

因为图形经过旋转后，对应点旋转的角度都相等，方向都相同，对应点到旋转中心的距离相等，且对应线段、对应角相等．

如图所示，旋转中心与对应点所连的线段的关系是OA=OD， OB=OE，OC=OF；对应线段的关系是AB=DE，BC=EF，CA=FD； 对应角的关系是∠ABC=∠DEF，∠BCA=∠EFD，∠CAB=∠FDE

图6－2 所以在图形旋转的作图中要注意以下几个问题：

①首先确定旋转中心；

②其次确定图形的关键点；

③将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度； ④然后连接对应的部分，形成相应的图形．

（5）中心对称图形的基本要求是什么？他有什么特点？

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中心对称图形是一种特殊的旋转对称图形．

在平面内，将一个图形绕着中心旋转180°后能与自身重合，则这种图形叫做中心对称图形，这个中心叫做对称中心．

要素1：绕一个定点（对称中心） 要素2：旋转180°后与自身重合．

中心对称图形的特点：图形绕着它自身的中心旋转180°后能与自身重合． （6）图形中心对称的作图中应注意什么问题？

因为在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分．

如图所示，AO=OA′，BO=OB′．CO=OC′， A、O、A′三点 在同一直线上，B、O、B′三点在同一直线上，C、O、C′三点在一条 直线上．

反过来，如果两个图形的对称点连线的线段都经过某一点，并且

图6－3 都被该点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称．

所以在图形中心对称的作图中要注意以下几点：

①首先确定图形的对称中心； ②其次确定图形的关键点；

③作这些关键点关于对称中心的对称点； ④最后连接对应的部分，形成相应的图形．

（7）轴对称图形及图形的轴对称之间有哪些区别？

如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴．把一个图形沿着某条直线折叠，如果他能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（轴对称），这条直线就是对称轴．

两图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点．

两者的区别是：轴对称图形是一个具有特殊性质的图形，而轴对称是说两个图形之间的位置关系．两者的联系是：若把轴对称的两个图形视为一个整体，则它就是一个轴对称图形；若把轴对称图形在对称轴两旁的部分视为两个图形，则这两个图形就形成轴对称的位置关系．

（8）轴对称的性质是什么？

①关于某直线对称的两个图形是全等的．

②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线段的垂直平分线．

③两个图形关于某直线对称，如果他们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．

另外如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线成轴对称．

线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、正多边形及圆等都是常见的轴对称图形． 2．中考考点研究

本章的知识主要涉及七年级（下）第七章“生活中的轴对称”，八年级（上）第三章“图形的平移与旋转”八年级（下）第四章“相似图形”的部分内容，其中相似图形的部分内容在前边第五章中已复习到，另外还有八年级（上）第五章“位置的确定”及“等积变换”的内容，它们渗透与“空间与图形”的各章之中．

“生活中的轴对称”、“位似图形”以及“图形的平移和旋转”等是新教材特有的内容，设置这些教学内容的目的，是使大家通过观察现实生活中的图形运动变化现象，自觉地进

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行数学思考，逐步形成正确的数学观，其意义是深远的．由此可见，本单元何等重要，它在以后的中考中，必将占有突出的位置，而且是命题的热点．由于在理解本单元的内容时，需要一定的直觉思维与辩证思维能力，所以有关的试题多属中、高档，具体来说有以下几点：

（1）关于图形的对称变换 ①关于轴对称图形：

有关这一考点的试题非常多，主要涉及轴对称图形及其对称轴的识别． ②关于轴对称的性质与作图．

主要考查能够按要求作出简单平面图形经过一次或几次轴对称后的图形，有关试题考查轴对称性质的问题情境常为纸片的折叠，而且着重探索基本图形如等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称相关性质．

③关于现实生活中轴对称图形的欣赏（镜面对称）与利用轴对称进行图案设计．主要考查应用意识，多为容易题．

（2）关于图形的平移变换

①能够识别平移变换，探索它的变换规律．并能理解和运用“对应点所连接的线段平行且相等；对应线段平行且相等；对应角相等”的规律，会解答有关平移变换的证明或计算问题．

②简单图形平移的作图．

常常考查线段、角、三角形、特殊四边形的平移作图，有时综合其它知识如函数来考查．

③关于现实生活中图形平移变换的欣赏和应用，会运用平移变换进行简单图案的设计． （3）关于图形的旋转变换

①能够识别旋转变换（包括中心对称变换），探索它的变换规律，并能理解和运用“每对对应点与旋转中心的连线所能组成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离都相等”的规律，会解答有关旋转变换的证明或计算问题．

②简单图形旋转变换的作图．

常考查线段、角、三角形、特殊四边形、圆、简单组合图形的旋转变换作图（包括中心对称变换）

③关于现实生活中图形旋转变换（包括中心对称变换）的欣赏和应用，会运用旋转变换进行简单图案设计．

（4）其它变换 ①图形的等积变换

是指图形在变换中保持面积不变，实际上对称、平移、旋转变换都是全等变换，通过这些变换，图形的形状、大小和面均未改变．但实际上有些试题的设计所涉及的等积变换并非都是全等变换．

②图形的相似与位似变换

能运用相似或位似变换将一个图形放大或缩小而保持形状不变．

③灵活运用平移，轴对称、旋转等变换的组合进行图案设计或构思计算和作图题． ④图形与坐标，用坐标的方法研究图形的运动变换．

在直角坐标系（或方格纸）中，研究图形的位置的各种变换，从而使变换后的图形中各点的坐标也在进行规律的变化，如在直角坐标系中，图形沿x轴向右（左）平移m个单位，则图形上每一点纵坐标不变，而横坐标都增加（减少）了m；图形沿y轴向上（下）平移n个单位，则图形上每一点横坐标不变，而纵坐标都增加（减少）了n；图形关于x轴对称时，对应点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；图形绕着某一点旋转时，图形上每一点到旋转中心的距离不变．

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总之图形的变换是《课标》中加强的部分，加强这部分内容的学习可进一步丰富对空间观念的认识和感受，体验在现实生活中的应用，发展空间观念，所以是中考的重要内容，题型很丰富，难度也不一致，各层次可能都有，有时也可能和其它知识综合出现在压轴题中，这类问题既考查学生分析、综合、概括、逻辑推理的能力，考查几何建模以及探究活动的能力，是学生展示个体思维的好平台，又考查了学生对几何与代数之间的联系、多角度、多层次综合运用数学知识、数学思想方法分析和解决问题的能力．

复习备考时要注意以下几个方面的问题：

（1）要重视巩固“知识梳理”中所涉及到的基本知识、基本规律、与基本技能． （2）要注意通过大量的观察、动手操作、团设计等实践活动进一步理解各种变换的内涵，去抓住各种图形变换的关键点．

（3）要注意观察现实生活中图形变换的案例，认识和欣赏各种图形变换在现实生活中的应用．

（4）要认真审题，注意观察图形在变换过程中那些元素是不变的，那些元素是变化的，怎么变的，从而抓住变化过程中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变量、不变关系或特殊关系，通过建立函数模型或方程模型来解题．

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