两角和与差的正弦、余弦和正切公式专题及解析(精.选)

教学目标 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。

知 识 梳 理

1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ. cos(α∓β)＝cosαcosβ±sinαsinβ.

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sinαcosα.

cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.

3.有关公式的逆用、变形等

(1)tan α±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ).

(3)1＋sin 2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin 2α＝(sinα－cosα)2， π

sinα±cosα＝2sinα±.

4

4.函数f(α)＝asinα＋bcosα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝a2＋b2sin(α＋ba

φ)其中tan φ＝a或f(α)＝a2＋b2·cos(α－φ)其中tan φ＝b. 

诊 断 自 测

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)

精彩PPT展示

(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.( ) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.( )

word.

(3)公式tan(α＋β)＝

tan α＋tan β可以变形为tan α＋tan β

1－tan αtan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.( ) (4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( )

π

解析 (3)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠2＋kπ，k∈Z.

答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√

1

2.(2016·全国Ⅲ卷)若tan θ＝－，则cos 2θ＝( )

34A.－5

2

1B.－5

2

1 C.5 4 D.5

cos2θ－sin2θ1－tan2θ4

解析 cos 2θ＝cosθ－sinθ＝2＝＝. cosθ＋sin2θ1＋tan2θ5答案 D

11

3.(2015·重庆卷)若tan α＝3，tan(α＋β)＝2，则tan β等于( ) 1A.7

1B.6

5C.7

5D.6

tan（α＋β）－tan α解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝ 1＋tan（α＋β）·tan α11

2－31

＝11＝7，故选A. 1＋2×3答案 A

1π

4.(2017·广州调研)已知sin α＋cos α＝3，则sin2－α＝( )

41

A.18

17 B.18

8 C.9

2 D.9

118

解析 由sin α＋cos α＝3两边平方得1＋sin 2α＝9，解得sin 2α＝－9，所以8π

1－cos－2α1＋

917π21－sin 2α2sin－α＝＝＝2＝18，故选B.

224答案 B

word.

5.(必修4P137A13(5)改编)sin 347°cos 148°＋sin 77°·cos 58°＝________. 解析 sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°

＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58° ＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58° ＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77° 2＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝2. 2

答案 2 考点一 三角函数式的化简

【例1】 (1)(2016·合肥模拟)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝( ) A.sin(α＋2β) C.cos(α＋2β)

B.sin α D.cos α

ααcos－sin（1＋sin α＋cos α）·

22

(2)化简：(0<α<π)＝________.

2＋2cos α解析 (1)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝cos[(α＋β)－β]＝cos α.

ααααα

2cos2＋2sincos·cos－sin22222

(2)原式＝ α4cos22ααα2α2cos2cos－sincoscos α222

＝＝.

ααcoscos22因为0<α<π，所以0<

απ

<，所以cos>0，所以原式＝cos α.

222

α答案 (1)D (2)cos α

【训练1】 (1)2＋2cos 8＋21－sin 8的化简结果是________.

1

2cos4α－2cos2α＋2

(2)化简：

＝________.

π2π2tan－αsin＋α

44

word.

解析 (1)原式＝4cos24＋2（sin 4－cos 4）2 ＝2|cos 4|＋2|sin 4－cos 4|，

53

因为4π<4<2π，所以cos 4<0，且sin 4(2)原式＝

π2×sin－α

4π

·cos2－α

4π

cos－α4（2cos2α－1）2cos22α＝＝ πππ4sin－αcos－α2sin－2α

442cos22α1＝＝cos 2α. 2cos 2α2

1

答案 (1)－2sin 4 (2)2cos 2α 考点二 三角函数式的求值

【例2】 (1)[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin280＝________. 7πsin 2α＋2sin2απ317π

(2)已知cos＋α＝5，12<α<4，则的值为________.

1－tan α411

(3)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝2，tan β＝－7，则2α－β的值为________. cos 10°＋3sin 10°解析 (1)原式＝(2sin 50°＋sin 10°·)·

cos 10°13

2cos 10°＋2sin 10°

2sin 80°＝(2sin 50°＋2sin 10°·)·

cos 10°2cos 10°＝22[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)] 3

＝22sin(50°＋10°)＝22×2＝6. sin 2α＋2sin2α2sin αcos α＋2sin2α(2)＝ 1－tan αsin α1－

cos αword.

2sin αcos α（cos α＋sin α）＝

cos α－sin α＝sin 2α1＋tan απ

＝sin 2α·tan＋α.

1－tan α4

17π7π5πππ3

由12<α<4得3<α＋4<2π，又cos＋α＝5，

444ππ

所以sin＋α＝－5，tan＋α＝－3.

44

2727ππ

cos α＝cos＋α－＝－10，sin α＝－10，sin 2α＝25.

44sin 2α＋2sin2α28

所以＝－75.

1－tan αtan（α－β）＋tan β(3)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝

1－tan（α－β）tan β112－71

＝11＝3>0， 1＋2×7

π

又α∈(0，π)，∴0<α<2， 2tan α又∵tan 2α＝＝1－tan2απ

∴0<2α<2，

314＋7tan 2α－tan β∴tan(2α－β)＝＝31＝1. 1＋tan 2αtan β1－4×7π1

∵tan β＝－7<0，∴2<β<π，－π<2α－β<0， 3π

∴2α－β＝－4.

3π28

答案 (1)6 (2)－75 (3)－4

【训练2】 (1)4cos 50°－tan 40°＝( )

word.

12×311－3

3＝

24>0，

A.2 C.3

2＋3B.2 D.22－1

ππ43

(2)已知sinα＋＋sin α＝－5，－2<α<0，则cos α的值为________.

3π113

(3)已知cos α＝7，cos(α－β)＝14(0<β<α<2)，则tan 2α＝________，β＝________.

解析 (1)原式＝4sin 40°－

sin 40°

cos 40°

4cos 40°sin 40°－sin 40°＝ cos 40°2sin 80°－sin 40°＝

cos 40°

2sin（120°－40°）－sin 40°＝ cos 40°＝＝

3cos 40°＋sin 40°－sin 40°

cos 40°3cos 40°

＝3，故选C.

cos 40°

π43

(2)由sinα＋＋sin α＝－5，

3

π33434

得2sin α＋2cos α＝－5，sinα＋＝－5.

6ππππ

又－2<α<0，所以－3<α＋6<6， π3

于是cosα＋＝5.

6

ππ33－4

所以cos α＝cosα＋－＝10.

66π1

(3)∵cos α＝7，0<α<2， 43

∴sin α＝7，tan α＝43，

word.

2tan α2×4383

∴tan 2α＝＝＝－47. 1－tan2α1－48ππ

∵0<β<α<2，∴0<α－β<2， 33

∴sin(α－β)＝14， ∴cos β＝cos[α－(α－β)]

＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) 11343331＝7×14＋7×14＝2， π∴β＝3. 答案 (1)C (2)

33－483π

(3)－1047 3

考点三 三角变换的简单应用

【例3】 已知△ABC为锐角三角形，若向量p＝(2－2sin A，cos A＋sin A)与向量q＝(sin A－cos A，1＋sin A)是共线向量. (1)求角A；

C－3B

(2)求函数y＝2sinB＋cos2的最大值.

2

解 (1)因为p，q共线，所以(2－2sin A)(1＋sin A) 3

＝(cos A＋sin A)(sin A－cos A)，则sin2A＝4. π3

又A为锐角，所以sin A＝2，则A＝3. π

π－－B－3B

3C－3B

(2)y＝2sin2 B＋cos＝2sin2B＋cos

221π

＝2sinB＋cos－2B＝1－cos 2B＋2cos 2B＋

3

2

π331

2B－＋1. sin 2B＝sin 2B－cos 2B＋1＝sin

2226

ππ5ππππ

因为B∈0，，所以2B－6∈－，，所以当2B－6＝2时，函数y

266

word.

π

取得最大值，此时B＝3，ymax＝2.

1

【训练3】 (2017·合肥模拟)已知函数f(x)＝(2cos2x－1)·sin 2x＋2cos 4x. (1)求f(x)的最小正周期及单调减区间；

π2απ

(2)若α∈(0，π)，且f－＝2，求tanα＋的值.

8341

解 (1)f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋2cos 4x 1

＝cos 2xsin 2x＋cos 4x

2

π12

＝2(sin 4x＋cos 4x)＝2sin4x＋，

4π

∴f(x)的最小正周期T＝2.

ππ3

令2kπ＋2≤4x＋4≤2kπ＋2π，k∈Z， kππkπ5π

得2＋16≤x≤2＋16，k∈Z.

kππkπ5π∴f(x)的单调减区间为＋，＋，k∈Z.

162162π2απ

(2)∵f－＝2，即sinα－＝1.

844ππ3π

因为α∈(0，π)，－4<α－4<4， ππ3π

所以α－4＝2，故α＝4. 3ππtan4＋tan3

－1＋3π

因此tanα＋＝＝＝2－3.

33ππ1＋3

1－tan4tan3

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、选择题

word.

1.(2015·全国Ⅰ卷)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) 3A.－2

3B.2

1C.－2

1 D.2

解析 sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°1

＝sin 30°＝2. 答案 D

2.(1＋tan 17°)(1＋tan 28°)的值是( ) A.－1

B.0

C.1

D.2

解析 原式＝1＋tan 17°＋tan 28°＋tan 17°·tan 28° ＝1＋tan 45°(1－tan 17°·tan 28°)＋tan 17°·tan 28° ＝1＋1＝2. 答案 D

1

3.(2017·西安二检)已知α是第二象限角，且tan α＝－3，则sin 2α＝( ) 310A.－10

310 B.10

3C.－5

3 D.5

1

解析 因为α是第二象限角，且tan α＝－3， 10310

所以sin α＝10，cos α＝－10，

103103

＝－，故选C. 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×10×－

510答案 C

2tan 14°13

4.(2017·河南六市联考)设a＝2cos 2°－2sin 2°，b＝，c＝

1－tan214°1－cos 50°

，则有( ) 2A.a＜c＜b C.b＜c＜a

B.a＜b＜c D.c＜a＜b

解析 由题意可知，a＝sin 28°，b＝tan 28°，c＝sin 25°， ∴c＜a＜b. 答案 D

word.

π3

5.(2016·肇庆三模)已知sin α＝5且α为第二象限角，则tan2α＋＝( )

419

A.－5

5B.－19

31 C.－17

17 D.－31

424

解析 由题意得cos α＝－5，则sin 2α＝－25， 7

cos 2α＝2cos2α－1＝25.

π24

tan 2α＋tan4－7＋1π2417

∴tan 2α＝－7，∴tan2α＋＝＝＝－31. 4π24－×11－tan 2αtan41－7答案 D 二、填空题

π1π

6.(2016·石家庄模拟)若cosα－＝3，则sin2α－的值是________.

36πππ

解析 sin2α－＝sin2α－＋＝

632ππ17

cos 2α－＝2cos2α－－1＝2×9－1＝－9.

337

答案 －9

ππ3ππ3

7.(2017·南昌一中月考)已知α∈，，β∈0，，且cos－α＝5，

4444125

sin4π＋β＝－13，则cos(α＋β)＝________. π3ππ3解析 ∵α∈，，cos－α＝5，

4444π

∴sin－α＝－，

54

12π125

∵sin4π＋β＝－13，∴sin＋β＝13，

4ππ5又∵β∈0，，∴cos＋β＝13，

44

33ππ35412

∴cos(α＋β)＝cos＋β－－α＝5×13－5×13＝－65. 44

word.

33

答案 －65

ππ2

8.已知θ∈0，，且sinθ－＝10，则tan 2θ＝________.

24π21

解析 sinθ－＝10，得sin θ－cos θ＝5，①

4

θ∈0，2，①平方得2sin θcos θ＝25，可求得sin θ＋cos θ＝5，∴sin θ2tan θ43424

＝5，cos θ＝5，∴tan θ＝3，tan 2θ＝＝－

7. 1－tan2 θ24

答案 －7 三、解答题

9.(2017·淮海中学模拟)已知向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝(2，－1). sin θ－cos θ(1)若a⊥b，求的值；

sin θ＋cos θππ

(2)若|a－b|＝2，θ∈0，，求sinθ＋的值.

24解 (1)由a⊥b可知，a·b＝2cos θ－sin θ＝0， 所以sin θ＝2cos θ，

sin θ－cos θ2cos θ－cos θ1

所以＝＝.

sin θ＋cos θ2cos θ＋cos θ3(2)由a－b＝(cos θ－2，sin θ＋1)可得， |a－b|＝（cos θ－2）2＋（sin θ＋1）2＝ 6－4cos θ＋2sin θ＝2， 即1－2cos θ＋sin θ＝0.

π

又cos2θ＋sin2θ＝1，且θ∈0，，

234

所以sin θ＝5，cos θ＝5. π223472

所以sinθ＋＝2(sin θ＋cos θ)＝25＋5＝10.

4

3ππ51

10.设cos α＝－5，tan β＝3，π<α<2，0<β<2，求α－β的值.

word.

π

247

3π525

解 法一 由cos α＝－5，π<α<2，得sin α＝－5，tan α＝2，又tan

β＝3，

tan α－tan β＝1＋tan αtan β12－3

1

于是tan(α－β)＝

1＝1. 1＋2×3

3π

又由π<α<2，

πππ3π0<β<2可得－2<－β<0，2<α－β<2， 5π

因此，α－β＝4.

3π525

法二 由cos α＝－5，π<α<2得sin α＝－5. π113

由tan β＝3，0<β<2得sin β＝，cos β＝.

1010所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝ 225351－－－＝－.

2510510

3ππππ3π5π

又由π<α<2，0<β<2可得－2<－β<0，2<α－β<2，因此，α－β＝4. 能力提升题组

(建议用时：20分钟)

π2π23π＝( ) 11.(2016·云南统一检测)cos9·cos9·cos－

91

A.－8

1B.－16

1C.16

1D.8

π2π23

解析 cos9·cos9·cos－9π＝cos 20°·cos 40°·cos 100°＝－cos 20°·

sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°

cos 40°·cos 80°＝－

sin 20°1

2sin 40°·cos 40°·cos 80°＝－ sin 20°

word.

1114sin 80°·cos 80°8sin 160°8sin 20°1＝－＝－＝－＝－8.

sin 20°sin 20°sin 20°答案 A

12.(2017·武汉调研)设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为( ) A.[－2，1] C.[－1，1]

B.[－1，2] D.[1，2]

解析 ∵sin αcos β－cos αsin β＝1，∴sin(α－β)＝1，

0≤α≤π，

ππ

∵α，β∈[0，π]，∴α－β＝2，由⇒≤α≤π， π20≤β＝α－2≤ππ

∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin2α－α＋＋sin(α－2α＋π)＝cos α＋sin α2π3ππ5ππ＝2sinα＋，∵2≤α≤π，∴4≤α＋4≤4π，∴－1≤2sinα＋≤

441，即所求的取值范围是[－1，1]，故选C. 答案 C

ππ2

13.已知cosα－sinα＝3，且α∈0，，则cos2α＋＝________.

23

4

4

2

解析 ∵cos4α－sin4α＝(sin2α＋cos2α)(cos2α－sin2α)＝cos 2α＝3，又π5

α∈0，，∴2α∈(0，π)，∴sin 2α＝1－cos22α＝3，

2π1312352－15

∴cos2α＋＝2cos 2α－2sin 2α＝2×3－2×3＝6.

32－15

答案

6

π

14.(2016·西安模拟)如图，现要在一块半径为1 m，圆心角为3的扇形白铁片AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在弧AB上，点Q在OA上，点M，N在OB上， 设∠BOP＝θ，平行四边形MNPQ的面积为S. (1)求S关于θ的函数关系式.

word.

(2)求S的最大值及相应的θ角.

解 (1)分别过P，Q作PD⊥OB于D，QE⊥OB于E，则四边形QEDP为矩形.

由扇形半径为1 m，得PD＝sin θ，OD＝cos θ.在Rt△OEQ中，OE＝33

3QE＝3PD，MN＝QP＝DE＝OD－OE＝cos θ－3S＝MN·PD＝cos θ－33sin θ3sin θ，

·sin θ＝sin θcos θ，θ∈0，π3

.

(2)由(1)得S＝13

2sin 2θ－6(1－cos 2θ)

＝1＋333π2sin 2θ6cos 2θ－6＝3sin

2θ＋6－36，

因为θ∈0，π3，所以2θ＋ππ5π

π16∈6，6，sin2θ＋6∈2，1.

当θ＝π3

6时，Smax＝6(m2).

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word.

－33·sin2

θ