弦振动研究

任何一个物体在某一特定值附近往复变化，都成为振动。振动是产生波动的根源，波动是振动的传播。均匀弦振动的传播，实际上是两个振幅相同的相干波在同一直线上沿反方向传播的叠加，在一定条件下可形成驻波。本实验验证了弦线上横波的传播规律：横波的波长与弦线中张力的平方根成正比，而与其线密度（单位长度的质量）的平方根成反比。

本实验采用了钢质弦线，能够听到振动产生的声音，从而可研究振动与声音的关系；在很多情况下，驻波波形并不是理想的正弦波，直接用眼睛观察是无法分辨的，本实验不仅能做标准的弦振动实验，还能配合示波器进行驻波波形的观察和研究。

一、实验目的

1、了解波在弦上的传播及弦波形成的条件。

2、掌握测量不同弦长下拉紧弦共振频率的方法。 3、掌握测量弦振动时横波传播速度的方法。 4、掌握测量弦线的线密度的方法。

二、实验预习问题

1、什么是简谐运动？什么是简谐波？ 2、实验中的简谐波是如何产生的？ 3、什么是波的叠加原理？ 4、驻波的形成条件？ 5、波腹与波节的概念？

6、实验中如何改变弦长？如何改变弦的张力大小？ 7、实验中如何测量弦线上某一位置的波动幅度？ 8、实验中形成驻波后如何测量波长？ 9、横波的波长与弦线中张力的关系？ 10、横波的波长与弦线的线密度的关系？

三、实验原理

根据波的叠加原理，几列波可以保持各自的特性（频率、波长、振幅、振动方向等）同时通过同一介质，在几列波相遇或叠加的区域内，任一点的位移为各个波单独在该点产生的位移的合成。在同一介质中，当两列频率、振幅、振动方向相同的简谐波在同一直线上沿相反方向传播时能够叠加形成驻波。当弦线上最终形成稳定的驻波时，我们可以认为波动是从左端劈尖发出的，沿弦线朝右端劈尖方向传播，称为入射波，再由右端劈尖端反射沿弦线朝左端劈尖传播，称为反射波。入射波与反射波在同一条弦线上沿相反方向传播时将相互干涉，在适当的条件下，弦线上就会形成驻波。这时，弦线上的波被分成几段形成波节和波腹。如图1所示。

设图中的两列波是沿X轴相反方向传播的振幅相等、频率相同、振动方向一致的简谐波。向右传播的用细实线表示，向左传播的用细虚线表示，它们合成的驻波用粗实线表示。由图1可见，两个波腹或波节间的距离都是等于半个波长，这可从波动方程推导出来。

下面用简谐波表达式对驻波进行定量描述。设沿X轴正方向传播的波为入射波，沿X轴负方向传播的波为反射波，取它们振动相位始终相同的点作坐标原点“O”，且在X＝0处，振动质点向上达最大位移时开始计时，则它们的波动方程分别为：

图1 驻波的形成

2Y2Acos(ftx) (2)

式中A为简谐波的振幅，f为频率，为波长，x为弦线上质点的坐标位置。两波叠加

后的合成波为驻波，其方程为：

Y1Acos(ft2x) (1)

Y1Y22Acos2xcosft (3)

由(3)式可见，入射波与反射波合成后，弦上各点都在以同一频率作简谐振动，它们的振幅为2Acos2(x/)，只与质点的位置x有关，与时间无关。

由于波节处振幅为零，即cos2(x/)0，2(x/)(2k1)/2，k=0、1、2、3······ 可得波节的位置为：

x(2k1)/4 (4)

而相邻两波节之间的距离为：

xk1xk[2(k1)1]/4(2k1)/4/2 (5)

又因为波腹处的质点振幅为最大，即cos2(x/)1，2(X/)k，k = 0、1、2、 3······，可得波腹的位置为：

xk/2 (6)

这样相邻的波腹间的距离也是半个波长。因此，在驻波实验中，只要测得相邻两波节（或相邻两波腹）间的距离，就能确定该波的波长。在本实验中，由于弦的两端是固定的，故两端点为波节，所以，只有当均匀弦线的两个固定端之间的距离（弦长）L等于半波长的整数倍时，才能形成驻波，其数学表达式为Ln/2，n=1、2、3······，由此可得沿弦线传播的横波波长为：

2L/n (7)

式中n为弦线上驻波的段数，即半波数，L为弦长。

根据波动理论，弦线横波的传播速度为：

V(T/)1/2 (8)

式中T为弦线中张力，ρ为弦线单位长度的质量，即线密度。

根据波速、频率与波长的普遍关系式Vf，和(7)式可得横波波速为：

V2Lf/n (9)

如果已知张力和频率f，则由(8)、(9)式可得线密度为：

T(n/2Lf)2 (10)

如果已知线密度和频率f，则由(10)式可得张力为：

T(2Lf/n)2 (11)

如果已知线密度和张力，则由(10)式可得频率f为：

fTn (12)

2L以上的分析是根据经典物理学得到的，实际的弦振动的情况是复杂的。我们在实验中可以看到，接收波形很多时候并不是正弦波，或者带有变形，或者没有规律振动，或者带有不稳定性振动，这就要求我们引入非线性科学的分析方法。

四、实验仪器

实验仪器由测试架、信号源、示波器组成，如图2所示。

图2 实验仪示意图

1—调节螺杆 2—圆柱螺母 3—驱动传感器 4—弦线 5—接收传感器

6—支撑板 7—张力杆 8—砝码 9—信号源 10—示波器

张紧的弦线4在驱动器3产生的交变磁场中受力，驱动器3所在处对应的弦为振源，振动向两边传播，在劈尖6处反射后又沿各自相反的方向传播。在本实验中，移动劈尖6的位置可以改变弦长。改变弦长或驱动频率，当弦长是驻波半波长的整倍数时，弦线上便会形成驻波。

五、实验内容

1、实验前准备

（1）选择一条弦，将弦的带有铜圆柱的一端固定在张力杆的U型槽中，把带孔的一端套到调整螺杆上圆柱螺母上。

（2）把两块劈尖（支撑板）放在弦下相距为L的两点上（它们决定弦的长度），注意窄的一端朝标尺，弯脚朝外，如图2；放置好驱动线圈和接收线圈，按图2连接好导线。 （3）把砝码（质量可选）挂到张力杆上，然后旋动调节螺杆，使张力杆水平（这样才能从所挂砝码质量精确地确定弦的张力，见图3）。因为杠杆的原理，通过在不同位置悬挂质量已知的砝码，从而获得成比例的、已知的张力，该比例是由杠杆的尺寸决定的。如图3（a），挂质量为“M”的重物在张力杆的挂钩槽3处，弦线的张力为3Mg；如图3（b），挂质量为“M”的重物在张力杆的挂钩槽4处，弦线的张力为4Mg。注意：由于张力不同，弦线的伸长也不同，故需重新调节张力杆的水平。

（a）张力为3Mg (b) 张力为4Mg

图 3 张力大小示意图

2、实验内容

（1）张力、线密度和弦长一定，改变驱动频率，观察驻波现象和驻波波形，测量共振频率。

a) 放置两个劈尖至合适的间距，例如60cm，装上一条弦。在张力杠杆上挂上一定质量的砝码（注意，总质量还应加上挂钩的质量），旋动调节螺杆，使张力杠杆处于水平状态，把驱动线圈放在离劈尖大约5~10cm处，把接收线圈放在弦的中心位置。提示：为了避免接收传感器和驱动传感器之间的电磁干扰，在实验过程中要保证两者之间的距离至少有10cm。

b) 信号源中驱动信号的频率调至最小，幅度值调到适中。

c) 缓慢调高驱动信号的频率，观察示波器接收到的波形的改变（期间适当调节示波器的通道增益值以便能观察到波形）。注意：频率调节过程不能太快，因为弦线形成驻波需要一定的能量积累时间，太快则来不及形成驻波。如果不能观察到波形，则调大信号源的输出幅度，如果弦线的振幅太大，造成弦线敲击传感器，则应减小信号源输出幅度，而适当调节示波器的通道增益，以观察到合适的波形大小。一般一个波腹时，信号源输出为2～3V(峰-峰值)，即可观察到明显的驻波波形，同时观察弦线，应当有明显的振幅。当弦的振动幅度最大时，示波器接收到的波形振幅最大，这时的频率就是共振频率。

d) 记下这个共振频率，以及线密度、弦长和张力，弦线的波腹波节的位置和个数等参数。如果弦线只有一个波腹，这时的共振频率为最低，波节就是弦线的两个固定端（两个劈尖处）。

e) 改变驱动频率，连续找出3个共振频率并记录。注意，接收线圈如果位于波节处，则示波器上无法测量到波形，所以驱动线圈和接收线圈此时应适当移动位置，以观察到最大的波形幅度。当驻波的频率较高，弦线上形成几个波腹、波节时，弦线的振幅会较小，眼睛不易观察到。这时把接收线圈移向右边劈尖，再逐步向左移动，同时观察示波器（注意波形是如何变化的），找出并记下波腹和波节的个数，及每个波腹和波节的位置。 （2）张力和线密度一定，改变弦长，测量共振频率。

a) 选择一根弦线和合适的张力，放置两个劈尖至一定的间距，例如60cm，调节驱动频率，使弦线产生稳定的驻波。

b) 记录相关的线密度，弦长，张力，波腹数等参数。

c) 移动劈尖至不同的位置以改变弦长，调节驱动频率，使弦线产生稳定的驻波。记录相关的参数。

（3）弦长和线密度一定，改变张力，测量共振频率和横波在弦上的传播速度。

a) 放置两个劈尖至合适的间距，例如60cm，选择一定的张力，改变驱动频率，使弦线产生稳定的驻波。

b) 记录相关的线密度，弦长，张力等参数。

c) 改变砝码的质量和挂钩的位置，调节驱动频率，使弦线产生稳定的驻波。记录相关的参数。

（4）张力和弦长一定，改变线密度，测量共振频率和弦线的线密度。（选做）

a) 放置两个劈尖至合适的间距，选择一定的张力，调节驱动频率，使弦线产生稳定的驻波。

b) 记录相关的弦长，张力等参数。

c) 换用不同的弦线，改变驱动频率，使弦线产生同样波腹数的稳定驻波。记录相关的参数。

（5）自己设计实验，聆听音阶高低及与频率的关系。（选做）

六、数据处理

已知弦线的静态线密度（由天平秤称出单位长度的弦线的质量）为：弦线1：0.562g/m；弦线2：1.030g/m；弦线3：1.515g/m。

1、张力、线密度和弦长一定，测量弦线的共振频率和横波的传播速度。

根据公式(12)求得的共振频率计算值，与实验得到的共振频率相比较，分析这两者存在差异的原因。

弦长 (cm) 张力 （kg.m/S2） 线密度 (kg/m) 波腹位置 波节位置 (cm) （cm）

2、张力和线密度一定，改变弦长，测量弦线的共振频率和横波的传播速度 张力 （kg.m/S2） 线密度 (kg/m)

弦线长度（cm） 波腹位置 （cm） 波节位置 (cm) 波腹数 波长 (cm) 共振频率 （Hz） 传播速度V=2Lf/n (m/s) 波腹数 波长 (cm) 共振频率 （Hz） 频率计算值 Tnf 2L 传播速度V=2Lf/n (m/s) 作弦长与共振频率的关系图

3、弦长和线密度一定，改变张力，测量弦线的共振频率和横波的传播速度 弦长 (cm) 线密度 (kg/m)

波腹位置 波节位置 (cm) （kg.m/S2） （cm） 张力波腹数 波长 (cm) 共振频率 （Hz） 传播速度V=2Lf/n (m/s) 作张力与共振频率的关系图。

根据 V  算出波速，这一波速与Vf=2Lf/n（f是共振频率，是波长）作比较,分析存在差别的原因。 作张力与波速的关系图。

4、弦长和张力一定，改变线密度，测量弦线的共振频率和线密度。 弦长 (cm) 张力 （kg.m/S2）

弦线 波腹位置 波节位置 (cm) (cm) 波腹数 波长 (cm) 共振频率 (Hz) 线密度Tρ=T(n/2Lf)2 (kg/m) 弦线1（Ф0.3） 弦线2（Ф0.4） 弦线3（Ф0.5） 比较测量所得的线密度与上述静态线密度有何差别，试说明原因。

七、实验注意事项

1、仪器应可靠放置，张力挂钩应置于实验桌外侧，并注意不要让仪器滑落。 2、弦线应可靠挂放，悬挂砝码的取放应动作轻小，以免使弦线崩断而发生事故。 3、挂砝码拉弦时注意调节保持张力杆水平。

八、思考题

1、通过实验，说明弦线的共振频率和波速与哪些条件有关？ 2、相同的驻波频率时，不同的弦线产生的声音是否相同？ 3、如果弦线有弯曲或者不是均匀的，对共振频率和驻波有何影响？ 4、换用不同弦线后，共振频率有何变化？存在什么关系？

附录： 乐理分析

常见的音阶由7个基本的音组成，用唱名表示即：do，re，mi，fa，so，la，si，用7个音以及比它们高一个或几个八度的音、低一个或几个八度的音构成各种组合就成为各种乐器的“曲调”。每高一个八度的音的频率升高一倍。

振动的强弱（能量的大小）体现为声音的大小，不同物体的振动体现的声音音色是不同

的，而振动的频率f则体现音调的高低。f = 261.6Hz的音在音乐里用字母c1表示。其相应的音阶表示为：c，d，e，f，g，a，b，在将c音唱成“do”时定为c调。人声及器乐中最富有表现力的频率范围约为60Hz~1000Hz。c调中7个基本音的频率，以“do”音的频率f = 261.6Hz为基准，按十二平均律*的分法，其它各音的频率为其倍数，其倍数值如表1所示：

表1 十二平均律各音阶频率

音名 频率 倍数 频率 Hz 261.6 293.7 c 1 d e f 4125g 127a 12912b 11c 2 523.2 2 2 2 2 212329.6 349.2 392.0 440.0 493.9 *注：十二平均律是目前世界上最通用的律制，在音的先后结合和同时结合上都不是那么纯正自然，但由于它转调方便，在乐器的演奏和制造上有着许多优点，在交响乐队和键盘乐器中得到广泛使用。常见的乐器都是参照上述表格确定的值制造的，例如钢琴，竖琴，吉它等。

金属弦线形成驻波后，产生一定的振幅，从而发出对应频率的声音。如果将驱动频率设置为表1所定的值，由弦振动的理论可知，通过调节弦线的张力或长度，形成驻波，就能听到与音阶对应的频率了（当然，这时候的环境噪音要小些）。这样做的特点是能产生准确的音调，有助于我们对音阶的判断和理解。