实验五矩阵范数和约当标准形

实验五 矩阵范数和约当标准形

1、原理

矩阵范数：若对任意的A∈Cmn，都有一个实数||A||与之对应，且满足下列四个条件： （1）正定性：如果A≠0，则||A||＞0；

（2）齐次性：对任意的k∈C||kA||=|k| ||A||；

×

（3）三角不等式：对任意的A，B∈Cmn，都有||A+B||≤||A||+||B||； （4）相容性：当矩阵乘积有意义时，都有||AB||≤||A|| ||B||。

×

则称||A||为Cmn上矩阵A的矩阵范数。 Jordan标准形：虽然一个矩阵不一定相似于对角阵，但这个n阶矩阵能相似于一个形式上比对角阵稍复杂的约当标准形J。

×

2、算法

常用的矩阵范数有列范数、行范数、谱范数。 ||A||1= max1jn|ai1nij|（列模和最大者），||A||∞= max|aij|（行模和最大者），

1inj1n||A||2=

n=maxi（n是矩阵AHA的最大特征值，也称谱范数）

iJordan标准形：将A（）的每个次数大于零的不变因式分解为互不相同的一次因式的

方幂的乘积，所有这些一次因式方幂，称为A（）的初级因子。

设矩阵A=（aij）n∈Cn

×n

全部初级因子为（1）k1，（2）k2，…，（t）kt

这里1，2，…，t可能有相同的，指数k1，k2，…，kt也可能有相同的，对每个初级因

i子（i）ki构成一个ki阶矩阵（jordan块）Ji=J1有这些约当块构成的分块对角矩阵J=J21i1（i=1,2，…，t），由所

1i称为矩阵A的Jordan的标准形。 Jt3、程序

矩阵范数和jordan在matlab中都有相应的函数来求解。如n = norm(X,2)，n = norm(X)，n = norm(X,1)，n = norm(X,Inf)就是求范数的一些函数，而约当标准形的求解就是一个jordan函数就行了，其调用格式为jordan（A），A是所求的矩阵。

4.例子

以教材上的矩阵A=[0 -3 1；2 1 -6；0 4 2]为例说明上述程序的正确性，在matlab中输1

路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 -

入以下求矩阵范数的指令：

以及以B=[-1 -2 6；-1 0 3；-1 -1 4]为例说明jordan标准形函数的正确性，在matlab中输入以下求矩阵范数的指令：

5、结果

输入上述指令以后，得到如下的结果：

这样，就可以用上述函数求解矩阵范数以及矩阵的jordan的标准形。

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