“工大出版社杯”第十五届西北工业大学数学建模B题论文

“工大出版社杯”第十五届西北工业大学数学 建模竞赛暨全国大学生数学建模竞赛选拔赛题目

B题

密封号

2014年5月4日

剪 切 线 密封号

2014年5月4日 学院 第 队

姓名 班级 队员1 队员2 队员3 装 订 线

摘 要

本文主要研究主要食品价格的波动特点及食品价格与CPI的关联度问题，通过对食品进行分类，建立模型，分析价格波动特点，预测2014年5月主要食品价格的变化走势，同时，分析食品价格与CPI指数的关系，找到价格与CPI指数关联度大的食品，从而达到仅仅通过监测尽量少的食品种类价格即能相对准确地计算、预测居民消费者价格指数，简化统计难度的效果。

问题一

针对食品价格波动特点，由于不同食品价格变化可能具有较大差别，我们搜集了2013年全年的主要食品价格，将涉及到的食品分为谷物、油脂、畜肉、禽蛋、水产、果蔬六类，建立价格标准，以2013年1月的食品价格为1，进行无量纲化处理，通过对食品与价格的简化与抽象建立模型，通过与标准参数比较，分别做出各种食品价格变动图表以及各类食品均值变化图表，综合对比，分析异同，从而得出各类食品的价格的季节性、周期性波动特点。

问题二

针对预测下月食品价格走势的问题，通过第一问的数据，分析出其属于预测问题。我们首先采用了处理两个变量之间关系的最简单的方法一元线性回归预测法进行预测。得出结果后，我们对结果进行了检验，发现一元线性回归预测法的精度不高，考虑到灰色预测法对于数据的要求不高，且精度较好，所以我们改用灰色预测法进行预测。我们建立GM（1,1）模型，利用第一问的数据，预测出5月的食品价格走势（2013年1月1-10日的价格=1）为： 谷物类 油脂类 畜肉类 禽蛋类 水产类 果蔬类 2014.5.1-10 1.0081 0.9938 0.9166 0.9933 0.9706 0.9681 2014.5.11-20 1.0093 0.9928 0.9058 0.9924 0.9661 0.9625 2014.5.21-30 1.0104 0.9919 0.51 0.9915 0.9617 0.9569

问题三

针对各个食品价格与CPI的关联度不同，我们运用灰色关联分析法进行建模，计算各类食品与CPI的关联度。得出：第一，在2013年1月至2014年4月期间，鸭、大米、白条鸡、鸡胸肉四种食品与CPI关联度达到了0.93以上，故我们可以认为，这四种食品的价格与CPI指数密切相关，故可以通过监测这四种食品的价格即能相对准确地计算、预测CPI指数；第二，在2013年1月至12月，在厦门市，有鸭蛋、鲢鱼、鲜带鱼、冻带鱼、猪精瘦肉、草鱼6类食品与CPI关联度>0.93，而在武汉市，有鲫鱼、菜籽油、鲜羊肉（带骨）、醋、鲜猪肉、鳙鱼等18类食品与CPI关联度大于0.93。故由武汉市和厦门市两地的数据得出，在同样精度要求下估算CPI时，两个地区所需要选取的食品种类几乎完全不同，食品种类数量差别更是明显。

关键词 ：聚类分析 无量纲化 灰色预测GM（1，1）模型 灰色关联分析法

1 2

2.1 2.2 2.3

3 4 5

5.1 5.2

谷物类食品价格变化特点 油脂类食品价格变化特点 畜肉类食品价格变化特点 禽蛋类食品价格变化特点 水产类食品价格变化特点 果蔬类食品价格变化特点 各类食品平均价格变化特点 5.3 问题二

目录

问题重述…………………………………………………………………1 问题分析

问题一的分析………………………………………………………………1 问题二的分析……………………………………………………...……….2 问题三的分析………………………………………………………………2 模型假设………………………………………………………………….2 符号说明……………………………………………………………….…2 模型的建立与求解

数据的处理………………………………………………………………...3 问题一…………………………………………………………………......3

(一) 模型的建立………………………………………………………………....6 1) 确定分析数列 ………………………………………………………………………7 2) 求均值数列………………………………………………………………....7 3) 计算预测值…………………………………………………………………7 4) 模型的检验………………………………………………………………....8 (二) 模型的求解…………………………………………………………………8 5.4 问题三

(一) 模型的建立………………………………………………………………...13 1) 确定分析数列……………………………………………………………...13 2) 变量的无量纲化……………………………………………………………13 3) 计算关联系数………………………………………………………………13 4) 计算关联度并排序………………………………………………………….14 (二) 问题3.1模型的求解………………………………………………………..14 (三) 问题3.2模型的求解………………………………………………………..16

6 模型的评价与推广

6.1 模型的评价………………………………………………………………...20 6.2 模型的推广………………………………………………………………...20 7 参考文献………………………………………………………………….20 8 附录……………………………………………………………………….21

1. 问题重诉

食品价格是居民消费价格指数的重要组成部分，食品价格波动直接影响居民生活成本和农民收入，是关系国计民生的重要战略问题。2000年以来，我国城镇居民家庭食品消费支出占总支出的比重一直维持在36%以上。在收入增长缓慢的情况下，食品价格上涨将使人民群众明显感到生活成本增加，特别是食品价格上涨将降低低收入群体的生活质量。居民消费者价格指数（CPI），是根据与居民生活有关的产品及劳务价格统计出来的物价变动指标，通常作为观察通货膨胀水平的重要指标。附件1给出了国家统计部门定期统计的50个城市的主要食品平均价格变动情况，附件2给出了近期居民消费者价格指数数据。试建立数学模型求解下列问题：

（1）根据附件以及相关统计网站的数据，分析我国食品价格波动的特点。 （2）对2014年5月份食品价格走势进行预测。

（3）目前统计部门需要监测大量食品价格变动情况以计算居民消费者价格指数变动情况，能否仅仅通过监测尽量少的食品种类（这里，食品种类是指附件1表格中的商品名称，可以认为每一种商品名称即为一种食品种类）价格即能相对准确地计算、预测居民消费者价格指数？在同样精度要求下，不同地区所选取的食品种类以及种类数目是否一致？请至少选择两个有特点的城市进行说明。

2.问题分析

2.1问题一的分析

问题需要对所涉及的27种商品进行分类，从数学角度讲其实是一个聚类的问题。聚类时可以考虑食品价格变化的相似性，如变化幅度等角度；同时还要考虑变化的相关性，即变化曲线的方向相似性。所以在聚类时要将这两个方向同时考虑。故我们将27种食品分为了6类。分别为：

谷物类：大米、面粉（富强粉）、面粉（标准粉）、豆腐 油脂类：花生油、大豆油、菜籽油

畜肉类：猪肉（后腿肉）、猪肉（五花肉）、牛肉、羊肉 禽蛋类：鸡（白条鸡）、鸡（鸡胸肉）、鸭、鲜鸡蛋 水产类：活鲤鱼、活草鱼、带鱼

果蔬类：大白菜、油菜、芹菜、黄瓜、西红柿、豆角、土豆、富士苹果、香蕉

以食品中的谷物类为例，分析题目中的各个种类的食品的有关数据，我们得出，原题中给出的数据仅进能表现出价格的环比变化，不能直观的给出时间范围内的价格总体趋势。所以我们建立价格变化标准，以2013年1月的价格为1，计算出每种食品每一期（以一月为一期）的变化率，对题目中的信息进行统计计算，最后评价数据的可靠性，由这些数据作出价格的相对变化图像，以此为依据，分析我国食品价格波动的特点。

1

2.2问题二的分析

问题二要求我们对2014年5月的食品价格走势进行预测。由于它属于预测问题，我们首先采用了处理两个变量之间关系的最简单的方法——一元线性回归预测法进行预测。得出结果后，我们对结果进行了检验，发现一元线性回归预测法的精度不高，所以我们改用灰色预测法进行预测。而灰色理论的GM模型进行建模时,并不直接采用已知的数据,而是通过对已知数据的再加工、即对灰数生成的数据进行处理来挖掘数据之间的内在联系,通过这种加工得到的数据及所建立的灰色模型,可以更好地揭示特定系统的运行机制和本质特征。对结果进行分析后，我们发现采用灰色预测法较一元线性回归的预测精度要高。所以我们采用灰色预测法进行处理。

2.3问题三的分析

问题三要求我们我们对各类食品与CPI的关系进行分析，得出能否通过尽量少的食品种类价格来相对准确的计算和预测CPI，并让我们分析在同等精度要求下，不同地区的可作为代表的食品种类和种类数目是否一致。由于属于关联度分析问题，我们采用了灰色关联分析法进行建模，分析各种食品价格与CPI指数的关联度大小，从而得出结论。

3.模型假设

（1）假设题中提供的背景数据以及我们收集到的数据准确无误

（2）假设在预测期间没有可以严重影响到食品价格的重大事件发生。

（3）假设在预测前，对食品的供给量有充足的保障，消费量不会突然变化。 （4）假设CPI对于各类食品价格的影响相同。 4.符号说明

使用符号 符号说明

x(0)

参考数据列 均值数列 残差 相对残差 参考数列 比较数列 关联系数

分辨系数

z(1)

E(k)

e(k)

Y

Xi

i(k)



5.模型的建立与求解

2

5.1数据的处理

本题中给出的数据无法直观的反映出不同年月的食品价格之间的关系,并且在第三问中，题目所给数据明显偏少，不能准确得出结果。所以我们以2013年1月1日至10日的主要食品平均价格作为1，进行无量纲化处理，整理出从2014年1月1日起至2014年4月10日的食品价格相对值表，并且在第三问中，从国家统计局网站（附件三）上查找出了2013年全年每月的全国50个城市的主要食品价格，从厦门市统计信息网（www.stats-xm.gov.cn/tjzl）和武汉市城市居民食品零售价格数据（附件三）并同样的进行无量纲化处理（见附录表一）。并依照次数据进行计算、分析及预测。

5.2问题一

经过数据处理，可以得出各类食品的价格随时间的变化特点。将其作出折线图，就能很直观的得出主要食品价格波动的特点。 5.2.1谷物类食品价格变化特点

谷物类价格指数1.1000001.0800001.0600001.0400001.0200001.0000000.9800000.9600000.9400000.9200000.900000大　米 粳米面　粉 （富强粉）面　粉（标准粉）豆制品 豆腐平均值多项式 (平均值)现价/均价2013年201月13年203月13年205月13年207月1320年913月年2011月14年201月14年3月

图1：谷物类食品价格变化指数

特点：在这1年3个月时间内，谷物类食品在需求和供应上都相对非常稳定，所以价格均比较稳定，只是逐渐有一点上涨的趋势，但上涨并不明显，价格均在基准线附近小幅波动。

5.2.2油脂类食品价格变化特点

3

油脂类价格指数1.0600001.0400001.0200001.0000000.9800000.9600000.9400000.9200000.9000000.8800000.8600000.840000花生油 压榨一级大豆油 5L桶装菜籽油 一级散装平均值多项式 (平均值)现价/均价图2：油脂类食品价格变化指数

特点：从数据与图像可以得出，这13个月中，菜籽油有小幅度的上涨，大豆油和花生油有小幅度的下降，但总体来说，油脂类食品的价格变化不大，这些食品在国内市场上主要由一些大的食品公司加工生产销售，这些公司具有一定的调节能力，在原料供应和库存不发生太大变化的情况下，价格会比较平稳。 5.2.3畜肉类食品价格变化特点 畜肉类价格指数 1.150000 1.100000 猪肉(后腿肉)1.050000 猪肉(五花肉）1.000000 0.950000牛　肉（腿肉）0.900000羊　肉（腿肉） 0.850000平均值 0.800000多项式 (平均值) 0.750000 0.700000 图3：畜肉类食品价格变化指数

特点：在这13个月中，我们发现牛羊肉均是小幅度增长，变化幅度不太大，波动较小，但是猪肉的价格波动就出现明显的波动，且幅度较大，这与我国国内生猪价格出现周期性波动的情况密切相关，受到生猪价格的周期性波动影响，猪肉价格也呈现出周期性的波动。

现价/均价

2013年201月13年203月13年205月13年207月13年9月2013年11月2014年201月14年3月4

2013年201月13年203月13年205月13年207月1320年913月年2011月14年201月14年3月 5.2.4禽蛋类食品价格变化特点

鸡(白条鸡)鸡(鸡胸肉）鸭（白条鸡）鸡　蛋平均值多项式 (平均值)1.100000现价/均价 1.0500001.0000000.9500000.9000000.8500000.800000 2013年1月2013年3月2013年5月2013年7月2013年9月2013年11月2014年1月2014年3月 禽蛋类价格指数图4：禽蛋类食品价格变化指数

特点：分析数据和图像，可以看出鸡蛋在这13个月时间内，价格非常不稳定，变化趋势异常，价格涨幅与跌幅都较大，说明鸡蛋市场近期不太稳定。而其他禽肉由于目前养殖业的规模化发展而使得供应较为稳定，这些需求也属于较为刚性的需求，所以价格表现的较为稳定。 5.2.5水产类食品价格变化特点 水产类价格指数 1.140000 1.1200001.100000 活鲤鱼1.080000 1.060000活草鱼 1.040000带　鱼1.020000 平均值1.000000 0.980000多项式 (平均值)0.960000 0.940000 0.920000 图5：水产类食品价格变化指数

特点：水产类食品的价格在13个月中呈现出较为不稳定的情况，其中以活草鱼最为不稳定，价格具有较为明显的涨跌。不过这些价格变化都具有明显的周期性，随着季节在明显的变化，在7-9月时由于鱼类供应下降，鱼类价格基本都处于较高的水平。

现价/均价

2013年201月13年203月13年205月13年207月13年9月2013年11月2014年201月14年3月5

5.2.6果蔬类食品价格变化特点

果蔬类价格指数 1.600000 大白菜1.400000 油　菜 1.200000芹　菜 黄　瓜1.000000 西红柿0.800000 豆　角 0.600000土　豆 苹　果0.400000 香　蕉 平均值多项式 (平均值) 图6：果蔬类食品价格变化指数

特点：从数据中分析得出，水果、蔬菜的价格都呈现出明显的季节性变化，每种果蔬在随着季节变化而不断的变化，同时由于果蔬受自然灾害和病虫害的影响非常大，所以时长出现不规律的波动。总的说，果蔬类的价格都较为不稳定。

5.2.7各类食品平均价格变化特点 1.300000 1.250000 1.200000谷物类平均值 1.150000油脂类平均值 1.100000畜肉类平均值 1.050000禽蛋类平均值1.000000 水产类平均值0.950000 果蔬类平均值0.900000 0.850000 0.800000 图7：各类食品平均价格变化指数

特点：从最后的统计中发现，谷物、油脂、禽蛋和大部分畜肉类的食品的价格较为稳定，变化幅度较小，均在标准线附近小幅波动。而果蔬、水产和畜肉中的猪肉价格较为不稳定，都出现了较为明显的季节性、周期性波动。

5.3问题二 （一）模型的建立

灰色预测是指利用GM 模型对系统行为特征的发展变化规律进行估计预测，同时

现价/均价1月3月5月7月9月1月2013年201月13年203月13年205月13年207月13年9月2013年11月2014年201月14年3月2013年2013年2013年2013年11月2014年6

2013年

2013年2014年3月也可以对行为特征的异常情况发生的时刻进行估计计算，以及对在特定时区内发生事件的未来时间分布情况做出研究等等。这些工作实质上是将“随机过程”当作“灰色过程”，“随机变量”当作“灰变量”，并主要以灰色系统理论中的GM(1,1)模型来进行处理。

GM（1,1）模型的建立： （1） 确定分析数列 设已知参考数据列为x(0)(x(0)(1),x(0)(2),...,x(0)(n))，做1次累加生成数列:

x(1)(x(1)(1),x(1)(2),...,x(1)(n))(x(1)(1),x(1)(1)x(0)(2),...,x(1)(n1)x(0)(n))

(0)x(k)X(i) （k=1,2,„,n）。 其中

(1)i1k（2）求均值数列

z(1)(k)0.5x(1)(k)0.5x(1)(k1), k = 2,3⋯n 则z(1)z(1)(2),z(1)(3),...,z(1)(n)。

于是建立灰微分方程为

z(0)(k)az(1)(k)b, k=2,3,„,n

相应的白化微分方程为 （3）计算预测值

dx(1)ax(1)(t)b， dtz(1)(2)1(1)z(3)1TT记u=a,b， Y=x(0)(2),x(0)(3),...,x(0)(n)， B=，最小二乘法，

(1)z(n)1求得

u(a,b)T(BTB)1BTY，

使得J(u)(YBu)(YBu)达到最小值。 于是可求得白化微分方程的解，即最终的模型

^^T^^bakbx(k1)(x(1))e， k=0,1,„,n-1,„

aa(1)(0) 7

（4）模型的检验 残差检验：分别计算 残差：

E(k) =x(0)(k)x(1)(k)，k=2,3,,„,n

相对残差：

x(0)(k)x(1)(k)e(k)，k=2,3,,„,n (0)x(k)（二）模型的求解

取样本数据列为从2014年1月至4月10日，以10天为单位的50个城市主要食品价格，经过统一化处理分别得： 谷物类：

x(0)=（0.996942,0.994393，0.998521,1.0000,0.999396，

0.999396,1.000027,1.000374,1.004987,1.0059） 油脂类：

x(0)=（0.997105,1.001307,1.002176,1.002904,1.003583，

1.001803,1.001066,0.999203,0.998148,0.992706） 畜肉类：

x(0)=（1.031261,1.026975,1.036561,1.035686,1.013197,

0.995942，0.983990,0.971324,0.957902,0.947162）

禽蛋类：

x(0)=（1.004856,1.004441,1.008585,1.003458,0.997397,

0.990039,0.991516,0.997445,1.0007,1.001615）

水产类：

x(0)=（0.976932，0.981476，1.033207，1.047602，1.013670，

1.000007，0.992020，0.986691，0.984235，0.984160）

果蔬类：

x(0)=（0.9221，0.939326，1.0775，1.084602，1.031114，

1.020503，1.017799，1.001059，0.975269，0.953388）

采用Matlab软件，根据以上建模原理编写程序（附录一）可以解得： 谷物类：b =0.9942，a =-0.0011 则最终模型为：x(k1)5.8049e所得结果如下表：

表1：谷物类实际值、相对值和相对残差 实际值 预测值 相对残差 2014.1.1-10 0.996942 0.9969 0.000042

8

(1)0.0011111k4.808

2014.1.11-20 0.994393 2014.1.21-30 0.998521 2014.2.1-10 1.0000 2014.2.11-20 0.999396 2014.2.21-28 0.999396 2014.3.1-10 1.000027 2014.3.11-20 1.000374 2014.3.21-30 1.004987 2014.4.1-10 1.0059

油脂类：b=1.0055，a=0.00093831 则最终模型为：x(1)0.9959 0.997 0.9981 0.9992 1.0003 1.0014 1.0026 1.0037 1.0048 -0.001515 0.001523 0.0019 0.000197 -0.000904 -0.001373 -0.002225 0.001280 0.001092

(k1)1070.599e0.00093831k1071.5961

所得结果如下表：

表2：油脂类实际值、相对值和相对残差 实际值 预测值 相对残差 2014.1.1-10 0.997105 0.9971 0.000005 2014.1.11-20 1.001307 1.0041 -0.0027 2014.1.21-30 1.002176 1.0031 -0.000922 2014.2.1-10 1.002904 1.0022 0.000702 2014.2.11-20 1.003583 1.0013 0.002274 2014.2.21-28 1.001803 1.0003 0.001501 2014.3.1-10 1.001066 0.9994 0.0016 2014.3.11-20 0.999203 0.9984 0.000803 2014.3.21-30 0.998148 0.9975 0.0009 2014.4.1-10 0.992706 0.9966 -0.003923

畜肉类：b=1.0630，a=0.0119

则最终模型为：x(k1)88.4534e所得结果如下表：

表3：畜肉类实际值、相对值和相对残差 实际值 预测值 相对残差 2014.1.1-10 1.031261 1.0313 -0.000038 2014.1.11-20 1.026975 1.0405 -0.013169 2014.1.21-30 1.036561 1.0322 0.004207 2014.2.1-10 1.035686 1.02 0.015145 2014.2.11-20 1.013197 1.008 0.005130 2014.2.21-28 0.995942 0.9961 -0.000159 2014.3.1-10 0.983990 0.9727 0.011474 2014.3.11-20 0.971324 0.9612 0.010423 2014.3.21-30 0.957902 0.9498 0.008458 2014.4.1-10 0.947162 0.9386 0.009040

禽蛋类：b=1.0043，a=0.00088727

(1)0.011879k.4847

9

则最终模型为：x(1)(k1)1130.9465e0.00088727k1131.9514

所得结果如下表：

表4：禽蛋类实际值、相对值和相对残差 实际值 预测值 相对残差 2014.1.1-10 1.004856 1.0049 -0.000044 2014.1.11-20 1.004441 1.003 0.001435 2014.1.21-30 1.008585 1.0021 0.0030 2014.2.1-10 1.003458 1.0012 0.002251 2014.2.11-20 0.997397 1.0003 -0.002910 2014.2.21-28 0.990039 0.9995 -0.009557 2014.3.1-10 0.991516 0.9986 -0.007144 2014.3.11-20 0.997445 0.9977 -0.000255 2014.3.21-30 1.0007 0.9968 0.003844 2014.4.1-10 1.001615 0.9959 0.005705

水产类：b=1.0280, a=0.0046 则最终模型为：x(1)(k1)221.6688e0.0046174k222.57

所得结果如下表:

表5：水产类实际值、相对值和相对残差 实际值 预测值 相对残差 2014.1.1-10 0.976931 0.9769 0.000032 2014.1.11-20 0.981476 1.0212 -0.040474 2014.1.21-30 1.033207 1.0165 0.016170 2014.2.1-10 1.047603 1.0118 0.034176 2014.2.11-20 1.013669 1.0071 0.0080 2014.2.21-28 1.000007 1.0025 -0.002493 2014.3.1-10 0.992020 0.9979 -0.005927 2014.3.11-20 0.986691 0.9933 -0.006698 2014.3.21-30 0.984235 0.9887 -0.004537 2014.4.1-10 0.984160 0.9841 0.000061

果蔬类：b=1.0408,a=0.0058 则最终模型为：x(1)(k1)177.3299e0.0058388k178.2521

所得结果如下表:

表6：果蔬类实际值、相对值和相对残差 实际值 预测值 相对残差 2014.1.1-10 0.9221 0.9222 -0.000039 2014.1.11-20 0.939326 1.0324 -0.099085 2014.1.21-30 1.0775 1.02 0.026901 2014.2.1-10 1.084602 1.0204 0.059194 2014.2.11-20 1.031114 1.0144 0.016210 2014.2.21-28 1.020503 1.0085 0.011762

10

2014.3.1-10 1.017799 1.0027 0.014835 2014.3.11-20 1.001059 0.9968 0.004255 2014.3.21-30 0.975269 0.9910 -0.016130 2014.4.1-10 0.953388 0.9853 -0.033472

由此可得，相对残差平均值为0.000526，参照表7，

表7：精度检验等级参照表

相对残差指标临界

等级精度 处 一级 0.01 二级 0.05 三级 0.1 四级 0.2

得到预测模型的精度达到一级。

用此模型预测出2014年5月1日到30日，每十天的全国50城市的各类主要食品平均价格走势（2013年1月1-10日平均值=1）为：

表8：预测各类主要食品在5月的价格走势

谷物类 油脂类 畜肉类 禽蛋类 水产类 果蔬类 2014.5.1-10 1.0081 0.9938 0.9166 0.9933 0.9706 0.9681 2014.5.11-20 1.0093 0.9928 0.9058 0.9924 0.9661 0.9625 2014.5.21-30 1.0104 0.9919 0.51 0.9915 0.9617 0.9569 用Matlab做出实际值与预测值图像分别如下： 谷物类：

图8.谷物类食品实际值与预测值

油脂类：

11

图9.油脂类食品实际值与预测值

畜肉类：

图10.畜肉类食品实际值与预测值

禽蛋类：

图11.禽蛋类食品实际值与预测值

水产类：

图12.水产类食品实际值与预测值

果蔬类：

12

图13.果蔬类食品实际值与预测值

5.4问题三 （一）模型的建立

灰色关联分析是根据各因素变化曲线几何形状的相似程度，来判断因素之间关联程度的方法。此方法通过对动态过程发展态势的量化分析，完成对系统内时间序列有关统计数据几何关系的比较，求出参考数列与各比较数列之间的灰色关联度。与参考数列关联度越大的比较数列，其发展方向和速率与参考数列越接近，与参考数列的关系越紧密。灰色关联分析方法要求样本容量可以少到4个，对数据无规律同样适用，不会出现量化结果与定性分析结果不符的情况。其基本思想是将评价指标原始观测数进行无量纲化处理，计算关联系数、关联度以及根据关联度的大小对待评指标进行排序。 （1）确定分析数列

确定反映系统行为特征的参考数列和影响系统行为的比较数列。反映系统行为特征的数据序列，称为参考数列。影响系统行为的因素组成的数据序列，称比较数列。

设参考数列（又称母序列）为Y={Y(k) | k = 1,2,„,n}；比较数列（又称子序列）Xi={Xi(k) | k = 1,2,„,n},i = 1,2,„,m。 （2）变量的无量纲化

由于系统中各因素列中的数据可能因量纲不同，不便于比较或在比较时难以得到正确的结论。因此在进行灰色关联度分析时，我们将数据进行无量纲化处理。

（3）计算关联系数

x0(k)与xi(k)的关联系数

记

，则

，称为分辨系数。ρ越小，分辨力越大，一般ρ的取值区间为

13

(0,1),具体取值可视情况而定。当时，分辨力最好，这里我们取取

ρ = 0.5。

（4）计算关联度并排序

因为关联系数是比较数列与参考数列在各个时刻（即曲线中的各点）的关联程度值，所以它的数不止一个，而信息过于分散不便于进行整体性比较。因此有必要将各个时刻（即曲线中的各点）的关联系数集中为一个值，即求其平均值，作为比较数列与参考数列间关联程度的数量表示，关联度ri公式如下：

得出关联度后，将关联度按大小排序，如果r1 < r2，则参考数列Y与比较数列x2更相似。

（二）问题3.1模型的求解

取样本数据列为从2013年1月至2014年3月，以1个月为单位的50个城市主要食品价格，经过无量纲化处理分别得：

参考数列CPI:Y={ 1.0000 1.0010 0.9812 0.9921 0.9842 0.9901 0.9911 0.9950 0.9980 0.9911 0.91 0.9931 1.0000 0.9950 0.9851}

大米：X1={1.0000 0.9994 0.9965 0.9942 0.99 0.9965 0.9977 0.9988 1.0000 1.0023 1.0041 1.0029 1.0296 1.0319 1.0342}

富强粉：X2={1.0000 1.0170 1.0163 1.0163 1.0215 1.0209 1.0268 1.0300 1.0398 1.0457 1.0496 1.0568 1.0731 1.07 1.0809}

标准粉:X3={1.0000 1.0202 1.0249 1.0249 1.0273 1.0304 1.0296 1.0350 1.0421 1.0436 1.0444 1.0460 1.0491 1.0491 1.0514} 豆腐:X4={1.0000 1.0121 1.0137 1.0201 1.0306 1.03 1.0346 1.0378 1.0443 1.0451 1.0499 1.0596 1.0717 1.07 1.07} 花生油：X5={1.0000 0.9992 1.0039 1.0049 1.0026 0.9943 0.95 0.9826 0.9622 0.9598 0.9532 0.9451 0.9313 0.9321 0.9304} 大豆油：X6={1.0000 1.0090 1.0071 1.0003 0.9752 0.9484 0.9400 0.9209 0.9171 0.9206 0.9211 0.9179 0.9187 0.9184 0.91} 菜籽油：X7={1.0000 1.0082 1.0134 1.0218 1.0139 1.0161 1.0121 1.0102 1.0047 1.0094 1.0107 1.0059 1.0379 1.0453 1.0404} 猪后腿肉：X8={1.0000 1.00 0.9050 0.8429 0.8391 0.8822 0.9006 0.9419 0.9590 0.9527 0.9487 0.92 0.9335 0.72 0.8309} 五花肉：X9={1.0000 1.0077 0.9058 0.8448 0.8368 0.8791

14

0.41 0.9353 0.9521 0.9492 0.9437 0.9497 0.9387 0.97 0.8338} 牛肉：X10={1.0000 1.0456 1.0246 1.0220 1.0314 1.0423 1.0526 1.05 1.0701 1.0796 1.0871 1.0955 1.1141 1.1231 1.1091} 羊肉：X11={1.0000 1.0348 1.0218 1.0230 1.0273 1.0349 1.0407 1.0423 1.0469 1.0496 1.0660 1.0801 1.1015 1.1135 1.0996} 白条鸡：X12={1.0000 1.0271 1.0107 0.9621 0.9315 0.9572 0.9701 0.9757 0.9831 0.9843 0.98 0.9879 0.9956 0.9951 0.9930} 鸡胸肉：X13={1.0000 1.0112 1.0090 0.9801 0.9585 0.97 0.9658 0.9690 0.9720 0.9728 0.9752 0.9808 0.9861 0.9826 0.9797} 白条鸭：X14={1.0000 1.0399 1.0365 0.97 0.9553 0.9744 0.97 0.9956 0.9968 0.9930 0.9956 0.9988 0.9966 1.0070 1.0087} 鸡蛋：X15={1.0000 0.9814 0.9114 0.8751 0.8742 0.8748 0.8587 0.9309 1.0099 0.9405 0.9191 0.9219 0.9331 0.46 0.62} 活鲤鱼：X16={1.0000 1.0697 1.0142 1.0094 1.0046 0.9995 0.99 1.0053 1.0181 1.0099 0.9957 1.0010 1.0326 1.0615 1.0113} 活草鱼：X17={1.0000 1.0639 1.0403 1.0562 1.0727 1.0862 1.0993 1.1176 1.1105 1.0860 1.0605 1.05 1.0757 1.1004 1.0676} 带鱼：X18={1.0000 1.0294 0.9996 1.0013 1.0053 1.0235 1.0328 1.0347 1.0373 1.0367 1.0330 1.0363 1.0429 1.0626 1.0424} 大白菜：X19={1.0000 1.1069 1.01 1.4926 1.37 1.2003 1.3031 1.3708 1.3315 1.1570 0.9959 0.58 0.8660 0.9513 0.9350} 油菜：X20={1.0000 0.9355 0.7179 0.9025 0.7331 0.7604 0.8663 0.9727 0.9234 0.7829 0.7226 0.7105 0.7625 0.8500 0.8296} 芹菜：X21={1.0000 1.0704 0.7667 0.8250 0.8429 0.8439 0.9191 0.9911 1.0137 1.0573 0.9748 0.8786 0.33 0.44 0.8345} 黄瓜：X22={1.0000 1.3666 1.0799 0.8203 0.6205 0.5991 0.6605 0.68 0.8041 0.8726 0.8626 0.8459 0.9743 1.1503 1.0067} 西红柿：X23={1.0000 1.0349 0.9045 1.0019 0.8468 0.6903 0.6873 0.6966 0.8686 1.0388 1.14 1.0208 1.2167 1.2821 1.2249}

15

豆角：X24={1.0000 1.2166 1.1128 1.1124 0.9159 0.7178 0.6716 0.6980 0.8286 0.82 0.88 0.9657 1.4596 1.5081 1.3076} 土豆：X25={1.0000 1.0692 1.0530 1.1248 1.18 1.1214 1.0427 1.0265 1.0197 0.9932 1.0513 1.0778 1.11 1.1923 1.1872} 苹果：X26={1.0000 1.0448 1.0378 1.0461 1.0578 1.0822 1.1013 1.1053 1.1230 1.0923 1.0595 1.0769 1.1344 1.1799 1.1926}

香蕉：X27={1.0000 1.1683 1.1949 1.25 1.3996 1.3925 1.3067 1.2703 1.2716 1.1326 1.0676 1.1397 1.3255 1.4600 1.4737}

得出数据后，采用matlab软件进行编程（程序见附件二）计算得各类食品价格与CPI变动的关联度为： 鸭 大 米 鸡(白条鸡) 鸡(鸡胸肉 活鲤鱼 菜籽油 花生油 带 鱼 面 粉 0.9534 0.9521 0.93 0.9368 0.9216 0.9144 0.9073 0.8792 0.8582 面 粉 大豆油 豆制品 羊 肉 猪肉(后腿肉) 牛 肉 鸡 蛋 猪肉(五花肉） 活草鱼 0.8516 0.8439 0.8433 0.816 0.75 0.7881 0.7863 0.7841 0.7627 土 豆 芹 菜 苹 果 西红柿 大白菜 油 菜 黄 瓜 豆 角 香 蕉 0.7598 0.7567 0.7372 0.6756 0.81 0.3 0.6228 0.5974 0.5279 根据经验，当两因素的关联度大于0.6时，即可认为两者关联度显著。我们得出的数据中，可以看出大多数食品与CPI的关联度都大于0.6，故我们在以上数据中选取关联度大于0.9的食品进行排序：鸭>大米>白条鸡>鸡胸肉>活鲤鱼>菜籽油>花生油。其中，鸭，大米，白条鸡，鸡胸肉这四种食品更是达到了0.93以上，故我们可以认为，这四种食品的价格与CPI指数密切相关，故可以仅仅通过监测这四种食品的价格即能相对准确地计算、预测CPI指数。从数据中我们可以看到，谷物类和禽蛋类等与温饱密切相关的食品价格与CPI关联度最大，果蔬类食品与CPI关联度最小，也说明了当前人们的主要生活水平仍然未达到小康的标准。 结果分析：鸭，大米，白条鸡，鸡胸肉这四种食品价格与CPI指数关联度非常大，可以作为代表，通过检测这些食品即可相对准确地计算、预测CPI指数。 （三）问题3.2模型的求解

取样本数据列为从2013年1月至2014年1月，以1个月为单位的厦门市和武汉市主要食品价格，经过无量纲化处理（2013年1月=1）分别得： 厦门市参考数列与各个食品的数列：

1 1.0079 0.9912 0.9961 0.92 1.0010 1.0029 1.0029 1.0206 1.0246 1.0177 1.0118 厦门CPI

1 0.92 0.90 0.9483 0.9483 0.9483 0.9483 0.8621 0.8621 0.8621 0.8621 0.8621 菜籽油

1 0.92 0.90 0.9483 0.9483 0.9483 0.9483 0.8621 0.8621 0.8621 0.8621 0.8621 大豆油

1 0.74 1.0000 1.0000 0.9000 1.0000 0.9179 0.9179 1.0000 1.0000 0.8462 0.8462 醋

1 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.3000 1.3000 1.3000 1.3000 1.3000 1.3000 食用盐

1 1.0256 1.0385 0.9744 0.9231 0.9615 0.9487 1.0256 1.11 1.11 1.11 1.11 纯牛奶

1 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.5631 0.5631 0.5631 0.5631 0.5631 红糖

16

鲜牛奶 猪精瘦肉 猪肋条肉 排骨 鲜牛肉 鲜羊肉 活鸡 活鸭 鸡肉 鸡蛋 鸭蛋 带鱼冻 带鱼鲜 草鱼 鲫鱼 鲢鱼 芹菜 大白菜 油菜 黄瓜 萝卜 茄子 西红柿 豆角 土豆 胡萝卜 青椒 尖椒 圆白菜 蒜苔 韭菜 空心菜 花菜 芦柑 香蕉 西瓜 大蒜 生姜 上海青

1 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0556 1.1667 1.1667 1.1667 1.1667 1.1667 1.1667 1 1.0238 0.9762 0.9286 0.9286 0.9286 0.9762 1.0000 1.0000 0.9762 0.9286 0.9286 1 0.9487 0.9231 0.8718 0.8462 0.74 0.74 0.9744 1.0000 1.0000 1.0000 0.9615 1 1.0769 0.23 0.8769 0.8769 0.9231 0.9385 1.0000 1.01 1.0000 0.9231 0.9692 1 1.1383 1.0851 1.0638 1.0532 1.0532 1.0745 1.10 1.1170 1.1170 1.1170 1.1170 1 1.1765 1.1471 1.1471 1.1471 1.1176 1.1176 1.1176 1.1176 1.1176 1.0882 1.1029 1 1.0513 1.0256 0.7949 0.7692 0.7692 0.7692 0.7692 0.7692 0.8205 0.8462 0.8462 1 1.0741 1.0741 1.0000 1.0000 1.0000 1.0741 1.1852 1.2222 1.2222 1.2222 1.2222 1 1.0000 1.0000 0.88 0.7917 0.8333 0.8333 0.8333 0.8333 0.88 0.9167 0.9167 1 0.9817 0.02 0.8415 0.8415 0.8415 0.8415 0.9146 1.0000 0.9329 0.8780 0.8780 1 1.0208 0.9375 0.9375 0.9375 0.9375 0.9375 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1 1.0714 1.0714 1.0714 1.0714 1.0714 1.0714 1.0000 1.0000 1.0238 1.0000 1.0000 1 1.1733 1.1067 1.0000 1.0000 1.0000 0.9600 0.9867 0.9867 0.9867 0.9600 1.0000 1 1.0833 1.0208 1.0000 1.0313 1.0625 1.0625 1.0625 1.0625 1.0625 1.0625 1.0625 1 1.0000 0.9444 0.9167 0.9583 1.0000 1.0000 1.0000 1.1667 1.1667 1.1667 1.1667 1 1.0980 1.0196 1.0000 1.0294 1.0588 1.0588 1.0392 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1 0.9444 0.5556 1.0556 1.3333 1.3333 1.4444 1.6667 1.7778 1.9444 1.5000 1.2500 1 1.1111 0.6667 1.0222 1.3333 1.1111 1.6667 1.7778 1.4444 1.6667 1.1667 1.0000 1 0.5692 0.7077 1.5385 1.1538 1.1538 1.0769 1.3846 1.3077 0.7692 1.1538 0.8077 1 1.0000 1.1429 1.1857 0.93 0.7143 1.0000 0.8571 1.0714 1.2143 0.8571 0.8571 1 0.7843 0.90 0.6275 0.7353 0.9804 0.9804 1.0392 1.0980 1.0000 0.8824 0.7941 1 0.9286 1.0000 1.7143 1.7143 1.3571 1.1429 1.0000 1.2857 1.4286 1.0714 1.2857 1 0.8667 0.7733 0.8400 0.9000 0.8667 1.0000 1.1333 1.4000 1.6000 1.6000 1.4000 1 0.9706 1.0000 1.0000 0.6176 0.7059 0.8824 0.7353 0.9412 0.9412 0.7941 0.8382 1 0.9231 1.0000 1.1538 0.9231 1.2308 1.1538 1.1538 1.1538 1.1538 1.1538 1.1538 1 0.9231 0.9231 0.9231 0.9231 1.2308 1.2308 1.1538 1.3846 1.2308 1.1538 1.0385 1 0.9167 0.8333 1.1250 1.1250 1.1250 1.0833 1.0000 1.0000 1.2500 1.1250 1.0625 1 0.8421 0.47 1.1579 1.1053 1.1053 1.0000 1.1579 1.2632 1.3684 0.9474 1.1053 1 0.8333 0.4667 0.6667 0.8750 0.7500 0.9167 1.2500 1.1667 1.3333 0.8750 0.7500 1 1.0714 1.2143 1.7143 1.0714 0.8571 1.0000 1.0000 1.0357 1.1429 1.0714 1.0179 1 0.9500 0.8000 0.8500 0.7500 0.9000 0.9000 0.9000 0.9500 1.2000 1.2000 0.9000 1 0.7391 0.7826 1.3043 0.7174 0.5217 0.5652 0.6087 0.6087 0.6522 0.7174 0.7826 1 0.8462 0.8462 1.1538 1.2692 1.6923 2.2308 1.7692 2.0000 2.1538 1.3846 1.1538 1 1.1667 1.2500 1.2500 1.2500 1.5000 1.2500 1.2500 1.2500 1.2500 1.2500 1.2500 1 1.0000 1.0926 1.3148 1.38 1.38 1.38 1.3519 1.2778 1.2222 1.1111 1.1111 1 1.2857 1.2857 1.2857 1.2857 1.1429 0.29 0.29 0.29 0.29 0.29 0.29 1 1.0606 1.0909 1.0909 1.0909 1.0000 1.0606 1.0909 1.0909 0.9697 0.7273 0.8182 1 1.0000 1.0000 1.1111 1.1667 1.3333 1.4444 1.6667 1.6667 1.88 2.0000 2.0000 1 0.67 0.6552 1.7241 0.9052 1.6379 1.3793 1.5517 1.4655 0.8621 1.2931 0.9052

武汉市参考数列与各个食品的数列：

1.0000 0.9980 1.0039 1.0049 1.0059 1.0010 1.0020 0.9990 0.9971 武汉CPI 1 1.0088 0.9951 1.0015 1.0270 1.0122 1.0207 0.9981 0.9828 0.9671 0.9901 0.9710 菜籽油 1 1.0146 1.0111

17

0.9968 0.9066 0.8776 0.8638 0.9025 0.8510 0.8492 0.8434 0.8434 大豆油 1 0.99 0.99

1.0082 1.0727 1.0727 1.0585 1.0071 1.0355 1.0460 1.0484 1.0834 花生油 1 1.0575 1.0597

0.9967 0.9795 0.9552 0.9510 0.9574 0.9393 0.9366 0.9341 0.9269 调和油 1 1.0092 1.0088

0.9436 0.9347 1.0023 0.9861 1.0102 1.0284 0.9706 0.9908 0.9876 鲜猪肉 1 1.0700 0.9684

0.39 0.8131 0.8528 0.8609 0.9500 0.9211 0.9492 0.9147 0.9592 鲜猪肉 1 1.00 0.9112

0.9332 0.7867 0.8201 0.8428 0.9374 0.91 0.97 0.8738 0.9114 鲜猪肉 1 0.9848 0.8403

0.9352 0.8298 0.83 0.9252 0.9196 0.9879 0.9604 0.9481 0.91 鲜猪肉 1 1.08 0.8774

0.9957 1.0753 1.0868 1.0666 1.0134 1.1376 1.1683 1.2375 1.2490 鲜牛肉 1 1.1130 1.0781

0.9761 1.0638 1.0729 1.0662 0.99 1.1109 1.1419 1.2353 1.2424 鲜牛肉 1 1.1205 1.1025

鲜羊肉 1 鲜羊肉 1 鸡肉 1 鸡蛋 1 带鱼 1 草鱼 1 鲤鱼 1 鲢鱼 1 黄鱼 1 海虾 1 鳙鱼 1 鲫鱼 1 芹菜 1 大白菜 1 油菜 1 黄瓜 1 萝卜 1 茄子 1 西红柿 1 土豆 1 胡萝卜 1 青椒 1 尖椒 1 圆白菜 1 豆角 1 蒜苔 1 韭菜 1 苹果 1 香蕉 1 西瓜 1 橙子 1 梨 1 牛奶

1

1.0361 1.0153

1.0000 1.0153 1.0153 1.0153 1.00 1.0153 1.0153 1.0271 1.0800 1.0221 1.0217

0.9980 1.0155 1.0155 1.0155 1.0245 1.0155 1.0729 1.1006 1.0748 1.0627 1.0682 0.9332 0.9390 0.9162 0.9616 1.0277 1.0852 1.00 1.0107 1.0253 1.0342 0.9922 0.9210 0.17 0.9117 0.9103 0.9309 1.0833 1.0328 0.9822 0.9900 1.1975 1.2225 1.0014 1.2945 1.2832 1.2606 1.1009 1.2476 1.2469 1.2217 1.1910 1.1728 1.1099 0.9719 1.0104 1.0793 1.1323 1.0820 1.1219 1.0853 1.0590 1.1214 1.0115 1.0027 0.9984 0.90 1.0214 1.0203 1.0170 0.9797 0.9885 0.9929 1.0121 1.0090 1.0007 0.9979 0.9945 0.9813 0.9751 0.9371 0.8575 0.8568 0.8568 0.8568 0.9562 0.9206 0.9688 0.8855 0.8679 0.9212 0.9341 0.9433 0.9346 0.99 0.8679 1.1416 0.9755 1.0094 0.9636 0.9706 1.0228 0.9503 0.9284 0.9987 1.0723 1.1101 1.0665 1.0531 0.99 1.0349 1.0469 1.0469 1.0206 1.0249 0.9938 0.9780 0.9914 1.01 1.0602 1.0192 1.0939 1.1247 1.1342 1.0381 1.06 1.0584 1.0623 1.1126 1.2465 0.9470 0.9939 0.9931 1.1532 1.1636 1.2465 1.2834 1.2615 1.1521 1.0196 1.78 1.0066

1.6238 1.6213 1.4452 1.4751 1.5216 2.0532 1.8439 1.31 1.0365 1.2672 0.8232 1.1787 0.9771 1.0931 1.3563 1.48 1.6586 1.1727 0.8462 0.6950 1.1188 1.0872 0.7956 0.6111 0.5824 0.6006 0.8036 0.8391 0.8285 0.8381 0.8429 1.58 1.1185 0.8536 1.0836 1.4843 1.3449 1.4390 1.5017 1.4634 1.28 0.9129 1.2455 1.1996 1.1274 1.2512 0.92 0.6944 0.9828 0.9637 0.7861 0.9618 1.0344 1.2133 1.0122

1.0977 1.10 0.7822 0.7344 0.8144 1.0922 1.2156 1.45 1.2500 1.3556 1.1593 1.1518 1.1778 1.1426 1.1463 1.0870 1.1556 1.2111 1.1500 1.1667 1.5850 1.5850

1.1167 1.8775 1.9200 2.0075 1.6900 1.8875 1.6925 1.5825 1.4000 0.9629 0.41 1.33 0.80 0.6317 0.6824 0.9919 1.1041 1.0570 0.9041 0.23 1.0380 1.0470 1.2700 1.3509 1.0908 0.9717 1.1178 1.2563 1.2608 1.3947 1.28 1.3730 0.9730

0.9833 1.0757 1.0919 1.1838 1.2865 1.3703 1.40 1.1730 0.99 1.0828 0.9874 1.0919 0.93 0.6859 0.6137 0.7826 0.7058 0.8794 0.9430 0.96 1.2204 0.93 1.3128 1.1507 0.9732 1.0328 1.1507 1.08 1.0723 1.0281 0.9879 1.12 0.8234 0.9232 0.7456 0.15 0.6785 0.9175 0.8651 0.7386 0.7448 0.8211 1.05 1.0029 1.0051 1.0029 1.0662 1.1987 1.2090 1.2127 1.1803 1.15 1.2075 1.03 1.0573 0.9682 1.0855 1.09 1.0755 1.0100 1.0000 0.96 0.9400 0.9291 1.1192 1.1525 0.9534 0.8722 0.7411 0.44 0.6208 0.5113 0.74 0.7948 0.9012 1.2500 1.3092 1.0443 1.3973 1.4674 1.7222 1.8285 2.59 2.0942 1.4771 1.2850 1.1369 1.1236 0.49 0.9901 1.1082 1.1700 1.2185 1.1711 1.1523 1.1909 1.1766 1.0000 1.0000 1.0015 1.0136 1.0000 1.0076 1.0318 1.0682 1.0727 1.0879 1.1803

18

牛奶 奶粉 奶粉

1 1.0329 1.0500 1.0013 1.0355 1.0355 1.0618 1.0303 1.0566 1.1263 1.1526 1.1566 1 1.0290 1.0236 1.0000 1.0236 1.0236 1.0111 0.9904 0.9957 0.9957 1.0467 1.0253 1 0.9737 0.9812 1.0004 0.9727 0.9727 0.9905 1.0235 1.0128 1.0345 1.0335 1.0142

1.0000 1.1478 1.1478 1.1913 1.1870 1.2783 1.2783 1.2783 1.2783 矿泉水 1 0.9783 1.1478

1.0293 1.0314 1.0420 1.0420 1.0516 1.0046 1.0015 1.0319 1.0420 碳酸饮料 1 0.9797 1.0020

豆腐 饼干

1 1.05 1.05 1.0000 1.05 1.05 1.05 1.0259 1.05 1.05 1.09 1.0973 1 0.95 0.96 1.0000 1.0078 1.0273 1.0481 1.0558 1.06 1.1325 1.1455 1.1558

0.9960 1.0208 1.0208 1.0208 0.9931 1.0208 1.0208 1.0069 0.9931 方便面 1 1.0208 1.0333

0.9939 1.0596 1.0296 1.0388 1.0361 1.1221 1.1221 1.1221 1.1267 白砂糖 1 1.01 1.0661

红糖 酱油 醋 味精

1 0.9856 1.0000 1.0119 1.0679 1.07 1.0632 1.04 1.0607 1.0569 1.0569 1.0581 1 0.9818 0.9735 0.9694 0.9437 0.9321 0.9415 1.0044 0.9724 0.9625 0.9603 0.9625 1 0.9846 1.0251 1.0270 1.0618 1.03 1.0418 1.0534 1.0019 1.0032 1.0039 1.0039 1 0.9866 0.9866 0.93 0.9550 0.9550 0.9550 0.9615 0.9811 1.0138 1.0138 1.0138

得出数据后，采用matlab软件进行编程（程序见附件二）计算得各类食品价格与

CPI变动的关联度为：

厦门市各类食品与CPI变动关联度 鸭蛋 鲢鱼 带鱼鲜 带鱼冻 猪精瘦肉

0.9504 草鱼 0.9351 0.9093 大蒜 0.876 黄瓜 0.82 尖椒 0.8357 红糖 0.819 圆白菜 0.7536 上海青 0.6785

0.9498 纯牛奶 0.9194 0.81 蒜苔 0.8724 鸡肉 0.8528 韭菜 0.8355 活鸡 0.7961 油菜 0.7333 空心菜 0.677

0.93 鲫鱼 0.9131 鲜牛肉 0.8823 青椒 0.8715 鲜羊肉 0.8467 豆角 0.8338 香蕉 0.7616 芦柑 0.728 生姜 0.6637 鲜羊肉

（带骨） 0.9765 花生油 0.9455 0.9324

0.937 排骨 0.9123 菜籽油 0.8763 活鸭 0.8678 土豆 0.84 胡萝卜 0.8311 茄子 0.7602 大白菜 0.7261 芹菜 0.6531

0.9369 醋 0.9105 大豆油 0.8763 鸡蛋 0.86 食用盐 0.8369 萝卜 0.8218 西红柿 0.7568 西瓜 0.6847 花菜 0.6221

鲜羊肉

鳙鱼 （不带骨） 0.9671 豆腐 0.9437 鲫鱼 0.9193

0.9631 鸡肉 0.9408 鲜猪肉 0.9188

猪肋条肉 鲜牛奶

武汉市各类食品与CPI变动关联度

鲤鱼 菜籽油 0.9869 纯牛奶 0.97 鸡蛋 0.9388

醋 0.9709 香蕉 0.9449 0.9302

19

鲜猪肉 0.968 海虾 0.9444 0.9256

0.9817 红糖 0.9475 鲢鱼 0.9341

饼干 利乐牛奶 白砂糖

黄鱼 0.9101 苹果 0.886 圆白菜 0.8404 黄瓜 0.7987

草鱼 0.9056 鲜猪肉 0.8813 土豆 0.8341 西瓜 0.7933

蒜苔 0.904 茄子 0.8674 0.834 油菜 0.788

鲜猪肉 大豆油 0.9012 芹菜 0.8667 0.8232 萝卜 0.7481

0.85 豆角 0.8626 尖椒 0.8148 大白菜 0.6685

鲜牛肉 鲜牛肉 0.15 梨 0.8601 带鱼 0.8114 橙子 0.6

0.03 青椒 0.8519 韭菜 0.8101 胡萝卜 0.56

矿泉水 西红柿

根据经验，当两因素的关联度大于0.6时，即可认为两者关联度显著。我们得出的数据中，可以看出武汉市大多数食品与CPI的关联度都大于0.6，而厦门市更是所有食品与CPI的关联度都大于0.6，故我们在以上数据中选取关联度大于0.93的食品进行排序：

厦门市：鸭蛋>鲢鱼>鲜带鱼>冻带鱼>猪精瘦肉>草鱼

武汉市：鲫鱼>菜籽油>鲜羊肉（带骨）>醋>鲜猪肉>鳙鱼>鲜羊肉（不带骨）>纯牛奶>红糖>花生油>香蕉>海虾>豆腐>鸡肉>鸡蛋>鲢鱼>饼干>利乐牛奶

可以明显得出，厦门市的食品种类中，与CPI关联度达到0.93以上的食品种类要明显少于武汉市，可见，如果需要选取某些食品来估算CPI时，武汉地区选取的食品种类数目要多于厦门市，两个地区的食品种类也几乎完全不同。这可能由于第一，我们搜集的数据中不包含谷物类的刚性必需品，第二，各个地区的饮食习惯与偏好以及发展程度各不相同。

结果分析：由武汉市和厦门市两地的数据得出，在估算CPI时，达到同等精度时，两个地区所需要选取的食品种类几乎完全不同，食品种类数量差别更是明显。

6.模型的评价与推广

6.1模型的评价

 问题二的模型采用灰色预测，灰色预测可以最少时仅需四个数据,对离散数 据的分布没有要求，精度高于一元线性回归预测。但是灰色预测适合于短期的预测，不能用于较长时间的预测，否则会产生较大的误差，为了对较长时间的趋势值进行预测，需要引入新的数据，这样可以确保预测的可靠性。另外原始序列本身规律的好坏，也将影响预测模型的预测能力。

 问题三的模型采用灰色关联分析，此方法通过对动态过程发展态势的量化分 析，完成对系统内时间序列有关统计数据几何关系的比较，求出参考数列与各比较数列之间的灰色关联度。关联度有绝对关联度和相对关联度之分，绝对关联度采用初始点零化法进行初值化处理，当分析的因素差异较大时，由于变量间的量纲不一致，往往影响分析，难以得出合理的结果。而相对关联度用相对量进行分析，计算结果仅与序列相对于初始点的变化速率有关，与各观测数据大小无关，这在一定程度上弥补了绝对关联度的缺陷。 6.2模型的推广

 灰色预测模型根据其自身特点，可应用于各个领域，例如：季节性降水量的 的估计，经济领域上股价涨跌的预测等等。

 灰色关联度的应用涉及社会科学和自然科学的各个领域，尤其在社会经济领 域，如国民经济各部门投资收益、区域经济优势分析、产业结构调整等方面，都取得较好的应用效果。[

7.参考文献

a) 赵静，但琦，数学建模与数学实验（第二版），北京：高等教育出版社

20

b) 徐凤银,朱兴珊,颜其彬,李士伦.储层含油气性定量评价中指标权重的确定

方法(J).西南石油学院学报,1994年04期

c) 晋宗义,李璐,童金萍.粮食安全问题研究——以安徽省为例

8.附录

附录表一 时 间 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 13.9 13.1 13.11 13.12 14.1 14.2 14.3 0.9994 0.9965 0.9942 0.99 0.9965 0.9977 0.9988 1.0000 1.0023 1.0041 1.0029 1.0296 1.0319 1.0342 大 米 1

1.0170 1.0163 1.0163 1.0215 1.0209 1.0268 1.0300 1.0398 1.0457 1.0496 1.0568 1.0731 1.07 1.0809 富强粉 1

1.0249 1.0273 1.0304 1.0296 1.0350 1.0421 1.0436 1.0444 1.0460 1.0491 1.0491 1.0514 标准粉 1 1.0202 1.0249

1.0201 1.0306 1.03 1.0346 1.0378 1.0443 1.0451 1.0499 1.0596 1.0717 1.07 1.07 豆制品 1 1.0121 1.0137

1.0049 1.0026 0.9943 0.95 0.9826 0.9622 0.9598 0.9532 0.9451 0.9313 0.9321 0.9304 花生油 1 0.9992 1.0039

1.0003 0.9752 0.9484 0.9400 0.9209 0.9171 0.9206 0.9211 0.9179 0.9187 0.9184 0.91 大豆油 1 1.0090 1.0071

1.0218 1.0139 1.0161 1.0121 1.0102 1.0047 1.0094 1.0107 1.0059 1.0379 1.0453 1.0404 菜籽油 1 1.0082 1.0134

0.8429 0.8391 0.8822 0.9006 0.9419 0.9590 0.9527 0.9487 0.92 0.9335 0.72 0.8309 猪后腿肉 1 1.00 0.9050

0.8448 0.8368 0.8791 0.41 0.9353 0.9521 0.9492 0.9437 0.9497 0.9387 0.97 0.8338 五花肉 1 1.0077 0.9058

1.0220 1.0314 1.0423 1.0526 1.05 1.0701 1.0796 1.0871 1.0955 1.1141 1.1231 1.1091 牛 肉 1 1.0456 1.0246

1.0230 1.0273 1.0349 1.0407 1.0423 1.0469 1.0496 1.0660 1.0801 1.1015 1.1135 1.0996 羊 肉 1 1.0348 1.0218

0.9621 0.9315 0.9572 0.9701 0.9757 0.9831 0.9843 0.98 0.9879 0.9956 0.9951 0.9930 白条鸡 1 1.0271 1.0107

0.9801 0.9585 0.97 0.9658 0.9690 0.9720 0.9728 0.9752 0.9808 0.9861 0.9826 0.9797 鸡胸肉 1 1.0112 1.0090

鸭 1 1.0399 1.0365 0.97 0.9553 0.9744 0.97 0.9956 0.9968 0.9930 0.9956 0.9988 0.9966 1.0070 1.0087

0.8751 0.8742 0.8748 0.8587 0.9309 1.0099 0.9405 0.9191 0.9219 0.9331 0.46 0.62 鸡 蛋 1 0.9814 0.9114

1.0094 1.0046 0.9995 0.99 1.0053 1.0181 1.0099 0.9957 1.0010 1.0326 1.0615 1.0113 活鲤鱼 1 1.0697 1.0142

1.0562 1.0727 1.0862 1.0993 1.1176 1.1105 1.0860 1.0605 1.05 1.0757 1.1004 1.0676 活草鱼 1 1.0639 1.0403

1.0013 1.0053 1.0235 1.0328 1.0347 1.0373 1.0367 1.0330 1.0363 1.0429 1.0626 1.0424 带 鱼 1 1.0294 0.9996

1.4926 1.37 1.2003 1.3031 1.3708 1.3315 1.1570 0.9959 0.58 0.8660 0.9513 0.9350 大白菜 1 1.1069 1.01

0.9025 0.7331 0.7604 0.8663 0.9727 0.9234 0.7829 0.7226 0.7105 0.7625 0.8500 0.8296 油 菜 1 0.9355 0.7179

0.8250 0.8429 0.8439 0.9191 0.9911 1.0137 1.0573 0.9748 0.8786 0.33 0.44 0.8345 芹 菜 1 1.0704 0.7667

0.8203 0.6205 0.5991 0.6605 0.68 0.8041 0.8726 0.8626 0.8459 0.9743 1.1503 1.0067 黄 瓜 1 1.3666 1.0799

1.0019 0.8468 0.6903 0.6873 0.6966 0.8686 1.0388 1.14 1.0208 1.2167 1.2821 1.2249 西红柿 1 1.0349 0.9045

1.1124 0.9159 0.7178 0.6716 0.6980 0.8286 0.82 0.88 0.9657 1.4596 1.5081 1.3076 豆 角 1 1.2166 1.1128

1.1248 1.18 1.1214 1.0427 1.0265 1.0197 0.9932 1.0513 1.0778 1.11 1.1923 1.1872 土 豆 1 1.0692 1.0530

1.0461 1.0578 1.0822 1.1013 1.1053 1.1230 1.0923 1.0595 1.0769 1.1344 1.1799 1.1926 苹 果 1 1.0448 1.0378

1.25 1.3996 1.3925 1.3067 1.2703 1.2716 1.1326 1.0676 1.1397 1.3255 1.4600 1.4737 香 蕉 1 1.1683 1.1949

CPI 1 1.0010 0.9812 0.9921 0.9842 0.9901 0.9911 0.9950 0.9980 0.9911 0.91 0.9931 1.0000 0.9950 0.9851

附录一 问题二灰色预测Matlab代码 x0=[]; f=x0;

x1=[]; n=N; for k=1:n

if k==1

x1(k)=x0(k);

else x1(k)=x1(k-1)+x0(k);

21

end

end; n=n-1;

B=ones(n,2); for i=1:n

B(i,1)=-0.5*(x1(i)+x1(i+1));

end x0(:,1)=[];

Y=x0'; A=inv(B'*B)*B'*Y; a=A(1); u=A(2);

n=n+1+m; x11(1)=f(1); for j=2:n

x11(j)=(f(1)-u/a)*exp(-a*(j-1))+u/a; end

x01(1)=f(1); for k=2:n

x01(k)=x11(k)-x11(k-1); end

for j=1:N e0(j)=x01(j)-f(j); t0(j)=e0(j)/f(j); end

n=N; year1=1:n;

year2=1:n+m;

subplot(2,1,1);plot(year1,f,'-*',year2,x01,'-+') xlabel('年份')

ylabel('原值（*）及预测值（+）') title('预测图')

subplot(2,1,2);plot(year1,e0,'*',year1,t0,'+') xlabel('年份')

ylabel('残差（*）及相对误差（+）') title('误差图') disp('完成预测') a=abs(a) if a<=0.3

disp('可进行中长期预测') elseif a<=0.5

disp('可用于短期预测,中长期预测慎用') elseif a<=0.8

disp('作短期预测应十分谨慎')

22

else

disp('不宜预测') end

附录二 问题三（1）灰色关联度代码 clear

x(1,:)=[ ]; x(2,:)=[ ];

x(3,:)=[ ]; x(4,:)=[ ]; x(5,:)=[ ]; x(6,:)=[ ] x(7,:)=[ ]; x(8,:)=[ ]; x(9,:)=[ ]; x(10,:)=[ ]; x(11,:)=[ ]; x(12,:)=[ ]; x(13,:)=[ ]; x(14,:)=[ ]; x(15,:)=[ ]; x(16,:)=[ ]; x(17,:)=[ ]; x(18,:)=[ ]; x(19,:)=[ ]; x(20,:)=[ ]; x(21,:)=[ ]; x(22,:)=[ ]; x(23,:)=[ ]; x(24,:)=[ ]; x(25,:)=[ ]; x(26,:)=[ ]; x(27,:)=[ ]; m=27;n=15;

x0=[ ]; for i=1:n

avg(i)=0; end

for i=1:m

for j=1:n

avg(j)=avg(j)+x(i,j); end

end for i=1:n

avg(i)=avg(i)/m;

23

end

for j=1:m

for i=1:n

x(j,i)=x(j,i)/avg(i); end end

for i=1:n

x0(i)=x0(i)/avg(i); end

for j=1:m

for i=1:n

delta(j,i)=abs(x(j,i)-x0(i)); end end

max=delta(1,1); for j=1:m

for i=1:n

if delta(j,i)>max max=delta(j,i); end end end min=0; for j=1:m

xgd(j)=0; for i=1:n

glxs(j,i)=0.5*max/(0.5*max+delta(j,i)); xgd(j)=xgd(j)+glxs(j,i); end

xgd(j)=xgd(j)/n; end

24